圆幂定理讲义(带问题详解)

1、实用标准圆哥定理STEP1:进门考理念：1.检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回顾检测。3. 分析学生圆部分的薄弱环节。(1)例题复习。1. (2015?夏津县一模)一副量角器与一块含30。锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN±,顶点A,B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB/MN若AB=8cm则量角器的直径MN=cm文案大全【考点】【分析】OE的长,【解答】在直角.CD=BC sinB=4 xcm) ,.1.OE=CD=23,M3垂径定理的应用；KQ勾股定理；T7:解直角三角形.作CD!AB于点D,取圆心O,连接OA彳O已AB于点E,首先

2、求得CD的长，即在直角AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解.解：作CDLAB于点D,取圆心O,连接OA彳OELAB于点E.ABC中，/A=30°,则BC=j-AB=4cn在直角BCD中，/B=90°-ZA=60°,在4AOE中，AE，AB=4cm贝"OA=JA淤+0E2幼阳2二"(cm),贝"MN=2OA诉(cm).故答案是：4fj.【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形.2. （2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过A.

3、2cmB.3cmC.2diCmD.2_；cm【考点】M2垂径定理；PB:翻折变换（折叠问题）.【分析】通过作辅助线，过点。作ODLAB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.【解答】解：过点。作ODLAB交AB于点D,连接OA;OA=2OD=2cm，AD=J°r2_qd2可产_（cm）,.ODLAB,AB=2AD=2'3cm-故选：D.【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键.3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是（3,a）（a>3）,半径为3,函数y

4、=x的图象被。P截得的弦AB的长为4m,则a的值是（）MiZpXA.4B,3mC.班D.3+V3【考点】M2垂径定理；F8:一次函数图象上点的坐标特征；KQ勾股定理.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】Pdx轴于C,交AB于D,PP已AB于E,连结PB,由于OC=3PC=a易得D点坐标为（3,3）,则4OCM等腰直角三角形，PED也为等腰直角三角形.由PE±AB,根据垂径定理得AE=BE=Lab=2/2,在RtPBE中，利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=衣，所以a=3+J2.【解答】解：作Pdx轴于C,交AB于D,彳PE!AB于E,连结PB,如图， 0P的圆心坐标是

5、(3,a),OC=3PC=a,把x=3代入y=x得y=3,.D点坐标为(3,3),.CD=3 .OCM等腰直角三角形，.PED&为等腰直角三角形， .PE±AB,.AE=BeLaB=Lx4J=2。弓，在RtPBE中，PB=3PE=/32_(2/)2二,.PdVPeVLa=3+/2.故选：B.【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.4.(2013?内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点。为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4与。交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为【考点】FI： 一次函

6、数综合题.【专题】16 :压轴题.【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点。为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.【解答】解：,直线y=kx-3k+4=k(x3)+4,k(x3)=y-4,k有无数个值，x-3=0,y-4=0,解得x=3,y=4,，直线必过点D(3,4),最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦,点D的坐标是(3,4),OD=5以原点。为圆心的圆过点A（13,0）,，圆的半径为13,.OB=13，BD=12，BC的长的最小值为24;故答案为：24.

7、【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.STEP2:新课讲解1、熟练掌握圆幕定理的基本概念。2、熟悉有关圆幕定理的相关题型，出题形式与解题思路3、能够用自己的话叙述圆幕定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。、相交弦定理相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）.几何语言：若弦AB、CD交于点P,则PA?PB=PC?PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

8、.几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P,则PC2=PA?PB（相交弦定理推论）基本题型:【例1】（2014秋？江阴市期中）如图，。的弦ARCD相交于点P,若AP=3BP=4CP=2贝uCDK：为（）【考点】M7:相交弦定理.D.不能确定【专题】11:计算题.【分析】由相交线定理可得出AP?BP=CPDP,再卞据AP=3BP=4,CP=2,可彳#出PD的长,从而得出CD即可.【解答】解：AP?BP=CP?DP,.PD以也CP.AP=3,BP=4,CP=2PD=6,.CD=PC+PD=2+6=.8故选C.【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等.【练习1】（

9、2015?南长区一模）如图，矩形ABCDfe。的内接四边形，AB=ZBC=3点E为BC上一点，且BE=1,延长AE交。于点F,则线段AF的长为( )【考点】M7:相交弦定理.【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE再由相交弦定理求出EF,即可得出AF的长.【解答】解：二四边形ABCD矩形，/B=90°,AE=J"正+12代，BC=3,BE=1,CE=2由相交弦定理得：AE?EF=B曰CE,匚匚1X22V5EF=F=AE晶5.-.AF=AE+EF=V;故选：A.【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键.

