(完整版)抛物线的性质归纳及证明

1、抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明过抛物线y2= 2px (p> 0)焦点F的弦两端点为A(xi, yi), B(x2, y2),倾斜角为，中点为C(xo,y 0),垂足为A'、B'、C .1.求证:分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，焦半径I AF I xiP -；11 i 2 i cosI-；一|+人片=2；弦长 I ABI = xi + X2+ p= 2p ;特别地，当 Xi=X2( =90 ) 丨AF丨丨BF丨Psin 2焦半径|BF| £号鳥2同理，1 BF

2、 =罟=盘2时，弦长|AB|最短，称为通径，长为鸟卩：厶AOB的面积Soa=p2sin 证明：根据抛物线的定义，| AF |= | AD |= xi+ p, | BF |= | BC |= x2 + 2,| AB |= | AF 汁 | BF |= xi + X2+ p如图2,过A、B引x轴的垂线AAi、BBi，垂足为Ai、Bi，那么 | RF |= | AD | FAi |= | AF | AF |cos ,.I af |=1 RF 1 = pi cos i cosj AB =1 AF |+1 BF =血 + 盅=話S5 = S5 + Sobf = 2| OF | yi |+1| OF |

3、yi | =舟舟 yi 1+ I yi I)-yiy2= p2,贝V yi、y2异号，因此，| yi |+ | yi |= | yi y2 |二 SOAB = 4| yi y2 | = /(yi + y2)2 4yiy2 = g/4m2p2+ 4p2=p/i + m2=21,1 2 十IAF | BF | p22.求证：x冷P ，刘24当AB丄x轴时，有AF BF p,成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为:y k x卫代入抛物线方程:22k2 x号2px.化简得：k2x22pk2 2x 中211方程（1 ）之二根为X1 , X2, xx21_ _1_ _1_ _1AF BFAA,

4、 BB1X2x-ix2p2ppx1x2xix2243.求证:x12P 卫X2Px1x22p_4AC'Bx1x2pA'FB' Rt Z .x1x2p先证明：Z AMB = Rt Z【证法一】延长 AM交BC的延长线于E,如图3, 则 ADM ECM , I AM |= | EM |, | EC |= | AD | | BE |= | BC 汁 | CE |= | BC 汁 | AD |图3=| BF |十 | AF |= | AB | ABE为等腰三角形，又 M是AE的中点, BM 丄 AE,即/ AMB = Rt /【证法二】取 AB的中点N，连结MN，贝U| MN |

5、= 2(| AD 汁 | BC |)= 2(| AF |+ | BF |)=弓 AB |,二 | MN |= | AN |= | BN | ABM为直角三角形，AB为斜边,故/AMB = Rt / .【证法三】由已知得 C(-2, y2)、D(-2,屮),由此得m(2,y+y2)2 ).yi + y2 yi_ 2 kAM =xi + Py y2p(yi y2)y2+ P222 2p + pp(y于)y2+ P2卫yi,同理kBM=p2,=心 + 躯1 + X2)+ 孚-P2 . p yl斗 _y|_ p2 y1+ yl 2yiy2=4 + 2(2p + 2p) + 4 4=疋+地=丘+二= 0

6、2 2 2 2 "ma 丄 Pb，故/ AMB = Rt/ .【证法五】由下面证得/ DFC = 90，连结FM，贝U FM = DM.又 AD = AF，故 ADM AFM，如图 4/ 1 = Z 2，同理/ 3 =Z 4 "Df 丄"Cf，故z dfc = 90 .1/ 2+Z 3 = 2X 180 = 90/ AMB = Rt Z .接着证明：Z DFC = Rt Z【证法一】如图 5,由于| AD |= | AF |, AD / RF, 故可设Z AFD =Z ADF =Z DFR =, 同理，设Z BFC =Z BCF = Z CFR =, 而Z AFD

7、 + Z DFR + Z BFC +Z CFR = 180 2( + ) = 180，即 + = 90，故Z DFC = 90【证法二】取CD的中点M，即M( 2,豊严)由前知 kAM = P , kcF = y = = P y1+ p+ pp y12 2 kAM = kCF, AM / CF，同理， BM / DF Z DFC =Z AMB = 90 .【证法三】 "Df = (p, y1), "Cf = (p, y2), - DF CF = p2 + y1y2 = 0【证法四】由于I RF 2= p2= y2= I DR | - | RC |,即嗟 =1 RF 1，且Z

8、 DRF = Z FRC = 901 RC 1 DRF FRC Z DFR = Z RCF，而Z RCF+Z RFC = 90 Z DFR + Z RFC= 90 Z DFC = 904. C ' A、C' B是抛物线的切线2【证法一】T kAM = p, AM的直线方程为y y1 = °(x ¥)lM1yO / FxN1An图7图8y1yr 2p7与抛物线方程y2= 2px联立消去x得y-yi=y(2p 2p，整理得 y2- 2yiy+ y2= 0可见= (2yi)2 4y2 = 0, 故直线AM与抛物线y2= 2px相切， 同理BM也是抛物线的切线，如图

