内切球与外接球习题课件教师版

1、精品教学课件设计 | Excellent teaching planRl2a2 b2 c2A. 103B.48C.83D.73立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1 球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内 切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者 表面积等相关问题 .1.1 球与正方体如图 1所示，正方体 ABCD A1B1C1D1,设正方体的棱长为 a，E,F,H,G 为棱的中点， O 为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则 OJ r a ；2二是与正方体

2、各棱相切的球，截面图为正方形 EFHG和其外接圆，则 OG R 2 a； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACC1A1和其外接圆，则 A1O R' 3a .2通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根 据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的 棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题 。例 1 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点都在球 O的表面上， E，F 分别是棱AA1 ， DD 1的中点，则直线 EF被球 O截得的线段长为()A 2B 1C 1 2D 2221.2 球与长方

3、体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球 . 但是不一定存在内切球 . 设长 方体的棱长为 a,b,c,其体对角线为 l. 当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角 面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为 2， 2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意摆动此长方 体，则球经过的空间部分的体积为 ( )1.3 球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目 的解法构造直角三角形法。设正三棱柱 ABC A1B1C1 的高为 h，底面边长为 a，如图 2 所示， D和D1分别为上下底面的中心。根据

4、几何体的特点，球心必落在高 DD1的中点 O， OD h,AO R,AD 3 a ，借助直角三角形 AOD的勾股定理，可求 R23作一个与边 SD和DC 相切，圆心在高 SE上的圆，即为内切球的截面。因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为23CO OS R,OE r,SE a,CEa,则有 R r332 2 23a， R rO。此时，2CE 2=a ，解得：R 46 a,r 126a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解 .同时我们可以发现，球心 O为正四面体高的四等分点 . 如果我们牢记这些数例 3 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的

5、各顶点都在半径为 R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .2 球与锥体 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合， 以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几 何体的体积或者表面积等相关问题 .2.1 球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利 用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图 4，设正四面体 S ABC的棱长为 a ，内切球半径为 r ，外接球的半径为 R，取 AB的 中点为 D， E为 S在底面的射影，连接 CD ,SD, SE为正四面体的高。在截面三角

6、形 SDC,量关系，可为解题带来极大的方便 .例 4 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里， 这个正四面体的高的最小值为 ( )A. 3 2 6 B. 2+ 2 6 C. 4+ 2 6 D. 4 3 2 6 3 3 3 3球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥3 倍 .球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式： 一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球

7、 心就是三棱锥的外接球的球心。如图5，三棱锥 A1 AB1D1 的外接球的球心和正方体ABCD A1B1C1D1的外接球的球心重合，设 AA1 a，则 R 3a。2 二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外 a2 b2 c2 l 2接球的球心就是三棱锥的外接球的球心， R2 a b c l （l 为长方体的体对角线长 ）。44球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点， 可以构造直角三角形进行求解 .二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球 心到四个面的距离相等，都为球半

8、径 R 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的 距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积 . 例 6 在三棱锥 PABC中， PA PB=PC=3 ,侧棱 PA与底面 ABC所成的 角为 60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A B. C. 4 D. 433例 5 在正三棱锥 S ABC中， M、N分别是棱 SC、BC的中点，且 AM MN ,若侧棱SA 2 3, 则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是2.3 球与正棱锥2.4 球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形 法、等进行求解。例如，四面体都是直角

9、三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球 心位置。借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解 .例 8 在半径为的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球的半径的最大值为（）如图 8，三棱锥 S ABC ,满足SA 面ABC，AB BC，取 SC的中点为 O ，由直角三角形的性 质可得： OA OS OB OC ,所以O点为三棱锥 S ABC的外接球的球心 ,则R SC.2例 7 矩形 ABCD中，AB 4,BC 3,沿AC将矩形 ABCD折成一个直二面角 B AC D,则四面体 ABCD 的外接球的体积是 （ ）A.B.125C.125D.125125123 球与球对个多个小球

10、结合在一起， 组合成复杂的几何体问题， 要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位 置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解 .2 ra 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半： 4 .例 8 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内， 使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A.10 3cm B. 10cm C. 10 2cm D. 30cm1 的球面上，其

11、中底面的三个顶点 ）D 312综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首 先要找准切点，通过作截面来解决 . 如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体 过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这 类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好 空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如 正方体、正四面体等可以借助结论直接求解 , 此时结论的记忆必须准确 .外接球内切球问题1. （陕西理） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A

12、 3 3B 3 C 34 3 4答案 B2. 直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA1 2, BAC 120 ，则 此球的表面积等于 。解:在 ABC中AB AC 2, BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理 ,可得 ABC外接圆半 径 r=2, 设此圆圆心为 O ，球心为 O，在RT OBO 中，易得球半径 R 5 ，故此球的 表面积为 4 R2 20 .3正三棱柱 ABC A1B1C1内接于半径为 2 的球，若 A, B两点的球面距离为 ，则正三棱柱 的体积为 答案 84. 表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积

13、为A 2 B 1 C 2D 2 23 3 3 3答案 A解析】此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由 83a 2 3 知，a 1，则此球的直径为 2 ，故选 A。5. 已知正方体外接球的体积是332 ，那么正方体的棱长等于10. （辽宁） 如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF ，则此正六棱锥的 侧面积是 答案 6 7423433答案 D6. （山东卷） 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 （ ）A. 1 3 B . 13C . 1 3 3 D . 19答案 C7. （海南、宁夏理科） 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱 的顶点都在同一个

14、球面上，且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为 3，则这个球的体积8为A.2 2B.233C.D.11. （辽宁省抚顺一中 ）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面 ） 的面积是 .答案 2答案8. （天津理） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2， 3，则此球的表面积为答案 1412. （枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为9. （全国理） 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱 的底面边长为 1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm 2.（）A3C163 答案 CB2D以上都不对答案 2 4 2PB13.（ 吉林