相似三角形难题集锦

1、一、相似三角形中的动点问题1. 如图，在 RtABC 中， ACB=90°， AC=3， BC=4，过 点 B 作射线 BB1AC动点 D从点 A 出发沿射线 AC方向 以每秒 5 个单位的速度运动，同时动点 E 从点 C沿射线 AC方向以每秒 3 个单位的速度运动 过点 D作 DHAB 于 H，过点 E作 EFAC 交射线 BB1于 F，G是 EF中点，连 接 DG设点 D 运动的时间为 t 秒（1）当 t 为何值时， AD=AB，并求出此时 DE的长度；（2）当 DEG与ACB相似时，求 t 的值P从 A 点出发，沿着 AB以每秒 4cm的速度向 B点运动； 同时点 Q从 C 点

2、出发，沿 CA以每秒 3cm的速度向 A 点运动，当 P点到达 B点时， Q点随之停止运动设 运动的时间为 x（1）当 x 为何值时， PQBC？（2） APQ与CQB能否相似？若能，求出 AP的长； 若不能说明理由2. 如图，在 ABC 中，ABC90°，AB=6m，BC=8m，动点 P以 2m/s 的速度从 A点出发，沿 AC向点 C 移动同时， 动点 Q以 1m/s 的速度从 C点出发， 沿 CB向点 B移动当 其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移动的时 间为 t 秒（1）当 t= 时，求 CPQ的面积；求 CPQ的面积 S（平方米）关于时间 t （秒）的函数 解析式；（2

3、）在 P，Q移动的过程中，当 CPQ 为等腰三角形时， 求出 t 的值5. 如图，在矩形 ABCD中， AB=12cm，BC=6cm，点 P沿 AB边从 A 开始向点 B以 2cm/s 的速度移动；点 Q沿 DA边从点 D 开始向点 A以 1cm/s 的速度移动 如果 P、 Q同时出发，用 t （s）表示移动的时间（ 0<t <6）。 （1）当 t 为何值时， QAP 为等腰直角三角形？ （2）当 t 为何值时，以点 Q、 A、P 为顶点的三角形 与ABC相似？3. 如图 1，在 RtABC中，ACB90°， AC6，BC8， 点 D 在边 AB上运动，DE平分 CDB交

4、边 BC于点 E，EM BD， 垂足为 M，ENCD，垂足为 N（1）当 AD CD时，求证： DEAC；（2）探究： AD为何值时， BME 与CNE相似？二、构造相似辅助线双垂直模型6. 在平面直角坐标系 xOy中，点 A的坐标为 （2 ，1）， 正比例函数 y=kx 的图象与线段 OA的夹角是 45°，求 这个正比例函数的表达式7. 在ABC中， AB=，AC=4，BC=2，以 AB为边在 C点 的异侧作 ABD， 使ABD为等腰直角三角形， 求线段 CD的长4. 如图所示，在 ABC 中，BABC20cm，AC30cm，点12. 四边形 ABCD中， AC为 AB、AD的比例

5、中项，且 AC 平分 DAB。求证：8. 在ABC中，AC=BC，ACB=90°， 点 M是 AC上的一点， 点N是 BC上的一点，沿着直线 MN折叠，使得点 C恰好 落在边 AB上的 P 点求证： MC：NC=AP：PB13. 在梯形 ABCD中，ABCD，ABb，CD a，E为 AD边 上的任意一点， EFAB，且 EF 交 BC于点 F，某同学在 研究这一问题时，发现如下事实：（1） 当时， EF=； （2） 当时， EF=；（3）当时， EF=当时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明9. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO的边

6、OA在 x 轴上， 边 OC在 y 轴上，点 B 的坐标为（ 1， 3），将矩形沿对角 线 AC翻折 B 点落在 D 点的位置， 且 AD交 y 轴于点 E那 么 D 点的坐标为（）A. B.C. D.10. .已知，如图，直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B两 点以 AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为 1 2。求 C、D 两点的坐标。14. 已知：如图，在 ABC 中， M是 AC 的中点， E、F 是 BC上的两点，且 BE EFFC。求 BN： NQ：QM三、构造相似辅助线 A、X字型11. 如图： ABC 中，D 是 AB上一点， AD=AC，BC边上的 中

7、线 AE 交 CD于 F。求证：15. 证明：（ 1）重心定理：三角形顶点到重心的距离 等于该顶点对边上中线长的 （注：重心是三角形三 条中线的交点） （ 2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成 比例四、相似类定值问题16. 如图，在等边 ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC的中 点， D 为 MN上任意一点， BD、CD的延长线分别交 AC、AB 于点 E、 F求证：五、相似之共线线段的比例问题20. （1）如图 1，点在平行四边形 ABCD的对角线 BD 上，一直线过点 P 分别交 BA，BC的延长线于点 Q，S， 交于点求证：（2）如图 2，

