2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义12《导数与函数的综合问题》（含详解）

1、2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义12导数与函数的综合问题一、选择题方程x36x29x10=0的实根个数是()A.3 B.2 C.1 D.0若存在正数x使2x(xa)1成立，则实数a的取值范围是()A.(，) B.(2，) C.(0，) D.(1，)已知函数f(x)的定义域为1,4，部分对应值如下表：f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示.当1<a<2时，函数y=f(x)a的零点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4若关于x的不等式x33x29x2m对任意x2,2恒成立，则m的取值范围是()A.(，7 B.(，20 C.(，0 D.12,7设f(x)是定义在R上的奇

2、函数，且f(2)=0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是()A.(2,0)(2，)B.(2,0)(0,2)C.(，2)(2，)D.(，2)(0,2)定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)1，f(0)=4，则不等式exf(x)ex3(其中e为自然对数的底数)的解集为( )A.(0，) B.(，0)(3，)C.(，0)(0，) D.(3，)若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，0) B.(，4 C.(0，) D.4，)设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y=ln xln 2上，则|PQ|的最小值为()A.

3、1ln 2 B.(1ln 2) C.2(1ln 2) D.(1ln 2)已知函数（lnx是以e为底的自然对数，e=2.71828.），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m的取值范围为( )A.(0,e2+3) B.(4,e2-1 C.5-2ln2,e2-1 D.5-2ln2,4做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为()A.3 B.4 C.6 D.5函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是（    ）A.(- ,0)  B.(0,+ )   C.(- ,3)和(1,

4、+ )   D.(-3,1)已知函数f(x)=(xa)33xa(a0)在1，b上的值域为22a,0，则b的取值范围是( )A.0,3 B.0,2 C.2,3 D.(1,3二、填空题若函数f(x)=2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a=_.函数y=x2cos x在区间上的最大值是_.已知函数f(x)=x，g(x)=2xa，若任意x1,1，存在x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_.直线x=t分别与函数f(x)=ex1的图象及g(x)=2x1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为 .三、解答题已知函数f(x)=lnx.(1)求曲线y=f(x)在点(1

5、，f(1)处的切线方程；(2)求证：f(x)>0.已知函数f(x)=aexln x1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a时，f(x)0.已知函数f(x)=x2(a2)xalnx(a为实常数).(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)若存在x1，e，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围.设函数f(x)=ax2xln x(2a1)xa1(aR).(1)当a=0时，求函数f(x)在点P(e，f(e)处的切线方程；(2)若对任意的x1，)，函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.已知函数f(x)=(aR).(1)求函数f(x

6、)的单调区间；(2)若任意x1，)，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围.已知函数f(x)=(xa1)ex，g(x)=x2ax，其中a为常数.(1)当a=2时，求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若对任意的x0，)，不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围.已知函数f(x)=(ax2)ex在x=1处取得极值.(1)求a的值；(2)求函数f(x)在m，m1上的最小值；(3)求证：对任意x1，x20，2，都有|f(x1)f(x2)|e.答案解析答案为：C；解析：设f(x)=x36x29x10，f(x)=3x212x9=3(x1)(x3)，由此可知函数的极大值为f(1)

7、=60，极小值为f(3)=100，所以方程x36x29x10=0的实根个数为1.答案为：D；解析：2x(xa)1，ax.令f(x)=x，f(x)=12xln 20.f(x)在(0，)上是增加的，f(x)f(0)=01=1，实数a的取值范围为(1，).答案为：D解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y=f(x)的大致图象如图所示.由于f(0)=f(3)=2,1<a<2，所以y=f(x)a的零点个数为4.答案为：B解析：令f(x)=x33x29x2，则f (x)=3x26x9，令f (x)=0得x=1或x=3(舍去).f(1)=7, f(2)=0, f(2)=20，f(x)的

