人教A版高中数学必修2第三章直线与方程3.2直线的方程习题(3)

1、直线与方程知识点与经典例题一、知识点（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0度。因此，倾斜角的取值范围是0。w a V 180。性质：直线的倾斜角a =90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当a=0时，斜率k=0；当0, 9 0时，斜率k >0 ,随着a的增大，斜率k也增大；当90口<0（ <180呻寸，斜率k<0,随着“的增大，斜率k 也增大.（2）直线的斜率定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k =ta

2、na。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 a w 0 ：90 二时，k >0； 当 a w （90 1180 "）时，k <0； 当 口=90：时，k 不存在。过两点的直线的斜率公式：k二 左二y1 （x1=x2）X2 - x1注意下面四点：（1）当x1 =x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90。；（2） k与P1、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：y -y1 =k（x）直线斜率k,且过点（为, ）注意：当直线的斜率为0。时，k=0,直线的方程

3、是y=y1。当直线的斜率为90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1o斜截式：y=kx+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式： y =殳（x1 #x2, y1 #丫2）直线两点（X, M ）, （x2,y2）y2 小 x2 截矩式：x 1 =1a b其中直线l与x轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0,b）,即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。一般式：Ax + By+C=0 （A, B不全为0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：y = b （b为常数）； 平行于y轴的直线：x = a （a为常数）；（

4、5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线 A°x+ BOy+C。=0 （ A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0x+B0y+C = 0 （C 为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线 Aox +B0y+C。=0 （ A,Bo是不全为0的常数）的直线系：B°x A°y + C=0 （C为常数）（三）过定点的直线系（i）斜率为k的直线系：y yo = k（x - x0 ）,直线过定点（刈，y ）;（ii）过两条直线111Alx + B1y+C1 =0 , l2: A2x + B2y+ C2 = 0的交点的直线系方程为（Ax+By+Ci

5、）+“A2x+B2y+C2 ）=0 （九为参数），其中直线12不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当 l1 ： y = kx+b， : y = k2x+b2时，11 /12 u k1 = k2,b1 b b2; 11 -L 12k1k2 = T注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点li : Aix+Biy+C1 =0 I2： A2x + B?y+C2 =0相交交点坐标即方程组:A1x +B1y +C1 =0的一组解。A2x + B2y +C2 =0方程组无解u li /I2 ；方程组有无数解u li与12重合(8)两点间距离公式：设A(x1,y1),

6、B x2, yj是平面直角坐标系中的两个点，则 1AB |= (x2 -Xi)(y2 -1)(9)点到直线距离公式：一点P(x0, y0倒直线11 : Ax + By + C = 0的距离d |Axo+Byo+C|. A2 - B2(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。填空或选择可以用：11 : Ax + By+C1 =0 12: Ax + By+C2 =0 d J? -或A2 - B2二、经典例题【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0,-1),求直线AB, BC CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角 (2)已知三点 A

7、(a, 2), B(3, 7), Q-2, -9a)在一条直线上，求实数 a的值.【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0)，过点P (-1,2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的 取值范围.【例3】(1)已知直线|1经过点M (-3, 0) , N (-15, -6), 12经过点R (-2, - ), S (0,二)，试判断L与2212是否平行？(2) 11的倾斜角为45。，12经过点P(-2, -1), Q(3, -6),问I1与I2是否垂直？3【例4】已知直线l经过点P(1,1),且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线l的方程.【例5】经过点A(1

8、,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程【例6】写出过两点 A(5,0), B(0,-3)的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程.【例7】已知直线l的方程为3x+4y12=0,求与直线l平行且过点(一1,3)的直线的方程.【例8】 已知a为实数，两直线li： ax + y+1=0, l2： x + y a = 0相交于一点，求证：交点不可能 在第一象限及x轴上.【例9】若直线l: y=kx-73与直线2x+3y6 = 0的交点位于第一象限，求直线 l的斜率的取值范围A(4, 1), B(3, 4)的距离之差的最大值【例10】直线2x- y4=

9、0上有一点P,求它与两定点【例11】已知点A(2,3)到直线y=ax+1的距离为 贬,求a的值;【例12】求与直线li : 2x +3y -1 =0及I2 : 4x +6y-5 =0都平行且到它们的距离都相等的直线方程经典例题【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角(2)已知三点 A(a, 2), B(3, 7), C(-2, -9a)在一条直线上，求实数 a的值.1 _21a是锐角;解：(1)直线AB的斜率k1 =L>0,所以它的倾斜角-4 -3 7直线BC的斜率k21 =一2<0,