10、综合题型【例2】（2004?福州）如图，AB是。的直径，M是。上一点，MNLAB,垂足为N.P、Q分别是菽、的上一点（不与端点重合），如果/MNP=MNQ卜面结论：/1=/2;/P+/Q=180;/Q=/PMNPM=QM©MlN=PNA.B.C.D.【考点】M7:相交弦定理；M2垂径定理；M4:圆心角、弧、弦的关系；M5:圆周角定理；S9:相似三角形的判定与性质.【专题】16:压轴题.【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案.【解答】解：延长M滋圆于点W延长QN交圆于点E,延长PN交圆于点F,连接PEQF/PNMWQNMMNLAB,1=72（故正确），/2与/AN

11、E是对顶角，1=ZANE.AB是直径, .可得PN=EN同理NQ=NF 点N是MW勺中点，MN?NW=M=PN?NF=ENNQ=PNQN（故正确）, .MNNQ=PNMN ./PNM=QNM .NPMhNMQ/Q=ZPMN（故正确）.故选B.【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解.与代数结合的综合题【例3】（2016?中山市模拟）如图，正方形ABCDft接于。，点P在劣弧AB上，连接DP,交AC于点Q.若QP=QO则柒的值为（）A'fSTB。/口C.ID.-：【考点】M7:相交弦定理；KQ勾股定理.【专题】11:计算题.【分析】设。的半径为r,QO=mUQP

12、=mQC=r+mQA=r-m.利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m,即可表示出所求比值.【解答】解：如图，设。的半径为r,QO=mUQP=mQC=r+mQA=rm在O。中，根据相交弦定理，得QA?QC=QPQD2_2即（rm）（r+m）=n?Q口所以QD=!连接DQ由勾股定理，得qD=dO+qO,ID即（解得所以，-二QA嘲3一1故选D.【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.需要做辅助线的综合题【例4】（2008秋？苏州期末）如图，O。过M点，OM交。于A,延长。O的直径AB交。M于C,若

13、AB=8BC=1,则AM=.【考点】M7:相交弦定理；KQ勾股定理；M6圆周角定理.【分析】根据相交弦定理可证AB?BC=E?BF=（EM+MB（MLMB=AM-MEB=8,又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6【解答】解：作过点MB的直径EF,交圆于点E、F,则EM=MA=MF由相交弦定理知，AB?BC=EBBF=（EM+MB（MF-MB=aM-mB=8,.AB是圆。的直径，/AMB=90,由勾股定理得，aM+mB=aB=64,.AM=6Ex、【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解.二、割线定理割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割

14、线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：PBA,PDC是。的割线PD?PC=PA?PB（害U线定理）由上可知：PT2=PA?PB=PC?PD.基本题型【例5】（1998?绍兴）如图，过点P作。的两条割线分别交。于点A、B和点GD,已知PA=3AB=PC=2则PD的长是（）A.3B.7.5C.5D.5.5【考点】MH切割线定理.【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA?PB=PCPD即可求得PD的长.【解答】解：PA=3,AB=PC=2PB=5,PA?PB=PGPD,.PD=7.5,故选B.【点评】主要是考查了割线定理的运用.【考点】MH切割线定理；KQ勾股定理.【分析】RtABC中

15、，由勾股定理可直接求得【练习2】（2003?天津）如图，RtzXABC中，/C=9（J,AC=3BC=4以点C为圆心、CA为半径的圆与ABBC分别交于点DE.求ARAD的长.AB的长;延长BC交。C于点F,根据割线定理，得BE?BF=BD?BA,由此可求出BD的长，进而可求得AD的长.【解答】解：法1:在RtABC中，AC=3BC=4;根据勾股定理，得AB=5.延长BC交。C于点F,则有：EC=CF=AC=3。C的半径），BE=B。EC=1, BF=BC+CF=7 由割线定理得，BE? BF=BD? BA,3法2:过C作CMLAB,交AB于点M,如图所示,. Saab=LaC? BC=AB?

