圆幂定理——老师用

1、切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段学习目标1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线 长是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线是一条直线,它不可以度 量长度2. 切线长定理对丁切线长定理,应明确1假设圆的两条切线相交,那么切线长相等； 2 假设两条切线平行,那么圆上两个切点的连线为直径； 3经过圆外一点引圆的两条 切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形；4经过圆外一点引圆的两条切线,切 线的火角与过切点的两个半径的火角互补；5圆外一点与圆心的连线,平分过这点 向圆引的两条切线所夹的角A3. 弦切角：顶点在圆上

2、,一边和圆相交,另一边和圆相切的角.直线AB切丁 P, PG PD为弦,图中几个弦切角呢？四个4. 弦切角定理：弦切角等丁其所夹的弧所对的圆周角5. 弄活和圆有关的角：圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角.6. 遇到圆的切线,可联想“角弦切角,“线切线的性质定理及切线长定理.7. 与圆有关的比例线段结论证法00中,AB CD为弦,PAPB=连结 AC、BD,证:交于 P.PC PD APA DPB00中,AB为直径,Cd AB丁 P.PC= PA PB用相交弦定理.切割线 定理00 中,PT切00 丁 T, PT2= PA PB 割线PB交00 丁 A连结TA、TB,证: PTEA PATP

3、B PD为顷的两条割PAPA PCPD过P作PT切顷于T,线,交00 丁 A、用两次切割线定理圆籍定r, .中,割线PB交00 P'C - P'D = r2 延长P'O交00 丁 M.一.、? 一、O、一.丁 A, CD为弦OP'2延长 OP'交00 丁 N,PAPA OP r2用相交弦定理证；过P r为00的半径 作切线用切割线定理勾股定理证8.圆籍定理：过一定点P向00作任一直线,交00 丁两点,那么自定点P到两交点的 两条线段之积为常数|.烈-弟| R为圆半径,由于.U-萨叫做点对丁顷 的籍, 所以将上述定理统称为圆籍定理.【典型例题】例1.如图1

4、,正方形ABCD勺边长为1,以BC为直径.在正方形内作半圆 .,过A作半 圆切线,切点为F,交CD丁 E,求DE AE的值.解：由切线长定理知：AF= AA 1, EF= CE设CE为x,在Rt ADE中,由勾股定理 5,35- q,.路 A£=-= 3= 544例2. 00中的两条弦 AB与CD相交丁 E,假设AE= 6cn BE2cm CE>7cm那么CLcmD解：由相交弦定理,得AE BECE DE. AE 6cm BE 2cm, CE> 7cm, DE=CD-CE=1-CE .62 = CE(1-CE)即供妃7的十12二0. . CE 3cm或 CE 4cm故应填

5、3或4.点拨：相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍例3.PA是圆的切线,PCE®圆的割线,那么 庭：且* =契 解：Z P= / PZ PA孚 Z B,APA(A PBAAB _ PB.而二瓦,AB2 PB1. W 脂.y. PA是圆的切线,PCB圆的割线,由切割线定理,得 前三物 PC心_ 前 _ FB一 W ,一 L4即逆月"C故应填PG点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论.例4.如图3, P是00外一点,PC切00 丁点C, PAB是的割线,交00 丁 A、B两 点,如果PA PN 1: 4, PO 12cm.的半径为10cm那么圆心O到

6、AB的距离是 cmpm图3解：PC是OO的切线,PAB是OO的割线,且PA PA 1: 4PA 4PA乂 . PO 12cm由切割线定理,得"=曷F . .宓二 36 ,-顼=8伽i) PA4X6= 24 (cm)AA 24-6= 18 (而设圆心.到AB距离为d cm,由勾股定理,得d =山一-J=而s故应填.例5.如图4, AB为00的直径,过B点作00的切线BC OC交00 丁点E, AE的延长 线交BC丁点D, (1)求证： 序 =S*宫；(2)假设AA BO2厘米,求CE CD的 长.B DC图4点悟：要证 ,即要证 CESzX CBE证实：(1)连结BEBC&O的

7、切线 n 匕4二 ACBE'OA=QE £A= OEA > n /LCED = £CBE 匕OSA二匕睥CNt；公用角cs=> = => CE2 =CB * CDcd as,= 9CT如二 2 n OB 二 1EC 2如为直径旦0 em也iOS = 1 Jnee 二估-1.又.国=s* *,.以-1史2力=8=0出厘米.点拨：有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件.例6.如图5, AB为.0的直径,弦CD/ A己AE切00 丁 A,交CD的延长线丁 E求证：* =心睫证实：连结BD. AE切顷于A,. .Z EA孚 Z AB

