初中数学辅助线添加技巧：角平分线

1、初中数学辅助线添加技巧：角平分线方法总结与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型.已知P是3ON平分线上一点，(1) 若只4丄OM于点A，可以过P点作丄ON于点则PB = PA.可记为“图中 有角平分线，可向两边作垂线”.(2) 若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造 AOPBAOPA,可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对折以后关系现“.(3) 若AP丄OP于点P,可以延长AP交ON于点构造AAOB是等腰三角形，P是 底边的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看“.(4) 若过P点作PQ / ON交0M于点Q,可以构造厶户。是等腰三角

2、形，可记为“角 平分线+平行线，等腰三角形必呈现(3)(4)典例精析例 1.如图，在aABC 中，ZC = 90°, AD 平分ZCAB. BC=6cm, BD=4cm,那么点 D到直线AB的距离是cm.(2) 如图，已知Z1 = Z2Z3 = Z4.求证：AP平分ABAC.A解：(1) 2 (提示：作丄AB交AB于点H)(2)证明：过点P分别作PM丄初于PN1.BC于点N, P0丄/1C于点QQV Z1 = Z2> PM = PN Z3 = Z4, PQ = PN PQ = PMAP 平分 ZBAC.例2如图1, RtA ABC中，ZAC£? = 90°,

3、 CD 丄 AB.垂足为 D 4F 平分 Z CAB.交CD于点F.(1) 求 iiE： CE = CF (2) 将图(1)中bACD沿AB向右平移到 ADE的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图2所示.试猜想.BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.B图1图2解：(1)证明：VCD丄AB, ZADC = 90°I ZACB = 90° ZC4F + ZCFA = 90°, ADAE + ZAED = 90。VAF 平分 ZC4B, ZCAF = ZDAE ZCFA = ZAED = ZCEF A CE = CF (2)解：BE = CF 证明：过点E

4、作EG丄AC于点G又 TAF 平分 ZCAB9 ED 丄 AB,:.ED = EG由平移的性质可知：D'E' = DE» DE = GE I ZACB = 90° , ZACE+ZDCB = 90。I CD 丄 AB 于 D、:.AB + ZDCB = 90。 ZACE = AB在 RtACEG 与 RtA BErDf 中, ZGCE = ZB.乙CGE = ABDE, EG = ED9,:.CE = BE 由(1)可知C£ = CF, CF = BE 点拨：以上两例使用了辅助线方法(1)，“可向两边作垂线"，苴中例2还可以过点F 作AB

5、的垂线.例3.读下而的材料：如图1所示，0P平分ZMON, A为0M上一点，C为0P上一点.连接AC,在射线ON上截取OB=OA,连接BC,如图2所示，易证AAOCABOC.根据以上材料，解答下列问题：(1) 如图3所示，在AABC中，AD是的外角平分线，P是AD上异于点A的 任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.(2) 如图4所示，AD是AABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC-PB与AC-AB 的大小并说明理由.图3图4解：(1) PB + PC>AB + AC 证明：在的延长线上截取AE=AC.连接PEABPDTAD是ABAC的外角平分线，乙CAP = E

6、AP 在ZVICP 和 A/1EP 中，AC = AE.ZCAP = ZE4R AP = AP,:.AACP/AEP.:.PC = PE 在ZBPE 中 PB+PE>BE,I BE = BA + AE = AB + AC, PB + PC>AB + AC （2） PC-PB<AC-AB 证明：在AC上取一点E,使A£ = M,连接PECAD 平分 ABAC, ZEAP = ZBAPV AE = AB,AP = AP f:.APE/XAPB.:.PE = PB 在AEPC 中，PC-PE<EC$ 即 PC-PB<AC-AE,:.PC-PB<AC-AB

7、 点拨：本例使用了辅助线方法（2）, “对称以后关系现例4如图，已知等腰直角三角形ABC中，zA=90°, AB=AC. BD平分zjBC. CE丄BD,垂足为点&求证：BD=2CED -E解：证法一：延长BA交CE延长线于点F,A BE 丄 CF , ABEC = ZBEF J FBE = ZCBE.BE = BE,:.HBCFOHBFE CE = EF =CF2 ZFC4 + ZF = 90°.ZDBA + ZF = 90。作CA = MBA 又 V AC = AB. ZFAC = ZDAB = 90°,FCA 竺 ADBA A CF = BDV CF

