清华大学马连荣05无穷小量

1、2.5 无穷小量与阶的比较2.5.1 无穷小量与无穷大量2.5.2 无穷小与无穷大的性质2.5.3 无穷小量阶的比较2.5.4 问题研究2.5.5 小结: 怎样熟练地求极限22,sin2 ,ln(1),e1.xxxx 都是无穷小量 定义2.5.1在某个变化过程中,极限等于零的函数称为无穷小量.0 x 当时,x 当时,xxx2,ln1,1都是无穷小量.1x 当时,sin , lnxx 都是无穷小.注 无穷小量是处在某个变化过程中的变量.因此任意一个非零实数(不论它的绝对值多么小)都不是无穷小量.2.5.1 无穷小量与无穷大量(无穷大量的直观定义)在某个变化过程中,绝对值无限增大的函数称为无穷大.

2、,0时当xxxxcot|,|ln,1都是无穷大量.,时当xxxx2,ln,2都是无穷大量.xy1|ln xy xycot2xy xylnxy2例如 定义0( )f xx设在的某个去心邻域中有定义.,M如果对于任意正数.都能找到正数0000(,)(,)xxxx使得在去心邻域中( ).f xM恒有0,( )xxf x则称当时是正无穷大量.0,( ).xxf x或者当时趋向于正无穷0( )().f xxx 记作0lim( ).xxf x 有时也写作定义 2.5.2 (无穷大的严格定义)注( )f x如果是正无穷大量,0lim( ).xxf x则不存在0lim( ).xxf x 是为了表示方便而采用的

3、一个记号定义2.5.30( ).f xx设在的某个去心邻域中有定义,M如果对于任意正数,都能找到正数0000(,)(,)xxx x使得在去心邻域中( ).f xM 恒有0,( ).xxf x则称当时是负无穷大量0,( ).xxf x或者当时趋向于负无穷0( )().f xxx 记作0lim( ).xxf x 有时也可以写作定义2.5.40( ).f xx设在的某个去心邻域中有定义,M如果对于任意正数,都能找到正数0000(,)(,)xxx x使得在去心邻域中|( )|.f xM恒有0,( ).xxf x则称当时是无穷大量0,( ).xxf x或者当时趋向于无穷大0( )().f xxx 记作0

4、lim( ).xxf x 有时也可以写作注1无穷大量包括正无穷大和负无穷大.无穷大量是处在某个变化过程中的变量.注2任意常数(不论它的绝对值多么大)都不是无穷大量.定义2.5.5()x 时的无穷大量( )( ,).f xa 假设在有定义,M如果对于任意正数,N都能找到正数,xxN只要满足( ).f xM就有x 则称当时,( ).f x 是正无穷大量( )().f xx 记作在不至于产生误解的情况下, 也可以记作.)(limxfx同样的方式可以定义负无穷大量和无穷大量问题讨论100(1)10?是不是无穷小量回答不是!任何非零实数都不是无穷小.因为无穷小量是变量,不是常量.(2) 实数零是不是无穷

5、小?常数零不是无穷小量.理由同上.但是,在某个变化过程中恒等于零的函数是无穷小量.因为恒等于零的函数以零为极限.(3)ln?x函数是不是无穷小回答回答1,ln0,xx当时因此 lnx 是无穷小.2, ln,xx当时不是无穷小lnx 不是无穷小.0 x当时,lnx1. 同一变化过程中无穷小的和、差、积都是无穷小量.但是两无穷小的商未必是无穷小量., 0)(limxf0| )(| )()(|0 xfMxgxf( )g x 有界,这个结论可以由极限的四则运算得到.例如,0时当xxxxsin,2都是无穷小量. 但是0 x 当时,xx2是无穷小量,2xx是无穷大量,sin1.xx2. 无穷小量与有界变量

6、的乘积仍然是无穷小量.证明假设在某个变化过程中,即存在正数 M , 使得在这个变化过程中恒有|( )|.g xM则有从而 f(x)g(x) 也是无穷小量.2.5.2 无穷小与无穷大的性质3. 同一变化过程中, 4. 无穷大量的倒数是无穷小量;但两无穷大量的和、差、商不能确定其结果.例如当 x+ 时,3,1xx都是无穷大量,但是当 x+ 时,31xx40.13xx 不等于零的无穷小量的倒数是无穷大量.5. (对任一变化过程) limf(x)=A 的充分必要条件是:f(x)=A+其中 是一个无穷小量.无穷大量与无穷大量的乘积仍然是无穷大量.( )(1)lim1,( )f xg x如果( )( ).

7、f xg x则称与是等价无穷小量( )(2)lim0,( )f xcg x如果( )(3)lim0,( )f xg x如果( ) ( ).f xo g x记作( ),( ).f xg x假设在同一变化过程中都是无穷小( )( ).f xg x则称与是同阶无穷小量( )( ).f xg x则称是的高阶无穷小量记作 f(x)g(x).定义2.5.62.5.3 无穷小量阶的比较0,x 所以当时0,x 所以当时21 cos.2xx与等价11kxxk 与等价.例2.5.1, 1sinlim0 xxx, 1)1ln(lim0 xxx, 11elim0 xxx1e, )1ln(,sin,xxxx.都是等价无

8、穷小量例2.5.2kxxxxkxx111lim,21cos1lim020( )(4)0,|,( )f xMxMg x如果当 变到某种程度时总成立( ) ( ).f xO g x则记作等价无穷小代换在求极限的过程中,无穷小因子可以用另一个与之等价的无穷小代替,从而使问题的得到简化.等价的无穷小因子可以互相代换的原理如下:假设在某个变化过程中 , 都是无穷小量.其中 与 等价, 与 等价.,lim存在若gf则gfgflimlimlimlimgflim.fg于是无穷小量 被它的等价无穷小量 取代了.同样, 位于分母的无穷小量 ,也可以被它的等价无穷小量 取代.求极限20(1 cos )sin2lim

