几个常见几何图形内接正方形的作图方法及其应用

1、几个常见几何图形内接正方形的作图方法及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档， 请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事 如意！几何是中学数学课程里的传统主要内容之一，不 仅仅是因为它对培养人的逻辑思维能力、推理论证能 力具有重要教育价值，更是在现代科技中也有重要的 地位，因此学习几何和几何教育受到了全世界的广泛 关注，然而几何的教育在我国的中学生身上总存在很 多困难，畏惧几何。由于数学向来有着枯燥乏味的坏 名声，它的高度抽象和概括性，严谨的逻辑思维让一 部分人在小学就开始觉得它晦涩难懂，在中学的几何 更是严格的逻辑要求使学生觉

2、得学习几何太难太抽象 了。现在的学生缺乏学习的主动钻研和创新精神，动 手能力差，都习惯与一步一步的跟着老师的套路学习， 不会画图、不会看图，同时书上的图形没有进行研究 和利用，反而成了学习的障碍，不善于与周围的实际 生活联想，解决问题的意识淡薄，还停留在只会做现 成题的水平，思维和眼界狭隘。本为主要通过对一些 中学里常见的几何图形的内接正方形的作图方法及其 应用的整理和研究，从而使之成为几何学习有趣的一个例子，在学习几何不仅仅是书本上的东西，每个有 兴趣的同学可以通过自己的看法和想法去研究相关的 东西，这与我们想要的创新有着密切的联系，达到激 发更多的人喜爱和研究几何这门学科，希望给读者以 启

3、发。1几何学的起源及其发展几何是数学的一门分科，在古代埃及为兴建尼罗 河水利工程，曾经进行过测地工作，使它逐渐发展成 为几何学。公元前约三百年，古希腊数学家欧几里德 把前人生产实践中长期积累的几何学的研究加以整理 总结为演绎体系，写成了几何原本。我国对几何学 的研究也有悠久的历史。早在上古时期，我国劳动人 民就已利用规矩来制作方圆。秦汉五百年成书的周 髀算经和九章算术中，对图形面积的计算已有 记载，刘徽、祖冲之、王孝通等对几何学都有重大贡 献。十七世纪欧洲工业迅速发展起来，以前所用的几 何方法不能满足实际需要，这就使笛卡尔利用代数方 法研究几何问题，建立了解析几何。在十八、十九世 纪，由于工程

4、、力学和大地测量等方面的需要，产生 了画法几何、射影几何和微分几何。在十九世纪二十 年代，产生了非欧几何。二十世纪以来，理论物理， 特别是相对论的出现，又促进了微分几何的发展。2扇形的内接正方形扇形内接正方形的定义如果一个正方形的所有顶点都在扇形的边界上， 则称这个正方形为该扇形的内接正方形。根据抽屉原 理”，该扇形的内接正方形的四个顶点必有两个顶点在 扇形的弧上（或半径）所在的线段上，这时称正方形 为该扇形的弧（或半径）上的内接正方形。扇形弧上的内接正方形画法如图1,连接AB,以AB为正方形的一边向外 作正方形ABCD ;连接C、D , C与弧AB交于F, D于弧交于E, 连接EF;过E作E

5、F的垂线EH交A于H,过F作EF的垂 线FG交B于G;连接GH,则四边形EFGH为扇形弧上的内接正方 形。证明：由做法可知，A= E= F= B,，EF/ CD,FGA BC, AEFCD, EHA AD,二=,，FG=EF=EH,又 EF±GH5所以四边形 为扇形的内接正方形。扇形半径上的内接正方形画法如图2,连接AB,以AB为边，向三角形AB外作 正方形 ；连接MB、NB于A分别交于H和I;过点H和I分别作A的垂线，交AB于G,交B 于J；连接GJ,则得到四边形HIJG;连接G并延长G交弧AB于F,过F作A的垂线 交A于E,过E作FC平行于 A交B于C,过C作 CD垂直于A ,则

6、四边形CDEF是扇形半径 A上的内 接正方形。证明：由作法可知，四边形 HIJG是三角形AB的内接正方 形（在上文三角形的内接正方形已证）。又丁 HGA EF, GP FC,二二=，即四边形是扇形的内接正方形。3扇形内接正方形的性质及其应用定理1扇形的内接正方形有两种（这里的扇形的圆心 角w (0,)内接正方形，那么这个扇形的最大内接 正方形是那个呢？又是一个怎么的值呢？为了弄清这 个问题，用特殊到一般的方法来研究。先来考察圆心角为、半径为R的扇形的内接正方形 面积最大。分两种情况来讨论：如图3,扇形的半径上的内接正方形，设/ DOE=，显 然G (0,),则正方形DEFG的面积S=DE?EF

7、=R ?(R - R ) = R ( + - )= R ?，由于 3W (0, ), 23 + W (,),所以当23+ =时，即时，正方形的面积 最大S=。如图4,扇形弧上的内接正方形，设/ COE=,显 然W (0,),则正方形DEFG的面积S=DE?EF=2R ?(R - R ) =R 2 -,由于屋(0, ), W (,), 当=，即3 =时，正方形的面积最大 S= (2- ) R o 则(2- ) R =( 2+ )R ,由于 2+ = - = >0,且 R 时 大于0的，所以在同一个扇形的两种内接正方形的面 积以在半径上的内接正方形面积最大。b现在考察圆心角、半径为R的内接正