16、CM 且 AC=3 BC=4, AB=5, 22.CM-,5在RtAACM,根据勾股定理得:AC2=AM+cM,即 9=aM+ (12-【点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用.综合题型【例6】（2015?武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为16九，过小圆上任意一点P作大圆的弦AB,则PA?PB的值是（A.16B.16兀C.4D.4几【考点】MH切割线定理.【分析】过P点作大圆的直径C口如图，设大圆半径为R,小圆半径为r,根据相交弦定理得到PA?PB=（OC-OB?（OP+OD=R2-r2,再利用兀R2Ttr2=16兀得到R2-r2=16,所以PA?PB=16【解答】解

17、：过P点作大圆的直径C口如图，设大圆半径为R,小圆半径为r,.PA?PB=PGPD,PA?PB=(OC-OP?(OP+OD=（R-r）（R+r）=R2-r2,两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为rR兀产=16兀,.R2-r2=16,.PA?PB=16.故选A.【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了相交弦定理.【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路?三、切割线定理切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：PBA,PDC是。的割线PD?PC=PA?PB（害U线定理）由上可知：

18、pt2=pa?pb=pc?pd.出【例7】（2013?长清区二模）如图，PA为。的切线，A为切点，。O的割线PBC±点。与。分别交于B、C,PA=8cmPB=4cm求。的半径.【考点】MH切割线定理.【专题】11：计算题.【分析】连接OA设。的半径为rcm,由勾股定理，列式计算即可.【解答】解：连接OA设。的半径为rcm,（2分）则r2+82=（r+4）2,（4分）解得r=6 , .-.O。的半径为6cmi ( 2分)【点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握.【练习3】(2013秋？东台市期中)如图，点P是。直径AB的延长线上一点,PC切。于点C,已知OB=3P

19、B=2则PC等于()D. 5【考点】MH切割线定理.【专题】11:计算题.【分析】根据题意可得出PC2=PB?PA,再由OB=3,PB=2,则PA=8,代入可求出PC.【解答】解：:PCPB分别为。的切线和割线，PC2=PB?PA,.OB=3,PB=2PA=&PC2=PB?PA=2X8=16,.PC=4.故选C.【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式pC=pb?pa四、切线长定理切割线定理(1)圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线

20、的夹角.(3)注意：切线和切线长是两个不同的概念,切线是直线，不能度量；切线长是线段的CM长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.(4)切线长定理包含着一些隐含结论:垂直关系三处;全等关系三对;弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.IV【例8】（2015?秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD 且 BC=10AD=7则四边形的周长为（）A.32B.34C.36D.38【考点】MG切线长定理.【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长.【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2

21、X（7+10）=34.故选：B.【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键.【练习4】（2015?岳池县模拟）如图，PA,PB切。于A,B两点，CD切。O于点E交PA,PB于C,D,若。的半径为r,/XPCD勺周长为3r,连接OAOP则反内的值是（）PAA会后BVCtD噌【考点】MG切线长定理；MC切线的性质.【分析】利用切线长定理得出CA=CFDF=DBPA=PB进而得出PA里r,求出即可.【解答】解：.PA,PB切。于A,B两点，CDW。于点E交PAPB于C,D,.CA=CFDF=DBPA=PBPC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA

22、=3rPA=-r,2则?今的值是："30",r2故选：D.【点评】此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键.【例9】（2014秋？夏津县校级期末）如图，P为。外一点，PA,PB分别切。O于A,B,CD切。O于点E,分别交PAPB于点C,D.若PA=5则PCD的周长和/COS别为（）A. 5, （90° +/P） B. 7,/ P【考点】MG切线长定理.【分析】根据切线长定理，即可得到连接OA OE OB根据切线性质，/C. 10, 900/P D. 10, 900PA=PB ED=AD CE=BC从而求得三角形的周长 =2PA;P+/ AOB=180 ,再

23、根据 CD为切线可知/ CO【解答】解：PA、PB切。于A、B,CD切。于E,.PA=PB=10ED=ADCE=BC .PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PAPAPCD的周长=2PA=10,;如图，连接OAOEOB由切线性质得，OA!PA,OBLPB,OELC口DB=DEAC=CE.AO=OE=QB易证AO二EOC(SA9,EO阴BOD(SAS,/AOChEOC/EODWBOD ./AOB=180-/P,/COD=90-ZP.2【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型.五、圆哥定理请尝试解出

24、下列例题：【例10】（2005?广州）如图，在直径为6的半圆窟上有两动点MN,弓AAMMBN相交于点P,则AP?AM+BPBN的值为【考点】M7：相交弦定理；KQ勾股定理；M6圆周角定理.【专题】16:压轴题；25:动点型.【分析】连接ANBM根据圆周角定理，由AB是直径，可证/AMB=90,由勾股定理知，BP2=MP+BM,由相交弦定理知，AP?PM=BPPN原式=APAP+PM+BP(BP+PN=AP2+AP?PM+B2+BP?PN=Ap+BP2+2AP?PM=AP+MP+BM+2AP?PM=aP+(AP+PM2=Ap+AM=AB2=36.【解答】解：连接ANBM.AB是直径,/AMB=9

