九年级数学第二章二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质

1、二次函数y=a (x-h)2+k(a0)的图象与性质【学习目标】1. 会用描点法画岀二次函数y = a(x-h)2+k (a、h、k常数,aHO)的图象.掌握抛物线y = a(x-h)2+k 与y = 图象之间的关系；2. 熟练掌握函数y = a(x-h)2+k的有关性质，并能用函数y = a(x-h)2+k的性质解决一些实际问题;3 .经历探索y = a(x-h)2+k的图象及性质的过程，y = a(x-h)2+k与)，= “/、y = ax2+k.y = a(x-h)2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法.【要点梳理】要点一函数与函数1. 函数y=a(x-h)2(aO)

2、的图象与性质CI的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上（爪0）x=hxh时，y随兀的增大而增大；xh时，y随 X的增大而减小；x = 时，y有最小值0.a<0向下（爪0）x=hx力时，y随x的增大而减小；时，y随 兀的增大而增大；x=h时，y有最大值0.2函数y = (兀一 ")2 + k(a丰0)的图象与性质“的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h，約x=hx力时，y随x的增大而增大；时，y随 兀的增大而减小；x = 时，y有最小值a<0向下（h，k）x=hx力时，y随x的增大而减小；时，y随 x的增大而增大；x = h时，y有最大值要点进阶：二

3、次函数y = a(x-h)2+k(aO)的图象常与直线、三角形、而积问题结合在一起，借助它的图象与性质运用数形结合、函数、方程思想解决问题.要点二、二次函数的平移1. 平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y = a（x-町' +确泄其顶点坐标（爪約；保持抛物线y = 的形状不变，将其顶点平移到（/n k）处，具体平移方法如下:A y-ax 2+5r向上炉。或苛T（xo）】平移関个单位向上（40）【或下3=0）】平移園个单位向右（沁）【或左（加0）】 平移岡个单位向右（加0）【或左（恥0）】 平移冋个单位向±（0）【或下（衣0）】 平移圍个单位向右（MJ）【或左（恥0）】 平移

4、网个单位A尸（2（启对2十上2. 平移规律：在原有函数的基础上“力值正右移，负左移；£值正上移，负下移”.概括成八个字“左如右减, 上加下减”.要点进阶y = G+bx + c沿y轴平移：向上（下）平移加个单位，y = ax2 +bx + cf$iy = ax1 +hx + c + m (或 y = ax2 +bx + c- rn )y = ax2 + bx + c沿x轴T務：向左（右）平移?个单位，y = ax'+Z?x + c变成y = a(x + m)2 + bx + m) + c(或 y = ax一 m)2 + bx m) + c )【典型例题】类型一、二次函数y =

5、 “（x-）2+g#O）图象及性质例1.已知y = a（x-h）2+k是由抛物线y = -+疋向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得 到的抛物线.（1）求出a、h、k的值：（2）在同一坐标系中，画出y = a（x-h）2+k与，=一丄疋的图象：2（3）观察y = a（x-h）2+k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大：当x取何值时，y随x增 大而减小，并求出函数的最值；（4）观察y = a（x ）2+k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？举一反三：【变式】把二次函数y = ax-hk的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函 数 y = _*（x +

6、l）2 一 1 的图象.（1）试确定a、h、R的值；（2）指出二次函数y = “（x /?）2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性.例2.已知函数y = <(x-1)' _l(xW3)0-5)2-l(x>3),则使y二k成立的x值恰好有三个，则k的值为（A. 0B. 1C. 2D. 3类型二二次函数y=a（xh）2 +叙“ HO）性质的综合应用 例3.已知：二次函数y=x2 - 4x+3.（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点坐标；（3）当x取何值时.y<0.举一反三：【变式】已知抛物线y=2 (x- 1) 2-8.(

7、1) 直接写出它的顶点坐标：_,对称轴:(2) x取何值时，y随x增大而增大？例4.如图所示，抛物线y|=J5(x + l)2的顶点为C,与y轴交点为A,过点A作y轴的垂线，交抛物 线于另一点B.求直线AC的解析式y2 = kx + b:(2) 求ZkABC的而积；(3) 当自变量x满足什么条件时，有vj > y2?【巩固练习】一、选择题1. 不论m取任何实数，抛物线y=a(X+m):+m(aO)的顶点都()A.在y二x直线上B.在直线y=-x± C.在x轴上 D.在y轴上2. 二次函数y = (x 1)2 + 2的最小值是().A. -2B. 2C. -1D. 13. 如图所

8、示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是().A. h = m B. k =n C. k > n D. k>0, n<0y趴a*0J X 幺*(5加第3题第5题4. (2014*牡丹江)将抛物线y=(x - 1 2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是().A. (0, 2) B. (0, 3) C. (0, 4) D. (0, 7)5. 如图所示,抛物线的顶点坐标是P(l, 3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是().A. x>3 B. x<3 C. x> 1 D. x< 16. 若二次函数y = (

9、x-w)2-l.当xWl时，y随x的增大而减小，则加的取值范围是()A. m =1 B. m >1 C. in 1 D.加 W1二、填空题7. (2015巴中模拟)抛物线y=x2+2x+7的开口向,对称轴是,顶点是.8. 若点A(3, -4)在函数y = -(x-m)2的图象上，则这个抛物线的对称轴是;点A关于抛物线对称轴的对称点是.9. 如果把抛物线y = a(x + b)2向上平移一 3个单位，再向右平移3个单位长度后得到抛物线),=丄(兀+ 2)23,则求a的值为 :方的值为.210请写岀一个二次函数，图象顶点为(-1, 2),且不论x取何值，函数值y恒为正数.则此二次函数 为 一11. 若二次函数y = 3(x-l)2 +2中的X取值为20W5,则该函数的最大值为；最小值为.12. 已知抛物线y*+x+b，经过点(a -1)和OyJ,则y,的值是.三. 解答题13. 抛物线y=3(x-2)2与x轴交于点A,与y轴交于点B,求AAOB的面积和周长.14已知二次函数y=-x2+2 (m- 1) x+2m - m2的图象关于y轴对称，其顶点为A,与x轴两交点为B、 C.(1) 求B、