8、图 3，当点在平行四边形 ABCD的对角 线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出 证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进 行证明或说明） ；17. 已知：如图，梯形 ABCD中， AB图，在 ABC 中，已 知 CD为边 AB 上的高，正方形 EFGH的四个顶点分别在 ABC上。求证：19.已知，在 ABC中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a求证：21. 已知：如图， AB C中，ABAC，AD是中线， P是 AD 上一点，过 C作 CFAB，延长 BP 交 AC于 E，交 CF于 F求 证： BP2PE·PF 六、相似之等积式类型综合25. 已知如图， C

9、D是 RtABC斜边 AB上的高， E为 BC 的中点， ED的延长线交 CA于 F。求证：22. 如图，已知 &Delta;ABC 中， AD，BF分别为 BC，AC边 上的高，过 D作 AB的垂线交 AB于 E，交 BF 于 G，交 AC 延长线于 H。 求证： DE2=EG?EH26 如图，在 Rt ABC 中， CD是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD上，DHBM 且与 AC的延长线交于点 E. 求证：（1）AEDCBM；（2）23. 已知如图， 过 P 的直线与 交于点 E、 F、 求证：P 为平行四边形 ABCD的对角线 AC上一点， AD、BC、CD的延长线、 AB 的

10、延长线分别相 G、 H.24.已知，如图，锐角 ABC 中，ADBC 于 D，H 为垂心 （三角形三条高线的交点） ；在 AD上有一点 P，且 BPC 为直角 求证： PD2AD·DH 。27.如图， ABC是直角三角形， ACB=90°，CDAB 于 D，E 是 AC 的中点， ED 的延长线与 CB的延长线交 于点 F.（1）求证： .（2）若 G 是 BC的中点，连接 GD，GD与 EF垂直吗？ 并说明理由 .28. 如图，四边形 ABCD、DEFG都是正方形， 连接 AE、CG,AE 与 CG相交于点 M， CG与 AD相交于点 N求证：31. 如图，四边形 ABC

11、D和四边形 ACED都是平行四边 形，点 R为 DE的中点， BR分别交 AC、 CD于点 P、Q （1）请写出图中各对相似三角形 （相似比为 1 除外）； （2）求 BP：PQ： QR29.如图， BD、CE分别是 ABC 的两边上的高，过 D 作 DGBC于 G，分别交 CE及 BA的延长线于 F、 H。 求证：（ 1）DG2BG·CG；（2）BG·CGGF·GH32.如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于 E，DFAC 于 F。求证：七、 相似基本模型应用30. ABC 和 DEF 是 两 个 等 腰 直 角 三 角 形 ， A=D=90°，

12、DEF 的顶点 E位于边 BC的中点上（1）如图 1，设 DE与 AB 交于点 M， EF与 AC交于点 N， 求证： BEM CNE；（2）如图 2，将 DEF绕点 E 旋转，使得 DE与 BA的延 长线交于点 M，EF与 AC交于点 N，于是，除（ 1）中的一 对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你 的结论答案： 1. 答案： 解：（ 1） ACB=90°， AC=3，BC=4 AB=5又 AD=AB， AD=5tt=1 ，此时 CE=3， DE=3+3-5=1（2）如图当点 D在点 E左侧，即：0t 时，DE=3t+3-5t=3-2t 若DEG与ACB相似，有两种情况

13、： DEGACB，此时，即：，求得： t= ；DEGBCA，此时， 即：，求得： t= ；如图，当点 D 在点 E右侧，即：t> 时，DE=5t-（3t+3）=2t-3 若DEG与ACB相似，有两种情况： DEGACB，此时，即：，求得： t= ；DEGBCA，此时， 即：，求得： t= 综上， t 的值为或或或3. 答案： 解：（1）证明： AD=CD A=ACDDE平分 CDB交边 BC于点 E CDE=BDECDB为CDB的一个外角 CDB=A+ACD=2 ACDCDB=CDE+BDE=2CDE ACD=CDEDEAC（2） NCE=MBEEMBD，ENCD，BMECNE，如图 N

