高中数学：专题01三角形中的基本问题---边、角、面积计算-高人一筹之高二数学特色专题训练

1、ruize，必修五特笆训练专题一 三角形中的基本问题一边、角、面积计算一、选择题.k 31 .在AARC中，内角。为钝角，.一E, “=5,加=3/，则取：=()A. B. - C. D. |：二；【答案】A【解析】由题得 I4 J54.25 + 一呼 - (3回由余弦定理得2 x 5 x fiC故选A.2 .在1M战中，内角力方所对的边分别是。也j若心山!二加刖B+(l；班由匚，则角刈的值为()【答案】C【解析】在jAEC因为皿山4 = bsinff + (c BjsinC由正弦定理可化简得a = b2 + c2 -g 所以5, + c3 -aa = g由余弦定理得cml二吧萨 二号从而A=

2、2故选C.3 .在 ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b,c,且 ABC的面积S 2j5cosC,且a 1,b 2 J5 ,则c ()A. 15 B. 17 C. 19 D. 21【答案】B【解析】由题意得，三角形的面积 S 1absinC 2J5Gosc ,所以tanC 2,2所以cosC由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC 17 ,所以c JT7 ,故选B.5 .在山!比中，彳，18 = 2,。为力的中点，加壮。的面积为4，则/I。等于（）A. B. . C.1/1 .4 D.【答案】B【解析】可由题意可知在 BCD43, B=*, AD=1,11 3 平. BCD的面积 S

3、卫XBCX BDX sinB= 2 X BCX 2 = 4解得BC=3在 ABC中由余弦定理可得：AC2=AB+BC2- 2AB?BCcosB=：2+32 - 2?2?3?=7,AC=,故选：B.L.厂 *厂32sinC =sinA + sinHrcosC =-6 .在山!比中，u分别为内角AB4的对边，若5,且 =4,则小=(位毡A. B. C. | 内 D.【答案】A【解析】在 AA网中，IsinU - sinA + $MC, 由正弦定理可得a,二口+“且*必阮-4si nC =- 由于+ (a + h)2-2ub-c2 _342 - 20 - c2 _ 3205,解得 205_4亚则 ，

4、故选A.t-4 + Hsin = 1 + cos2C7 . AABC中,向84：的对边分另1J为,立c|已知/二2序-2/工2，则5M（B-井）的值为（）工 但 口 9A. 2 B. 4 C.5 D.目【答案】B1解析】因为2 .sm3y = 1 + cas2C1所以2 X。-匚呼+啊=1+ 2cos3C L所以 1 + casC 2cos口 C : 2cas3 C cosC 1 = 0,所以ms? d v 0 C /3 b),a2 - c2 - b2=.3 bc,由余弦定理可得cosA=b2 c2 a2 电2bc 2 ,A是二角形内角，A=一.故选D.6、填空题12. ABC勺内角 A, B

5、,C的对边分别为a, b, c.已知 C=60 , b=V6 ,【答案】75、 b c6 吏-【解析】由题意：-b ，即. bsinC * 2 M sin B sinC sinB - c 32A 180o B C 75o.13. 4及的内角及H，。的对边分别为明 机 c,已知 bainC + csinB叩K的面积为.【答案】c=3,贝U A=.,结合b c可得B 45,则=4口sMBsMC , b* + d - = 8 则【解析】根据题意，结合正弦定理可得析际匚”.心电 4式mi叫即蚣 J结合余弦定理可得1 随 i_2yf32bccA = ft,所以A为锐角）目SSA咚,从而求得如二竽，所以小

6、比的面积为sm2C = sinBAC - sin.AHC 16，故答案是T-14 .如图，在&1EC中，分别为RCAC的中点，阳）1.RF【答案】H【解析】设日。二兄4C = h/B = t,(: = -ah16sin2/7 = sinBAC - sin.ABC16可得:1广2AC 整理可得：2AB2 - AB At = fl?一 一 AB + ACAD BF =1 , 1L,IP 2b2 - 4c2 - IbccosA - 0-tr - -bccosA = 0门2 . r2 7U T L/cosC = 一据此可得：:,若后用B +=则角力的大小为15 .在山18。中，角儿 氏C所对的边分别为