25、0.bpmP+bM.AP?PM=BPPN原式=AP(AP+PM+BP(BP+PN=AP2+AP?PM+BP+BP?PN=AP+BP2+2AP?PM=AP+MP+BM+2AP?PM=bM+(AP+PM2=BM+AM=AE2=36.【点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解.以上四条定理统称为圆幕定理。（部分参考书以前三条为圆幕定理）圆幕定理：过平面内任一点P（P与圆心。不重合）做。的（切）割线,交。与点A、B,则恒有PAPB=OP2-r2。（“OP2-r2”被称为点P到。O的幕。）STEP3:落实巩固一一查漏补缺理念：找到自己本节课的薄弱环节。STEP4:总结理念：本结课复习了什么？

26、学到了什么?方法：学生口述+笔记记录。STEP5:课后练习一.选择题（共5小题）1.如图所示，已知。中，弦AB,CD相交于点P,AP=6BP=ZCP=4则PD的长是（）A.6B.5C.4D.3【分析】可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB,CD相交于巳因此AP?PB=C?PD,代入已知数值计算即可.【解答】解：由相交弦定理得AP?PB=C?PD,.AP=6,BP=2CP=4,PD=AP?PB+CP=6X2+4=3.故选D.【点评】本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.2.。的两条弦AB与CD相交于点P,PA=3cmPB=4cmPC=2cm贝U

27、CD=()A. 12cmB. 6cm C. 8cm D. 7cm【分析】根据相交弦定理进行计算.【解答】 解：由相交弦定理得：PA? PB=PC? PD, DpF-F =3X4 =6cm, CD=PC+PD=2+6=8c啪选 C.PC | | 2【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆心段的长的乘积相等”进行计算.3.如图，O O中，弦AB与直径CD相交于点P,的半径为（）1 一点，各弦被这点所分得的两线且 PA=4 PB=6 PD=2 则。O【分析】【解答】PA=4根据相交弦定理得出APXBP=CP<DP,求出CP,求出CD即可.解：由相交弦定理得：APXBP=CP<D

28、P,PB=apd=2，CP=12,，DC=12+2=14CD是。O直径，。0半径是7.故选C.APX BP=CP< DP【点评】本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出4.如图，A是半径为1的圆。外的一点，OA=ZAB是。的切线，B是切点，弦BC/OA连接AC,则阴影部分的面积等于（【分析】连接OB 此即可求解.【解答】解：连接 .AB是圆的切线，»二OC易证：BOC是等边三角形，且阴影部分的面积=4BOC的面积，据OBOC/ABO=90,在直角ABOP,OB=1OA=2/OAB=30,/AOB=60,1. OA/BC,./COBhAOB=6O,且S阴影部分=$boc.

29、BOC等边三角形，边长是1,S阴影部分=SaboF1故选A.【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理，正确证明BOB等边三角形是解题的关键.5.如图，PA,PB分别是。的切线，A,B分别为切点，点E是。上一点，且/AEB=60,则/P为（）A.120°B.600C.300D.45°【分析】连接OABO由圆周角定理知可知/AOB=ZE=120°,PAPB分别切。O于点A、B,利用切线的性质可知/OAP=ZOBP=90,根据四边形内角和可求得/P=180°-ZAOB=60.【解答】解：连接OABQ,/AOB=ZE=120°,/OAPh

30、OBP=90,./P=180°-/AOB=60.故选B.【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解.解答题（共3小题）求PC的长.6.如图，P为弦AB上一点，CP!OP交。于点C,AB=8,得至ij AP=-AB=2,4【分析】延长CP交。于D.由垂径定理可知CP=DP由AB=8,=3-PB3PB=-AB=6再根据相交弦定理得出PC?PD=AP?PB,代入数值计算即可求解.【解答】解：如图，延长CP交。于D.-.CF>±OP.CP=DPAB=8,+1 3 AP=AB=2,PB=AB=6. AB、CD。的两条相交弦，交点为巳 .PC?PD=A?PB, PC2=2X6, .PC=2.；.【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.同时考查了垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键.7.如图，AB,BGCM另1J与。O相切于E,F,G,且AB/CDBO=6cmCO=8cm求BC的长.A E S【分析】根据切线长定理和平行线的性质定理得到BOB直角三角形.再根据勾股定理求出BC的长.【解答】解：