9、.ln(1)(e1)xxxxx解0,x 当时211 cos,2xx与等价sin22.xx与等价22ln(1),xx与等价 e1.xx 与等价220122lim1.xxxxx) 1e)(1ln(2sin)cos1 (lim20 xxxxx于是用等价无穷小代换之后得到)4cos1 (arctan) 121(tanlim320 xxxxx例2.5.42208)32(limxxxxx1.12 例2.5.3求极限过程中,加减项不能随意用等价无穷小代替!例2.5.5下面的做法是错误的!30sintanlimxxxx,0时当 x,sintan等价都与和xxx30limxxxx300lim0.xx于是正确的做

10、法是:30sintanlimxxxxxxxxxcos)cos1 (sinlim30 xxxxxcos21lim3202300112limcoslim.2xxxxxx无穷小解答1.问题:下列运算是否正确?00sinlim( )lim1.xxuf xu1sin,uxx令00.xu时所以不对!0lim( )xxf x极限存在的前提条件是000(,)(, ).fxxx在的某个去心邻域中有定义1sin0.nx则1(1,2,),nxnn记1(1,2,),nxnn在点列1sin( sin)( ).1sinxxf xxx令( ).f x 没有定义2.5.4 问题研究2. 除去恒等于零的函数之外, 有没有最高阶

11、或者最低阶的2. 有关无穷小的讨论题1. 在同一过程中, 是否任意两个无穷小量都可以比较阶?没有!2( ).o10sin.xxxx时与不能互相比阶不一定!设在某个变化过程中 是不等于零的正无穷小量.则有3. 无穷大量与无界变量有什么区别?无穷大量和无界变量都是处在某个变化过程中的函数,无穷大量一定是无界变量, 但反之未必然.2,.xx 当时是无穷大量2sin.xx 是无界变量无穷小量?那么对于任意正数M (不论它有多么大),以x+的情形为例说明无穷大量与无界变量的区别.将 x 看作时间 , f(x) , g(x) 是随时间变化的函数.如果 f(x) 是无穷大量,都存在某个时刻 T , 在这个时

12、刻以后恒有 | f(x) | M.那么对于任意正数M,如果 g(x) 是无界函数,都存在某个时刻 T , 使得| g(T) | M .但是在时刻 T 以后 , 不一定永远有| g(T) | M .2xy xxysin2e)1 (lim .1xxxAe)11 (lim .-xxxBe)1 (lim .5xxxCe)111 (lim .1xxxD 2. 下列极限中存在的是1lim.2xxAxxxB211lim.xCx1arctanlim.0 xxxDxcosln1arcsinlim.2201. 下列哪个等式正确?3.一组选择题, 设在某个变化过程中是等价无穷小,求下列变量的极限:cos1)6(si

13、ntan)4(sin) 1 ()2() 3(1)1 ()5(ee)7(212100e1211(.)设1cos)8(411sin1)9(211ln)10(414. 一组计算题1)1lim( 假设,是同一变化过程中的两个无穷小量.lim为了求极限只需要求极限0lim) 1 ( k0lim)2()3()4(1)1lim(ke1)1lim(11)1 (0)1 (15. 一组计算题利用上述结果求下列极限:xxxxcot0)sin(coslimxxxxcot0sin) 1(cos1 lim10)1 (limxsin(cos1),tan .xxx其中00sin(cos1)limlim1,tanxxxxxco

14、t0lim(cossin )e.xxxx所以1)1ln(lim0ttt并且记住一些常用极限掌握两个重要极限, . 1 21cos1lim20 xxx11elim0uuu)0(ln1lim0aauauu以及例题和习题中某些重要结论.kxxkx111lim0mxxmx1)1 (lim02.5.5 小结：怎样熟练地求极限xxxxxxsinsin11)sin1()sin1 ( 例11sinsin00lim(1 sin )lim(1 sin )e.xxxxxxxx1sinsin0,(1 sin )e,1,xxxxx当时所以2. 将所求表达式变形为两个重要极限或者已知极限0arctanlim.sinxxx

15、又如考察arctan,tan .uxxu令则xxuuxxuxsintanlimsinarctanlim00 xxuuuuusintantansinsinlim0000sintanlimlimlim1.sintansinuuxuuxuux3. 熟练地运用极限运算法则2420sin21coslimxxxx242200cos1121limlim.xxxxxx2202420sinlim21coslimxxxxxxx242021coslimxxxx4. 熟练地运用等价无穷小互相代替23220sintantansin)211)(21ln(lim) 1 (xxxxxx0,x 当时sintantanxx与等价

16、sintan;xx与等价22tansinsinxx与等价22tansin xx与等价;ln(12 )2xx与等价.33220)211)(2(limxxxxx原式23220211lim2xxxx) 121(lim) 11(lim 22320220 xxxxxx1272.233 常用等价无穷小sin;xxtan;xx21 cos;2xxarctan;xxarcsin;xxln(1);xxe1;xx1ln ;xaxa(1)1.xx例2.5.6 计算11110lim,0,0,0.xxxxxabcabcabc解1111111100()limlim 1xxxxxxxxxxabcabcabcabcabc10(1)(1)(1)lim 1xxxxxa ab bc cabc(1)(1)(1)()(1)(1