14、CE=MBEBD=CD又 NCE+ACD=MBE+ A=90° ACD=AAD=CDAD=BD=AB在 RtABC中，ACB90°， AC6，BC8AB=10AD=5 NCE=MEBEMBD，ENCD，BMEENC，如图 NCE=MEBEMCDCDAB在 RtABC中， ACB90°， AC6，BC 8AB=10 A=A， ADC=ACBACDABC综上： AD=5或时， BME与 CNE相似4. 答案： 解（ 1）由题意： AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x， 当 PQBC 时，即：解得：（ 2）能， AP=cm或 AP=20cm APQCBQ，则，即 解

15、得：或（舍） 此时： AP=cm APQCQB，则，即 解得：（符合题意） 此时： AP=cm故 AP=cm或 20cm时， APQ与CQB能相似5. 答案：解：设运动时间为 t，则 DQ=t，AQ=6-t ，AP=2t， BP=12-2t （1）若 QAP 为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t ， t=2 （符合题意）t=2 时， QAP为等腰直角三角形 （2）B=QAP=9°0当 QAP ABC时，即：， 解得：（符合题意） ；当 PAQ ABC 时，即：， 解得：（符合题意） 当或时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC 相似6. 答案： 解：分两种情况 第一

16、种情况，图象经过第一、三象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C，过点 B作 BDAC 则由上可知： 90° 由双垂直模型知： OCA ADBA（2，1），45°OC 2，AC1，AOABAD OC2，BDAC 1D点坐标为（ 2， 3）B点坐标为（ 1， 3）此时正比例函数表达式为： y 3x 第二种情况，图象经过第二、四象限过点 A 作 ABOA，交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C，过点 B作 BDAC 则由上可知： 90° 由双垂直模型知： OCA ADBA（2，1

17、），45°OC 1，AC2，AOABAD OC1，BDAC 2D点坐标为（ 3， 1）B点坐标为（ 3， 1）此时正比例函数表达式为： y x7. 答案： 解：情形一：情形二：情形三：8. 答案： 证明：方法一：连接 PC，过点 P 作 PDAC于 D，则 PD/BC 根据折叠可知 MNCP 2+PCN=9°0 ， PCN+CNM=9°0 2=CNM CDP= NCM=9°0 PDCMCNMC： CN=PD：DCPD=DAMC： CN=DA：DCPD/BCDA： DC=PA： PBMC： CN=PA： PB 方法二：如图， 过 M作 MDAB于 D，过

18、N作 NEAB于 E 由双垂直模型，可以推知 PMDNPE，则， 根据等比性质可知， 而 MD=D，A NE=EB，PM=C，MPN=CN， MC： CN=PA： PB9. 答案： A 解题思路： 如图 过点 D作 AB的平行线交 BC的延长线于点 M，交 x 轴 于点 N，则 M=DNA=9°0 ，由于折叠，可以得到 ABC ADC， 又由 B（ 1，3）BC=DC=，1 AB=AD=MN=，3 CDA=B=90° 1+ 2=90° DNA=9°0 3+ 2=90° 1=3 DMC AND，设 CM=x，则 DN=3x，AN=1 x， DM

19、3x 3 x，则。答案为 A10. 答案： 解：过点 C作 x轴的平行线交 y轴于 G，过点 D作 y轴的 平行线交 x 轴于 F，交 GC的延长线于 E。直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点 A（ 1,0 ）， B（ 0,2 ）OA=1， OB=2， AB=AB： BC=1:2 BC=AD= ABO+CBG=9°0 ， ABO+BAO=9°0 CBG= BAO又 CGB= BOA=9°0 OABGBCGB=2， GC=4 GO=4C（ 4,4 ） 同理可得 ADF BAO，得DF=2， AF=4OF=5D（ 5,2 ）11. 答案： 证明：（方法一）如图

20、延长 AE 到 M使得 EM=A，E 连接 CM BE=CE，AEB=MEC BEA CEM CM=A，B 1=BABCM M=MAD，MCF= ADFMCFADFCM=A，B AD=AC（方法二）过 D 作 DGBC 交 AE于 G 则ABEADG，CEFDGF，AD=AC， BE=CE12. 答案： 证明：过点 D作 DFAB交 AC的延长线于点 F，则 2=3 AC平分 DAB1=21=3AD=DF DEF=BEA，2=3BEADEFAD=DFAC为 AB、 AD的比例中项即 又 1=2ACDABC13. 答案： 解：证明：过点 E 作 PQBC分别交 BA延长线和 DC于点 P 和点