7、见瓦c.若。二夜，b = 2【答案】【解析】由sinB +tosB二戏2两边平方可得了1 + 2sinBcosB 27工 2slnBcsB 17 艮灯加2H = 1，v 0 5 nd a B =4S-在小IE。中，由正弦定理得:=盛解得以心=%又卜机工彳 B = 4S*OJT7 A =7T亿故答案为6.16.四边形前CD中， 37M1=6P,cosR = 一= FC = 77，当边匕。最短时，四边形火打烈）的面积为【答案】【解析】岂边最短时，就是m = 9附寸，连接幺a应用余弦定理可以求得乩C = 2内，并且可以求得侬“阳二当,从而求得sMC4后=竽，从而求激切RD =石比例一上以切 二乂一；

8、乂手二名 T7Z 737141利用平方关系求得如”小0二空.从而求得D = 2Ek=V3,功=2旧，空二为所以四边形的面积5 二）6x9桔X?X 7X手二手n数答案是等.三、解答题17 .在ABC,A =60 , c=- a.7ruize(I)求sin C的值；(n)若a=7,求ABC勺面积.【答案】(I)以3； (n) 973144 试题分析: ( I)根据正弦定理二一=上求小口C的值J(II)根据条件可知口 = 7m = 土根据(I )的 幻山1sinC结果求cos。？再利用sin田=sin(/ + C)求解I最后利用三角形的面积5=1西由13试题解析:( 1)在色且BC中？因为21 c=

9、a?所以由正弦定理得好c = Ef =；父乎=哲. 口 7214(II )因为4-7, BftAr-x7-3.由余弦定理力1 = 平廿珈8J且得7工+31 xl ,解得8 = 9或8 = _5给.所以A初C的面积S二乩sin/、弘3苒史m222318 .在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a b, a 5,c 6, sin B -.5(i)求b和sin A的值；(n)求 sin(2A /)的值.【答案】 b .13.(2)匚 26【解析】(I)在4ABC中，因为a b,故由sinBb2 a2 c2 2ac cos B 13,所以 b J13.3 一4一，可得cosB -.

10、由已知及余弦定理，有55a ba sin B由正弦te理，得sin A sin A sin Bb3 1313所以,b的值为质,sin A的值为33.(n)由(i)及 a c,得 cos A ”13,13八.12所以 sin 2A 2sin Acos A 一 ,132 .cos2A 1 2sin A& .故 sin(2A ) 134 C A冗sin 2Acos- 4C A 冗cos 2 Asin 一 47.22619 . 4ABC勺内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c.已知sin A ，3cosA (1)求 c； (2)设D为BC边上一点，且 AD AC,求ABD勺面积.【答案(1)

11、 c 4 ； (2)73【解析】(1)由已知得 tan A J3 ,所以A J2-.32 o在ABC4由余弦定理得 28 4 c2 4ccos，即c2 2c 24 0 .3解得：c 6 (舍去)，c 4 .4 7T(2)由题设可得,所以/2仞=一26-AB AD sin-故面积与&4田面积的比值为 号0=1 -AC-AD2又&LBC的面积为9x4x2shi/B0c = 2；所以&4BD的面积为招X，一 320.如图，在平面四边形 ABDC中， ABC 一，AB AD AB 1.4(I)若AC 75,求VABC的面积；(n)若 ADC 一，CD 4,求 sin CAD.6【解析】【答案】2 5C

12、AD 5（I ）在VABC中，由余弦定理得,即 5 1 BC2 J2BC ,解得 BC_ 2_ 2 2AC AB BC 2AB nBC ncos ABCJ2或2J2（舍去） 1所以 VABC 的面积 Svabc -ABnBCnsin ABC 21 1 由题igcoBBcjosCn。及。)1#cos5cosC-sifi sinC= - j Kfcos(J + C)=-. 622Injt所以E+e=, ha=-, 33由题也得L股宝祐5 二一；即尻=心 23 sin H由余弓碇理得/+ 1抡=9,即 + c)*-3te = 9,得分+c =相一故AZ5c的周长为3+亚.B22. ABC的内角A B

13、、C所对的边分别为a,b,c,已知sin A C 8sin2-,2(1)求 cos B;（2）若a c 6, ABC的面积为2,求b.15【答案*】（1） cosB 一；（2） b 2.17【解析】试题解析；由题谖及/+8 + C=，siDJ=E&iOa-J故如石=4。8)上上式两边平方？整理得178”E3282? + 15=()n解得cos9 = 1(舍去),cosE = C172 主 cosS =得 sJd B = j 故 Sajirt = or si口 百=gc 0171721717又5则心心二彳。jLr由余弦定理如+c =6得：* Q +七工2otrcoSi_fl=(口+ 4-&k(1