9、8.【证法二】由抛物线方程y2= 2px,两边对x求导，(y2)x= (2px)x,得2y yx= 2p, y* = p,故抛物线y2= 2px在点A(xi, yi)处的切线的斜率为 k切=yx| y d = P=yi 一 .yi又kAM = yi, k切一 kAM，即AM是抛物线在点 A处的切线，同理 BM也是抛物线的 切线【证法三】过点 A(xi, yi)的切线方程为yiy p(x+ xi)，把M( p, y ； y)代入左边一 yi yi + y y2+ yy 2pxi p22 = 2 = 2=pxi pf2 ,A的切线经过点M ,右边一 p( p + xi)= p + pxi，左边一右

10、边，可见，过点即AM是抛物线的切线，同理 BM也是抛物线的切线5. C'A、C'B分别是/ A 'AB和/ B 'BA的平分线【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,则厶 ADM ECM，有 AD / BC, AB= BE,/ DAM 一/ AEB 一/ BAM ,即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.【证法二】由图 9可知只须证明直线 AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可，即 =2 且 M(-p，中)tan k y2 y1 y2y1 2p-tan Kab = 22 X2 xiy2 y1yi + y2p 2p/ tan 22tan1 tan2

11、2Pyi2pyi2pyi222i(p)2 y2 py2+ yiy2(yi) tanyi + y22，即AM平分/ DAB,同理 BM平分/ CBA.6. AC ' A '、y轴三线共点，BC ' B '、y轴三线共点【证法一】如图iO,设AM与DF相交于点Gi,由以上证明知| AD | | AF |, AM平分/ DAF，故AGi也是DF边上的中线,Gi是DF的中点.设AD与y轴交于点Di, DF与y轴相交于点易知，| DDi |= | OF |, DDi / OF ,故厶 DDiG2 FOG2I DG2 | | FG2 I,则 G2也是 DF 的中点.- Gi

12、与G2重合（设为点 G），贝U AM、DF、线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.2【证法二】am的直线方程为y-yi=器x-稽）,令x 0得AM与y轴交于点Gi（0,等）,又DF的直线方程为y （x p）,令x 0得DF与y轴交于点p 2G2(0 , AM、DF与y轴的相交同一点 G（0,罗），贝AM、DF、y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点 H .由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形yi+ y2( p2)tan :yi2yi y2p(yi y2)p(yiyi ) p,pyi ,yi +p2yi +p2yixi + 22 + p22p7. A、0、B '三点共线，B、0

13、、A '三点共线.【证法一】如图11, k0A=比=洛=2P ,xiyiyi2py22y22py2 2py2 2pkoc =2 =ppp2 yiy2 yi2二 koA = koc,贝U A、0、C 三点共线，同理D、0、B三点也共线.【证法二】设 AC与x轴交于点 0 ,T AD / RF / BC.| RO |= | C0 |= | BF | 0 F |= | CB |'| AD | = | CA | = | AB |， | AF | = | AB |，又| AD |=| AF |, | BC |=| BF |,I R0 |I AF |I 0F |I AF | | R0 |

14、= | 0 F |,贝U 0与0重合，即C、0、A三点共线，同理D、0、B三点也【证法三】设AC与x轴交于点 0 , RF / BC,10U| CB |迟| AB |，|CB |AF|= | AB |=| BF| | AF |= | AF |+ | BF |=i + i 2 | AF |+| BF |【见证】 0与0重合，则即C、0、A三点共线，同理 D、0、B三点也共线.【证法四】0C = ( p, y2), 0A = (xi, yi),p yi xi y2= 2 -yipyiyi岳 y2= 2yiy2yi2p叫吐=02 2p "0c / 3a，且都以0为端点 A、0、C三点共线，

15、同理 B、0、D三点共线.【推广】过定点 P(m, 0)的直线与抛物线 y2= 2px ( p > 0)相交于点 A、B，过A、B两 点分别作直线I: x= m的垂线，垂足分别为 M、N，贝U A、0、N三点共线，B、0、M 三点也共线，如下图：共线.8.若| AF I： | BF |= m : n,点A在第一象限为直线AB的倾斜角则cosm n m+ n ；【证明】如图14,过A、B分别作准线I的垂线，垂足分别为D,C,过B作BE丄AD于 E,设 | AF |= mt,| AF |= nt,则| AD |= | AF |, | BC |= | BF |, | AE |= | AD |

16、BC | = (m n)t亠 "亠 ,I AE I (m n)t m n在 Rt ABE 中, cos/ BAE =祐=卷=/ cos = cos/ BAE= mn. m+ n【例6】设经过抛物线 y2= 2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B,且| AF |: | BF |= 3: 1,则直线AB的倾斜角的大小为9以AF为直径的圆与y轴相切, 相切；A' B'为直径的圆与焦点弦以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线AB相切.A'yX-'C'K B'OJB【答案】60或120 .【说明】如图15,设E是AF的中点,xi则E的坐标为（一2,则点E到y轴的距离为d=曹=1| AF |故以AF为直径的圆与y轴相切,同理以BF为直径的圆与y轴相切.N,则【说明】如图15,设M是AB的中点，作 MN丄准线I于1 1 1I MN |= -(| AD 汁 | BC |)= 2(l AF |+ |