8、D. AA己乂 AB/ CD ACD. AB为OO的直径. .Z AD手 90°. .Z E=Z AD手 90° AADIAB ADAD DEaKHd. . . CD/ AB c c/- AD=C A4 BC 例7.如图6, PA PC切OO 丁 A、C, PDB为割线.求证：ADBOCDAB点悟：由结论ADBOCDAB得无态,显然要证 PAIAPBAffiAPCAPBC 证实：PA切00 丁 A, . .Z PA4Z PBA乂Z AP孚 Z BPAAPAIA PBA& =竺AB'AF同理可证 PCIA PBCCT PDldpcPA PC分别切OO 丁 A、

9、CP住 PCAS - BC AD BO DC AB例8.如图7,在直角三角形ABC中,ZA= 90° ,以AB边为直径作O O,交斜边BC丁 点D,过D点作的切线交AC于E.求证：BB 2OE点悟：由要证结论易想到应证 0£是/ ABC的中位线.而OX OB只须证AE= CE 证实：连结0I. A如AB, AB为直径 AC为00的切线,乂 DE切00 丁 D E住 ED.饥 DE. 0氏 0D 二 Z B=Z ODB在 Rt ABC中,ZO90° -ZB. Z ODE 90°. _m " -二 Z OZ EDC EE> EC AA ECO

10、EMA ABC的中位线BO 2OE例9.如图8,在正方形ABCg, AN 1,是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧.点E是边AD上的任意一点点E与点A、D不重合,过E作足匚所在圆的切线, 交边DCT点F, G为切点.当ZDE巳45°时,求证点G为线段EF的中点;解：由Z DE巳45° ,得ZDFE 50° - 2D&F 二 45“. .Z DFJ DEF DE DF乂 . AE> DC AA FC由于AB是圆B的半径,AEUA己所以AD切圆B丁点A;同理,CD切圆B丁点G乂由于EF切圆B丁点G 所以AE= EG FA FG因此E8FG即点G为线段

11、EF的中点.【模拟试题】做题时间：40分钟-、选择题1.：PA PB切CDO 丁点A、B,连结AB,假设AA8,弦AB的弦心距3, WJ P住20A.-2. 以下图形一定有内切圆的是A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3. ：如图1直线MNOO相切丁 C, AB为直径,/ CA手40°,那么/ MCA勺度数B.253C. 5D. 8AQ图1B. 40°B. 10cm C. 12cmD. 16cm5.在 ABC中,D是BC边上的点,ad2腾,b> 3cn DA 4cm 如果E是ADC. 60A. 50°D. 554.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另

12、一弦被交点分为1: 4,那么另一弦长 为A. 8cm的延长线与ABC的外接圆的交点,那么DE长等丁A.B.C.nL 山D."尸6. PT 切OO 丁 T, CT为直径,D为OC上一点,直线PD交00 丁 B和A, B在线段PD上,假设 C>2, AE>3, BE>4, WJ PB等于A. 20 B. 10C. 5D.二、填空题7. AB CDOO切线,AB/ CD EF是OO的切线,它和AB CC别交丁 E、F,那么/ EOR 08. ：OO和不在OO上的一点P,过P的直线交OO 丁 A、B两点,假设PAPB=24, OA5,那么OO的半径长为 o9. 假设PA为O

13、O的切线,A为切点,PBCffl线交OO 丁 8 C,假设BO 20,殉=1.仍,那么PC的长为 o10. 正ABC内接丁OO, M N分别为AB AC中点,延长 MNftOO 丁点D,连结BPC _交AC丁 P,那么用 o三、解做题11.如图2, ZXABC中,AO2cm 周长为8cm F、K、N是 ABCt内切圆的切点, WOO 丁点M 且DE/ AC 求DE的长.图212.如图3,P为00的直径AB延长线上一点,PCW0 丁 C, C8AB丁 D,求 证：CBW/ DCP图313.如图4,AD为00的直径,AB是00的切线,过B的割线BM般AD的延长 线丁 C,且B岷M NC假设AB,求CD.的半径.uN图4【试题答案】-、选择题1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A、填空题7. 908. 19. 3010.解做题：11. 由切线长定理得 BDE周长为4,由zBDMzBAG得 DE 1cm12. 证实：连结AG M A如CBDA. CdA己AACIACDB 二 ZA=Z1PC为OO 的切线,Z A=Z 2, 乂