21、QABCD，PQBC四边形 PQCB和四边形 EQCF是平行四边形PB EFCQ，又ABb，CDaAP PB-ABEF-b，DQDC-QCa-EF14. 答案： 解：连接 MFM是 AC的中点， EF FCMFAE 且 MFAEBEN BFMBN： BMBE：BF NE：MFBEEFBN：BMNE：MF1:2 BN： NM 1:1 设 NE x ， 则 MF 2x ， AE 4x AN 3xMFAENAQMFQNQ： QMAN：MF 3:2 BN： NM 1:1 ，NQ：QM3:2 BN： NQ：QM5:3:215. 答案： 证明：（1）如图 1， AD、BE为ABC的中线，且 AD、 BE交

22、于点 O 过点 C 作 CFBE，交 AD的延长线于点 FCFBE 且 E 为 AC中点 AEOACF，OBD FCD， AC2AEEAOCAFAEOACFD为 BC的中点， ODB FDCBODCFDBO CF同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线 长的（2）如图 2，AD为 ABC的角平分线过点 C 作 AB的平行线 CE交 AD的延长线于 E则 BAD=EAD为ABC的角平分线 BAD=CAD E=CADAC CECEABBADCED16. 答案： 证明：如图，作 DPAB，DQAC则四边形 MDPB和四边形 NDQC均为平行四边形且DPQ是等边三角形BP+CQ

23、 MN， DPDQPQM、 N分别是边 AB， AC的中点MN BCPQDPAB，DQACCDPCFB，BDQBECDP DQPQBCABAB（）17. 答案： 证明： EF/AB， AB/DCEF/DCAOEACD，DOEDBA18. 答案： 证明： EFCD，EHAB ，AFEADC，CEHCABEF EH90°且19. 答案： 证明： EFAC，DEBCBFEBCA，AEDABCEF DEa20. 答案：（1）证明：在平行四边形 ABCD中，ADBC， DRP=S，RDB=DBSDRPBSP同理由 ABCD可证 PTD PQB（2）证明：成立，理由如下： 在平行四边形 ABCD

24、中， ADBC， PRD=S，RDP=DBS DRPBSP同理由 ABCD可证 PTD PQB21. 答案： 证明: AB AC，AD是中线， ADBC,BP=CP 1=2 又 ABC=ACB 3=4 CFAB 3=F, 4=F 又 EPC=CPF EPCCPF BP2 PE· PF 即证所求22. 答案： 证明： DEAB 90°90°ADEDBEDE2=BFACBEGHEA DE2=EG&bull;EH23. 答案： 证明：四边形 ABCD为平行四边形 ABCD，ADBC 1=2， G=H， 5=6 PAHPCG又 3=4APECPF24. 答案： 证

25、明：如图，连接 BH交 AC于点 E，H为垂心BEAC EBC+BCA=90°ADBC于D DAC+BCA=90° EBC=DAC又 BDH=ADC=9°0BDHADC ， 即 BPC 为 直 角 ， ADBCPD2 BD&middot;DCPD2 AD&middot;DH25. 答案：证明：CD是RtABC斜边 AB上的高， E 为 BC 的中点CE=EB=DEB=BDE=FDA B+CAB=90°， ACD+CAB=90° B=ACD FDA=ACD F=FFDAFCD ADC=CDB=9°0 ， B=ACDACD

26、CBD即26. 答案： 证明：（ 1） ACB ADC90°AACD90°BCMACD90°ABCM同理可得： MDH MBD CMBCDBMBD90° MBDADEADCMDH 90° MDHADECMBAEDCBM（2）由上问可知： ，即故只需证明即可AA，ACDABCACDABC，即27. 答案：（1）将结论写成比例的形式， ，可以考虑证明FDB FCD（已经有一个公共角 F）RtACD中， E 是 AC的中点DE=AE A=ADE ADE= FDB A=FDB而 A+ACD=9°0FCD+ACD=9°0 A=FCD

27、FCD= FDB而 F=FFBDFDC（2）判断： GD与EF垂直 RtCDB中，G是BC的中点， GD GB GDB= GBD 而 GBD+ FCD=90° 又 FCD=FDB（1 的结论） GDB+ FDB=90°GDEF28. 答案： 证明：由四边形 ABCD、DEFG都是正方形可知， ADC=GDE=9°0 ，则 CDG= ADE= ADG+9°0 在和中则 DAM= DCN 又 ANM= CND ANMCND 则29. 答案： 证明：找模型。（ 1 ） BCD、 BDG， CDG 构 成 母 子 型 相 似 。 BDGDCG DG2 BG&am