8、 = 2CE、:.BD = 2CE证法二：过点D作DH !/BC交AB于H过点H作HF丄BD,垂足为点F ZAHD = ZABC = 45。.ZHDB = SBC = ZHBD,:.HB = HD.HF是BD的垂直平分线.:.bf = Lbd2又AH=AD.AB = AC ,:.HB = DC ABHF = ZBDA = /CDE,A Rt ABFHRt A CED : BF = CE、CE =、BD,即 BD = 2CE 2证法三：作ZACB的平分线CF,交AB于点F.过点D作曲丄CF于点连接FDV ZABC = Z4CB , BD 平分 ZABC, CF 平分 ZACB,:HBFC 竺 H

9、CDB、:.BD = CF,BF = CD、AF = AD. ZAFD = ZABC = 45Q. FD/ BC FD/ BC 乙 DFC =乙 BCF = -ZACB = 22.5° 2 ZDFC = ZDCF ,:.DF = DC:.DH是CF的垂直平分线， HC = HF = -CF = -BD 2 2 AECD + ZCDE = 90ZABD + ZADB = 90o、ZCDE = ZADB :.ZECD = ZABD = 225。 ZECD = ZHCD.又 V ZDEC = ZHCD = 90°> DC 为公共边，DCE 仝DCH :CE = CH = L

10、bD,即 BD = 2CE 2证法四：作BD的垂直平分线GH,交BC于连接DH,则BH = DH、ZHDG = ZHBGA ZABG = ZHBG ,: AHDG = ZABG ,从而 HD “ AB :.ZDHC = ZABC = 45。, ADHC = ZDCH : HD = CD,即 BH=CDX V ZECD + ZCDE = 90°. ZABD + ZADB = 90° , ZADB = ZCDE :在CD = ZABD、即 ZECD = ZGBH “CED 竺 RtABGH :CE = BG =丄 BD,即 BD = 2CE 证法五：作BC的中线AM.则AAZ丄

11、BC, AM平分ZBAC ,取CD的中点F,连接MF、ME,则 MF = LbD VME是RtABCE斜边上的中线,4琢如0心22.5。， ZCME = ZMEB + ZEBM = 45。， ZCME = ZMAF = 45。XV ZEC + ZCBE = 90°, ZADB + ZABD = 90° , ZCBE = ZABD, :.ZECB = ZADB MF H BD,:如FA = ZADB、即 ZWE4 = ZECB:.AAMFAMEC 、: MF = CE、即 CE = = BD，所以 BD = 2CE 点拨：本题是一个一题多解题，其中方法一体现了角平分线+垂线构

12、造等腰三角形.由 于作辅助线的方法不同，此题还有苴它解法，可以自行研究.例5.(1)如图1, 3D和CE分别是ABC的外角平分线，过点A作CD丄AD,CE丄BE,垂足分别为 D、E.求证：(1) DE/AB； (2) DE = 1(AB + BC + C4):(2) 如图2, BD、CE分别是ZVIBC的内角平分线，其它条件不变；(3) 如图3, BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其它条件不变.则在图2、图3两种情况下，DE与BC还平行吗？它与MC的三边又有怎样的数量 关系？请写岀你的猜测，并对其中的一种情况进行证明.解：(1)证明：分别延长AD, AE交直线BC于点F .

13、G. AD 丄 BD， ZADB = ZFDB = 9(rT ZADB = "DB、BD = BL), ZSABDFBD I AB = FB、AD = FD 同理：AC = CG,AE = EG :.DE是AFG中位线. DE H BC DE =、FG,2:.DE = FG = (BF + BC + CG) = (AB + AC + BC).(2) DE 与 BC 平行：DE = FG = AB + AC-BC).证明：延长AE交BC于点M,延长AD交BC于点N,由(1)同理可得，E是AM中点，D 是 AN 中点，AB = BN,AC = CM C DE/BC. DE = 1mN=J

14、bN + CM-BC) =丄(AB + AC-BC)2 2 2(3) DE与BC平行：m4(BC + AC A3),辅助线作法如下，证法同(2).点拨：本例常见辅助线方法（3）角平分线+垂线构造等腰三角形.举一反三：1. 在/MBC中，AB = 3AC. ABAC的平分线交BC于点D 过点B作3E丄AD于点E,求证：AD = DE.A例 6.如图 1, AB = AC, BD. CD 分别平分 ZABC, ZACB.问：<1）图1中有几个等腰三角形？（2）过D点、EF “ BC，如图2,交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰 三角形？<3）如图3,若将题中ZVIBC改为不