8、最小值为f(2)=20，故m20.答案为：D解析：当x>0时，<0，(x)=在(0，)为减函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在R上单调递增.f(2)=0，在(0,2)内恒有f(x)>0；在(2，)内恒有f(x)<0.故在(，2)内恒有f(x)>0；在(2,0)内恒有f(x)<0.故x2f(x)>0的解集为(，2)(0,2).答案为：A；解析：设g(x)=exf(x)ex(xR)，则g(x)=exf(x)exf(x)ex=exf(x)f(x)1，因为f(x)f(x)1，所以f(x)f(x)10，所以g(x)0，所以g(x)=exf(x)ex在

9、定义域上单调递增，因为exf(x)ex3，所以g(x)3.又因为g(0)=e0f(0)e0=41=3，所以g(x)g(0)，所以x0.答案为：B；解析：由题意知a2ln xx对x(0，)恒成立，令g(x)=2ln xx，则g(x)=1=，由g(x)=0得x=1或x=3(舍)，且x(0,1)时，g(x)0，x(1，)时，g(x)0.因此g(x)min=g(1)=4.所以a4，故选B.答案为：D.解析：由已知可得y=2ex与y=ln xln 2=ln 互为反函数，即y=2ex与y=ln xln 2的图象关于直线xy=0对称，|PQ|的最小值为点Q到直线xy=0的最小距离的2倍，令Q(t，ln tl

10、n 2)，过点Q的切线与直线xy=0平行，函数y=ln xln 2的导数为y=，其斜率为k=1，所以t=1，故Q(1，ln 2)，点Q到直线xy=0的距离为d=，所以|PQ|min=2d=(1ln 2).答案为：C；答案为：A；解析：设圆柱的底面半径为R，母线长为l，则V=R2l=27，l=，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小.由题意，S=R22Rl=R22·.S=2R，令S=0，得R=3，则当R=3时，S最小.故选A.答案为：D答案为：A；解析：由f(x)=(xa)33xa，得f(x)=3(xa)23，令f(x)=0，得x1=a1，x2=a1.当x(，a1)(a

11、1，)时，f(x)0，当x(a1，a1)时，f(x)0，则f(x)在(，a1)，(a1，)上为增函数，在(a1，a1)上为减函数.又f(a1)=22a，要使f(x)=(xa)33xa(a0)在1，b上的值域为22a,0，则f(1a)=22a0，若22a=0，即a=1，此时f(1)=4，f(0)=0，22a=4，f(3)=0，f(2)=4.b0,3；若22a0，即a1，此时f(1)=(1a)33a=a33a22a2，而f(1)(2a2)=a33a22a22a2=a33a24=(1a)·(a2)20，不合题意，b的取值范围是0,3.故选A.答案为：4或5；解析：f(x)=6x218x12

12、，令f(x)=0得x=1或x=2，又当x1或x2时，f(x)0，当1x2时，f(x)0.因此x=1和x=2分别是函数f(x)的极大值点和极小值点.由题意知f(1)=0或f(2)=0，即5a=0或4a=0.解得a=4或a=5.答案为：.解析：y=12sin x，令y=0，又x，得x=，则x时，y>0；x时，y<0.故函数y=x2cos x在上单调递增，在上单调递减，所以当x=时，函数取得最大值.答案为：(，1；解析：当x,1时，f(x)=10，f(x)min=f(1)=5.当x2,3时，g(x)=2xa是增函数，g(x)min=4a.由题意知54a，即a1.答案为：42ln2；解析：

13、由题意得，|AB|=|et1(2t1)|=|et2t2|，令h(t)=et2t2，则h(t)=et2，所以h(t)在(，ln2)上单调递减，在(ln2，)上单调递增，所以h(t)min=h(ln2)=42ln20，即|AB|的最小值是42ln2. (1)解：f(x)=lnx的定义域是(0，)，f(x)=，所以f(1)=，又f(1)=1，则切线方程为x2y3=0.(2)证明令h(x)=x32x23x2，则h(x)=3x24x3，设h(x)=0的两根为x1，x2，由于x1x2=1<0，不妨设x1<0，x2>0，则h(x)在(0，x2)上是单调递减的，在(x2，)上是单调递增的.而