10、所以它的倾斜角a是钝角;直线CA的斜率-1 - 2k3 = =1 >0,7 -25(2) kAB =3 -a A、B、3 -a0 -3_7 -(-9a)- 3-(-2)所以它的倾斜角7 9a5kAB =kBCC三点在一条直线上,解得a =2或a即3 -a2 .97 9a55a是锐角.7【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0)，过点P (-1,2)的直线1与线段AB始终有公共点，求直线1的斜率k的 取值范围.解：如图所示，直线PA的斜率是k1 = 2-( =5 , 一1 一(一2)直线PB的斜率是k2 =0 -23 -(-1)2当直线l由PA变化到y轴平行位置PC它的倾斜

11、角由锐角 a (tano(=5)增至90°,斜率的变化范围是5,依)；当直线l由PC变化到1PB位置，它的倾斜角由 90增至P (tanP=-),斜率的变化范围是所以斜率的变化范围是1 ,.(2U5,二).【例3】(1)已知直线11经过点M (-30), N (-15,-6),3 一12 经过点 R (-2, 士)，S (02-)，试判断11与212是否平行?(2)11的倾斜角为45。，12经过点P (-2,-1), Q (35 3-6),问11与12是否垂直?解：(1), kMN0 -(-6)1-3 -(-15)2kRS(2)k1 =tan45©=1 , k22 2 =1

12、. 0 -(-2)2-6 -(-1) 二 -1,k1k23 -(-2)11 / 12 .1的方程.【例4】已知直线1经过点P(-5,M),且1与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线解：由已知得1与两坐标轴不垂直.直线 1 经过点 P(-5,), 可设直线 1 的方程为 y-()=kx-(-5),即 y+4 = k(x + 5).则直线1在x轴上的截距为4-5,在y轴上的截距为5k-4.k根据题意得-5 父 5k -42=5,即(5k -4) =10|k|.当k >0时,原方程可化为(5k 4)2 =10k ,解得k1 =2 k258=一；5当k <0时,原方程可化为(5k-4)2

13、 =-10k ,此方程无实数解.故直线1的方程为y +4 =2(x +5),或y +4 =8(x+5).55即 2x _5y _10=0 或 8x_5y+20=0 .【例5】经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程解：当截距为0时，设y=kx,过点A(1,2),则得k=2,即y = 2x；当截距不为0时，设二十 =1,或二+，_=1,过点A(1,2), a a a -a则得 a =3,或 a = 1,即 x + y3 = 0,或 x y+1=0这样的直线有3条：y=2x, x + y 3 = 0 ,或x y+1 = 0,【例6】写出过两点 A(5

14、,0), B(0,-3)的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程.解：两点式方程：V -(电=J电； x-05-0点斜式方程：y _(f =0 一(电(x _0),即 y(4) =§(x0); 5 -05斜截式方程：y =0一(一3).x -3 ,即y =3 x -3 ； 5 -05截距式方程：二十工=1; 5-3一般式方程：3x-5y -15=0 .【例7】已知直线l的方程为3x+4y12=0,求与直线l平行且过点(一1,3)的直线的方程.解：直线l:3x+4y12=0的斜率为_34，所求直线与已知直线平行，.所求直线的斜率为 一g，4又由于所求直线过点(一1, 3)

15、,所以，所求直线的方程为：y_3 = _g(x+1),即3x + 4y 9 = 0 .【例8】 已知a为实数，两直线l1： ax + y+1=0, I2 ： x + y a = 0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上.ax y 1 =0,a 1a2 1解：解方程组/ y'得交点(a1,a1).x y -a = 0,a - 1 a -1若匚>0,a -12a +1 >1>0,a >1.当 a >1 时,a 1a1<0,此时交点在第二象限内.又因为a为任意实数时，都有a -1a2 1w。因为awi (否则两直线平行，无交点)，所以，交点不可能在

16、 x轴上 a 7【例9】若直线解：如图，直线I：y=kx-V3与直线2x+3y6 = 0的交点位于第一象限，求直线I的斜率的取值范围.2x+3y 6=0 过点 A (3, 0), B (0, 2),直线 I： y=kx/3 必过点(0,石).当直线I过A点时，两直线的交点在x轴；当直线I绕C点逆时针(由位置AC到位置交点在第一象限.根据kAc=730=43,得到直线1的斜率k>3.0-333，倾斜角范围为t叵* I3 J【例10】直线2x y4=0上有一点P,求它与两定点 A(4, 1), B(3, 4)的距离之差的最大值 解：找A关于1的对称点A； A'B与直线1的交点即为所求的P点.设A'(a,b),则b 1a 二 0,解得，b =1所以线段 |A'B|= (41)2 (3-0)2 =3.2 .2 = -1a -44 a b -12 4二022【例11】已知点A(2,3)到直线y=ax+1的距离为J2 ,求a的值;解:：'y =ax 1,. ax y 1 = 0, d-2a-3 + 1 _ 2a+