15、等边三角形，苴他条件不变，图中有几个等腰三 角形？写出EF与BE、CF有什么关系？（4）如图4, 平分ZABC, CD平分外角ZACG.交AB于点E,交AC于点、F.线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由.（5）如图5BD、CE为外角ZCBM、ZBCN的平分线，DE/BC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与B© CF有什么关系？图1图2图3AA图5解：（1）图1中有两个等腰三角形：AABC. BCD.（2）图2中又增加三个等腰三角形：ZSAEF、/BED、CTO（3）图3中有两个等腰三角形：MED、ACFD.由于 £D = BE、DF = CF,E

16、F = ED+FD = BE + CF ,所以 EF = BE + CF （4）图4中有两个等腰三角形： MED、ACFD.证明:TBD平分ZABC,:.ZABD = ZDBCI DE/BC. AEDB = ZDBC，:.ZABD = ZEDB， DE = DF EF = DE-DF, EF = BE-CF （5）EF = BE + CF,证法与同（3）点拨：本题利用的是角平分线+垂线，等腰三角形必呈现.例 7如图，已知ABC 中，AC = AB, ZC = 90Q.AD 平分ZCAB，求圧 AB = AC + CD.解：证法一：过点D作加丄于点EI CD 丄 ACCAD = AEAD.AD

17、= AD, RtzMCDRtzMED,CD=DE > AC = AE.又 V DE 丄 ABZB = 45。，:.ABED为等腰宜角三角形.: DE = BE, BE = CD :.AB = AE+BE = AC + CD 证法二：延长AC到点E,使CE = C£>,连接EDC/： ZECD = 90°,又 I ZEAD = ABAD. ZE = ZB = 45。, AD = AD.: AE = AB AB = AC+CE = AC + CD 点拨：线段之间的关系通常有以下几种提问方式：（1）若问两条线段之间的关系时，一般要回答数量关系和位置关系；（2）若问线段

18、之间的数量关系时，一般情况下要写等量关系，或是和差倍分关系：（3）若问线段之间的大小关系时，必须填大（等）于或小（等）于；当所求线段关系为和差倍分关系时，一般情况我们作辅助线的方法是截长补短.举一反三1如图，ABC中，AB = AC, ZA = 108°, 3D平分ZABC交AC于D点.求证:BC=AC+CD2. 如图，ZXABC 中，AB = AC, ZA = 100°, BQ平分ZABC,求证：BC = BD + AD. A例8.如图所示，OP是ZMON的平行线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)

19、 如图(2),在 'ABC 中，ZACB 是宜角，ZB=60°, AD. CE 分别是 ZBAC、ZBCA 的平分线，AD. CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系.(2) 如图(3),在AABC中，如果ZACB不是直角，而中的英他条件均不变，请问，你 在(1)中得到的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.图1图3解：图略(1 )F£与FD之间的数量关系为FE=FD.(2)答：(1)中的结论F民FD仍然成立.证法一：如图，在AC k截取AG=AE,连接FG因为Z1=Z2. AF为公共边，可证AEF9AAGF.所以 ZAFE=ZAFG

20、. FE=FG 由ZB=60% AD. CE分别是"AC、ZBCA的平分线，可得Z2+Z3=60°.所以 ZAFE= Z CFD= ZA FG=60° 所以 ZCFG=60°.由Z3=Z4及FC为公共边，可得 CFG竺CFD所以FG=FD所以FE=FD证法二：如图，过点F分别作FG丄AB于点G, FH丄BC于点H.因为ZB=60%且AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线，所以可得Z2+Z3=60°, F是ABC的内心.所以 ZGEF=60°+ZL FG=FH又因为ZHDF=ZB十Zl,所以 ZGEF=ZHDF.因此可证厶EGF竺HDHF所以FE=FD点拨：本题的辅助线，作垂宜和对称皆可.当我们证明两条线段相等时，可以用以下方 法：(1) 两条线段共端点且共线时，证明公共端点是中点或在这条线段的垂直平分线上：(2) 两条线段共端点但不共线时，证明底角相等；(3) 两条线段既不共端点又不共线时，可通过找到中间等量代换一下或者放到两个三 角形当中，直接证明三角形全等，如果不存在这样的三角形，那么就需要你去构造三角形.跟踪训练1.(1)如图1,在ABC中，ZABC与ZACB的角