28、p;middot;CG （2）分析：将等积式转化为比例式。BG&middot;CG GF&middot;GH GFC= EFH，而 EFH+H=90°， GFC+FCG=9°0 H=FCG而 HGB= CGF=9°0HBGCFG BG&middot;CG GF&middot;GH30. 答案：（ 1）证明： MEBNEC180°45° 135° MEB EMB NEC EMB 又B=CBEMCNE（ 2）COEEON 证明： OEN= C45°， COEEONCOEEON31.答案： 解：（1

29、） BCPBER，CQP DQR， ABPCQP，DQRABP（2）ACDEBCPBER四边形 ABCD和四边形 ACED都是平行四边形AD=BC， AD=CEBC=C，E 即点 C 为 BE的中点又 ACDE CQPDQR点 R 为 DE的中点DR=RE综上： BP： PQ：QR3：1：231. 答案： 证明： ADBC，DEAB ADBAEDAD2 AEAB同理可证： AD2 AFACAEAB AFAC1、（2011?宁波） 正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2在反比例2函数 y= （ x> 0）的图象上， 顶点 A1、B1分别在 x 轴、 xy 轴的正半轴上，再在其右侧作正

30、方形P2P3A2B2 ，顶点2P3 在反比例函数 y= （ x > 0）的图象上，顶点 A2 在 x x轴的正半轴上，则 P2 点的坐标为 ，则点P3 的坐标为 。答案： P2（2， 1） P2（ 3+1， 3 -1） 2、已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两个实数根的倒数 和等于 3，且关于 x 的方程（ k-1 ）x2+3x-2a=0 有实根， 且k 为正整数，正方形 ABP1P2的顶点 P1、P2在反比例 k1函数 y= k 1（x>0）图象上，顶点 A、B分别在 x 轴 x和y 轴的正半轴上，求点 P2的坐标答案：（2，1）或 （ 6， 26 ）3、如图，正方形

31、OABC和正方形 AEDF各有一个顶点 在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为 2（1）求反比例函数的解析式； （ 2）求点 D 的坐标 答案：（1） y= 4 （2） （ 5 1, 5-1）x4、两个反比例函数 y= 3 ， y= 6 在第一象限内的图象 xx如图所示，点 P1、P2在反比例函数图象上，过点 P1 作x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，3若点 N（m，n）恰好在 y= 的图象上，则 NP1 与 NP2x的乘积是 。答案： 3答案： 35、（ 2007?泰安）已知三点 P1（ x1，y1），P2（ x2，y2），kP3（ 1，-2 ）都在反比例函

32、数 y= 的图象上， 若 x1<0，xx2 >0，则下列式子正确的是（）答案： DAy1<y2<0By1<0< y2Cy1>y2>016、如图， 已知反比例函数 y= 的图象上有点 P，过 Px点分别作 x轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，使四 边形 OAPB为正方形，又在反比例函数图象上有点P1，过点 P1分别作 BP和 y 轴的垂线，垂足分别为 A1、 B1， 使四边形 BA1P1B1 为正方形，则点 P1的坐标是 。答案：5 1 ， 5-122反比例函数典型例题1B、）6527由得：（m+1），7、在反比例函数 y= （ x>0

33、）的图象上，有一系列点xP1、P2、 P3、 Pn，若 P1的横坐标为 2，且以后每点的 横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2现分别过点P1、P2、 P3、 Pn作 x轴与y轴的垂线段，构成若干个 长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次 记为 S1、S2、 S3、 Sn，则 S1+S2+S3+S2010=答案： 18、如图，四边形 ABCD为正方形，点 A在 x 轴上，点 Bk在y 轴上，且 OA=2，OB=4，反比例函数 y= （k 0）在第x 一象限的图象经过正方形的顶点D（1）求反比例函数的关系式；（2）将正方形 ABCD沿 x 轴向左平移 个单位长度时，点 C 恰好落在反比例

34、函数的图象上12答案：（ 1） y（2）2x9、如图，已知 OP 1 A1、A1P2A2、A2P3A3、均为等腰直4角三角形，直角顶点 P1、P2、 P3、在函数 y= （x>0）x 图象上，点 A1、 A2、 A3、在 x 轴的正半轴上，则点 P2010 的横坐标为 。答案： 2 2010 2 20114810、两个反比例函数 y= 4 ，y=- 8 的图象在第一象限， 第xx4二象限如图，点 P1、 P2、P3P2010在 y= 的图象上，它们x 的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7， 9，11，过点 P1、P2、P3、 P2010分别作 x轴的平行线， 8与 y=- 的图象交点依次是 Q1、 Q2、 Q3、 Q2010，则点xQ2010 的横坐标是 。答案： -8038 11、如图所示，