14、 + co$5)=362*(喝=4a3suiH = 2srru4所以9=2。23.在AAHC中，角儿昆匚的对边分别为3人心,已知a-A=l, (1)求角(：的大小;(2)求b的值.TT【答案(1)5； 【解析】2A + fi2ccs ccisZL = 1(1) 上，2C2s/tt2 cos2t? =1 12 5r . 2ccos2C + 1 2stn = cos2C + cosC = 02 5. 2c/c + CQ5J 1 = 0,COSC =或 =一 1 解得 2(舍去)又 OcCcjt,（2）由3sMp = 23m力及正弦定理的3。= 2%又在一白=1n:= 3* = 2 ,在4乩质?中,

15、由根据余弦定理得c = V9+4-6 = V7,.心 V7匕3 24.在山中，内角儿dC的对边分别为匕卜，已知c-b二2比0M.（I）若口 = 2也卜=3,求边生01nl（n）若 2,求角讥日=【答案】（I）c=5. （n）.【解析】(I)由c - b=2从四4及余弦定理?所以u- = b- +尻，所以（2&辛=32 + 34解得 （n）因为所以由正弦定理得,因为 2所以1 山=2sin&casAn-I - smR = 2sinRcos（一一 R）所以即. 11SlTlii =所以 己或（舍去）njt06-B=-因为 ，所以 625 .如图，在平面四边形 八打中,AH 二遍RC = 01AHi

16、 八LCD.(I)若 1sin jLBAC =-(n)若面= 3/iq 求？iq12 (2) 3【答案】【解析】AHlie(I )由正弦定理得,sin ZRCA 14解得sin .BCA 12(n )设力。=心的=3在HtAACD中,CD -, 一 月匚2 -44。-AD 3在AARd中，由余弦定理得,A + AC-HC cos /lBAC =2 AR AC7TBAC + CAD =17 IL2 所以 cciszJMC =!,即 2a工整理得笃目1_3=0,解得才二W或AT (舍去)，即再。二326 .在必况中，角儿氏(；所对的边分别为U，瓦 d,且我8超8= (ZL -A)sd|.2 ,求必

17、i&q的面积.(1)求角人;(2)若b = 3,点网在线段也上，用,+后=2川九【答案(1)【解析】(1)因为ctcgB = Qe 2j)g84 f 由正弦定理得：siiVlcasfl = (2sint? slnBjcos/l即iu4cosB + sinFcosZ = 2口以口sinC = 2式nC。”在4ABC中,sinC 0 ；所以cueJ1=； = -tA疗1a朝| 二 = cosA=(2) ,2.2-I1i、 - ic + 9 + 2xcx3x-=63Nh + AC=2/!M平方可得：2解得： :14Q*5 = -x6x3x-=所以1M贸:的面积222.1BM =产AN _ _隔=入求

18、/M的值;27.在A川?C中，内角4 氏。所对的边分别为b,卜，已知廿二GO*, c = 8.（1）若点M, |N是线段GC的两个三等分点, 若b = 12|,求A山花的面积.【答案】（1）入行（2）24。十B书.【解析】6所以打。则匕为锐角，所以= sin(R + fj = siniicosC + cosBsinC 则ia +，.S = -bcsinA = 48 x=所以ARH,的面积 2628.在锐角A*8C中，角月，也。的对边分别为。(I)求角力的大小；ujinC= 4(n)已知出必 ，AA优的面积为6蔚，求立【答案】(1)&(2)卜=2一.【解析】(1)由已知得氏口总二一由正强定理得式

19、记c 口三力+ cosifsir,sin(j4 -b B) = einffsinC ?a又在a48c中,sinfX -bB) = sintLrF 产所以UCHV)-B = -a1叵3 .i 依 1 F _3/ + W5c-T - X= 3236：24* .cosA cosB _ 绮4砒 ,/ k,且。十 方 -3口?长人的值.一/JsijaC.3, i7 siiiffsinC f匚于0 j(2)由已知及正弦定理心=4B=7又 S AABC=6虱3 .5白匚如为口二6,得口 = 6由余弦定理 / =+ / 2accosli得 .29.在心小日。中，内角人,兄。的对边分别为口,占， 且砧+ bcusC =.BD = -BC3(1)求人;(2)若白=2, 5mHs布。二5伽与，。为砧边上一点，且【答案(1)【解析】n= AD =3； (2)(1) . ccosH + bco