8、方形的面积的 情况。分两种情况来讨论：如图5,扇形半径上的内接正方形，设/ AOC=, 显然3W (0,),则正方形的面积S=CA?AO=R ?R = R ,由于 gdW (0, ), 2gd (0,),当 23=,即当3=时，正方形面积最大为S= R o这时可以看出 点C时弧DE的中点。如图6,扇形弧上的内接正方形，则正方形 ABDC 的面积 S=CD?DB=2R ? (R ) =2R ( - ) =2R (-) =R -1,其中/ =，显然 W (0, ), W (,), 故当=时，即 3=时，正方形的面积达最大为 S=( )R。这是可以看出点G时弧EF的中点。又可知，圆心角为 半径为R的

9、扇形内接正方形 以边落在半径上的内接正方形的面积大。定理2圆心角筱(0,，半径为R的扇形的内接 正方形中是以边落在半径上的内接正方形的面积最 大，其值可表示为 R。证明：在上边，已经证明两个特殊圆心角的内接正方 形面积大小的情况了，现在只需来证明一般情况。一种情况，如图3,正方形的面积S=DE?EF=R ?R -) =R ( - ) =R - (1- ) = ( + - ) = R -, 其中，所以当，即=时，正方形的面积最大是S= R ? ( - ) = R ? = R ? = R。另一种情况，如图4,可以认为是图3的这组合结构， 可以直接利用上边已经得到的结论，所以可知正方形 的面积为S=

10、2? ( R ) =R。现在来考察=R - R =R ( ) =R (),令=,则有-,而 0< e w,所以 0V W )所以 0V < 1,故 k>0o 也就是说，扇形的圆心角 w (0,半径为R时， 其内接正方形的的面积最大是边落在半径上的那个正 方形。证毕4三角形内接正方形的作法三角形内接正方形的定义三角形的内接正方形是指正方形四个顶点都在三角形 边上的正方形，正方形有四个顶点，而三角形只有三 条边，所以，正方形肯定有两个顶点在三角形同一条 边上，即三角形的内接正方形必有一条边和三角形的 一边重合。三角形内接正方形的几种画法作法1如图7,在锐角三角形ABC作其内接正方

11、形。首先在 AC边上取一点F,过点F做BC的垂线交BC于E, 连接EF,以EF为正方形的边长作正方形 EFDG,连 接CG并且延长CG使CG交AB于I,过I作IJ±BC5 过I作旧，IJ交AC于H,过H作BC的垂线交BC 于K,则四边形IJKH为三角形的内接正方形。证明：: FG/ HI ,. ZXCFGsACHI ?同理有。; FG=FE,，HI=HK矩形IJKH是三角形的内接正方形。作法2如图8,在锐角三角形ABC作内接正方形。以BC为 正方形的一边，向外作正方形 BCIH ,连接AH、AI , 分别交三角形边BC于点F、G,过F作EF±BC5交 AB于E,过G作GDX

12、BC交AC于D,连接DE,则 四边形DEFG是三角形ABC的内接正方形。证明：由作法可知，EF/DG,，ACIsMDGjFGsMHI *BHsMEF,，DG=GF=EF,即四边形DEFG是三角形ABC的内接正方形作法3如图9,在锐角三角形ABC作其内接正方形。作BC 边上的高AH ,将高AH分于K,且使，过K作DE II BC交AB于E,交AC于D,过E作EF II AH ,过 D作DG II AH ）得到的四边形DEFG就是三角形的内 接正方形。证明：由作法可知ED/BC,二？，又，两边相乘，得？ = ?，而，两边相乘，得=?。 即 DE=KH ,则 DE=KH ,又 DE=FG,，HK=E

13、F=GD ,，DE=DG=GF=EF,又AHLBC,所以四边形DEFG是三角形的内接正方 形。三角形内接正方形的性质及其应用定理1只要知道正方形一边落在三角形的一边上的 边长和这边上的高，就可以求出其内接正方形的面积。 证明：如图10,正方形EFGH是丛BC的内接正方形， 其中BC=k, BC边上的高AD=h,则正方形EFGH的 面积一定可以用关于k和h的表达式表示。证明：设正方形EFGH的边长为x,v GH II BC, AHAGsMBC,定理2在三角形中，边长最短的边上的内接正方形的 面积是这个三角形的内接正方形的面积最大（除钝角 三角形，因为钝角三角形只有唯一的内接正方形）。 证明：可以

14、不失一般性的设 AABC的三条边边长分别 为，相应的高分别为，边落在BC、AC、AB上的 内接正方形的棱长分别为，设，MBC的面积为So ; S=,根据结论1可以求出内接正方形的边长 k=, 同理有m= , n=,又 b-a>0, 2abS>0, 2S-ab=ax-ab=a（x-b） <0 （因为 x< b）,同理可证证毕定理3如图10,在RtZABC中，/ BAC=90 ,四边形EFIJ是其内接正方形，另外两个正方形也是两个小三角形的内接正方形，边长分别为，则有。证明：由四边形EFIJ是RtmBC的内接正方形，同 时另外两个正方形也是小三角形的内接正方形，GH±BC,FI±BC, DKXBC,.GH/ FI / DK,易证 ZBGHABFIAAIJADCK?二？，即？。证毕5圆的内接正方形的作法圆的内接正方形的定义正方形的四个顶点都在圆上的四边形就叫做这个圆的 内接正方形。作法如图12做圆的直径AC再做直径BD,使BD垂直于AC连接AB、BC、CD、DA,则四边形ABCD便是圆 的内接正方形证明：由作法可知，直径AC和BD把圆 分成四等份， 所以 AB=BC=CD=DA,且/ ADC=90 ）所以四边形ABCD是圆的内接正方形。圆内接正方形的几个有趣的性质及其应用定理1任意一圆的内接正方形的边长于圆的半径之比是一定值证明：如图13