14、h(0)<0，h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，)上存在唯一零点x0，且x0(1,2)，所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增.所以f(x)f(x0)=lnx0，因为x0(1,2)，lnx0>0，f(x)>>0，所以f(x)>0.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)=aex.由题设知，f(2)=0，所以a=.从而f(x)=exln x1，f(x)=ex.当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，)单调递增.(2)证明：当a时，f(x)ln x1.设g(x)=ln

15、 x1，则g(x)=.当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x0时，g(x)g(1)=0.因此，当a时，f(x)0.解：(1)当a=2时，f(x)=x22lnx，则f(x)=2x，f(1)=0，所求切线方程为y=1.(2)f(x)=2x(a2)=，x1，e.当1，即a2时，x1，e，f(x)0，此时f(x)在1，e上单调递增.所以f(x)的最小值为f(1)=a1，所以1a2；当1<<e，即2<a<2e，x（1，）时，f(x)<0，f(x)在（1，）上单调递减；当x（，e）时，f(x)>0，f(x)在（，e）上单调递

16、增，所以f(x)的最小值为f()=aaln=a(ln -a-1).因为2<a<2e，所以0<ln<1，所以f()=aln -a-1)<0恒成立，所以2<a<2e；当e，即a2e时，x1，e，f(x)0，此时f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)的最小值为f(e)=e2(a2)ea，因为a2e>，所以f(e)<0，所以a2e，综上，a1.解：(1)当a=0时，f(x)=xln xx1，则f(x)=ln x，则f(e)=1，f(e)=1，所以函数f(x)在点P(e，f(e)处的切线方程为y1=(xe)，即xy1e=0.(2)f(x)=2ax1

17、ln x(2a1)=2a(x1)ln x，易知，ln xx1，则f(x)2a(x1)(x1)=(2a1)(x1)，当2a10，即a时，由x1，)得f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上单调递增，f(x)f(1)=0符合题意.所以a.当a0时，由x1，)得f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)=0显然不满足题意，故a0舍去.当0<a<时，由ln xx1，得ln 1，即ln x1，则f(x)2a(x1)（1）=·(2ax1).因为0<a<，所以>1.当x1,时，f(x)0恒成立，此时f(x)在1,上单调递减，f(x)f(1)=0

18、不满足题意，所以0<a<舍去.综上可得，实数a的取值范围为,+).解：(1)f(x)=，当a时，x22x2a0，故f(x)0，函数f(x)在(，)上递增，当a时，函数f(x)的递增区间为(，)，无递减区间.当a时，令x22x2a=0x1=1，x2=1，列表由表可知，当a时，函数f(x)的递增区间为(，1)和(1，)，递减区间为(1，1).(2)f(x)112ax2ex，由条件2ax2ex，对任意x1成立.令g(x)=x2ex，h(x)=g(x)=2xex，h(x)=2ex，当x1，)时，h(x)=2ex2e0，h(x)=g(x)=2xex在1，)上递减，h(x)=2xex2e0，即

19、g(x)0，g(x)=x2ex在1，)上递减，g(x)=x2exg(1)=1e，故f(x)1在1，)上恒成立，只需2ag(x)max=1e，a，即实数a的取值范围是（，）.解：(1)因为a=2，所以f(x)=(x1)ex，所以f(0)=1，f(x)=(x2)ex，所以f(0)=2，所以切点的坐标为(0，1)，所以切线方程为2xy1=0.(2)令h(x)=f(x)g(x)，由题意得h(x)min0在x0，)上恒成立，h(x)=(xa1)exx2ax，所以h(x)=(xa)(ex1)，若a0，则当x0，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，)上单调递增，所以h(x)min=h(0)=a1，则a10，得a