期末随机过程试题及标准答案

1、随机过程期末考试卷1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB)。1 .设随机变量X服从参数为的泊松分布，则X的特征函数为。2 .设随机过程X(t尸Acos(t+ ),- <t< 其中为正常数，A和是相互独立的随机变量，且A和 服从在区间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 03 .强度为人的泊松过程的点问问距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布4 .设 Wn,n 1是与泊松过程X(t),t 0对应的一个等待时间序列，则 Wn服 从 分布。5 .袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对

2、每一个确定的t对应随机变量X(t) 3,如果t时取得红球，则这个随机过 et,如果t时取得白球程的状态空间。6 .设马氏链的一步转移概率矩阵P=(pj) , n步转移矩阵P(p(jn),二者之间 的关系为。2.设X(t), t 0是独立增量过程，且X(0)=0,证明X(t), t 0是一个马尔科夫 过程。7.设Xn,n 0为马氏链，状态空间I ,初始概率PiP(X0=i),绝对概率Pj(n) PXn j , n步转移概率pjn),三者之间的关系为 。8 .设X(t),t 0是泊松过程，且对于任意t2 t10则PX(5) 6|X(3) 4 t9 .更新方程K t H t K t sdF s解的一

3、般形式为。010 .记EXn,对一切 a 0,当 t 时，M t+a M t 。得分|评卷人|二、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)11 设Xn,n 0为马尔科夫链，状态空间为I ,则对任意整数n 0,1 l <n和 i, j I, n步转移概率p(n)p?pkn-l),称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,k I证明并说明其意义。共6页第1页4.设N,t 0是强度为的泊松过程，Yk,k=1,2,L是一列独立同分布随机变N(t)量，且与 N(t),t 0独立，令X(t)= Yk,t 0,证明：若E(Y； ),则k=12.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 客不超过

4、3人的概率。2分钟内到达的顾E X(t) tE Yi得分 评卷人 三、计算题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)1.设齐次马氏链的步转移概率矩阵为P1/31/302/301/302/3，求其平稳分布2/3共6页第3页3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设 0.7,0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。得分评卷人四、简答题(本题6分)简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。12 设有四个状态1= 0,1,2,3的马氏链，它的一步转移概率矩阵-P12 12

5、1412 12 14140141(1 )画出状态转移图;(2 )对状态进行分类;(3)对状态空间I进行分解。共6页第5页P(n)P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j, UX(l)=k X(0)=i =k I一.填空题(小一八一 111 .为 e o 2. _-(sin( t+1)-sin t)。3. _ 4. 5 .1t, 2t,L ;e,e2L。 6 . P Pn。7 . pj(n)pi pjn)一一一 33i 6ta8. 18e9。K t H t K t s dM s 10.一0P X(n)=j,X(l)=k X(0)=ik I= P X(l)=k|X(0)=i gP X(n)

6、=j X(l)=k,X(0)=i =P2pT ,其意义为 n 步转k I移概率可以用较低步数的转移概率来表示。4.证明：由条件期望的性质E X(t) E E X(t) N(t),而N(t)E X(t) N(t) n E Yi N(t) n i=1二.证明题1.证明：左边=PABC! P(ABC) P(AB) P(A) P(AB) P(A)2.证明：当0 t1t2 L tn t时，P(CAB)P(B A)=右边nn=E Yi N(t) n =E Yj ：i=1i=1三.计算题(每题10分，共1 .解：nE(Y1)，所以 E X(t) tE 丫50分)P(X(t) XX(t1)=X1,X(t 2)

7、=X2,L X(tn尸Xn) =P(X(t)-X(t n) X-Xn X(t1)-X(0)=x 1,X(t 2)-X(0)=X 2,L X(t n)-X(0)=X n )=P(X(t)-X(t n) X-Xn),又因为解方程组P和P(X(t) XX(tn)=Xn)= P(X(t)-X(t n) X-Xn X(t n)=Xn )=1 11二1二2332 12 131,即223 3233123141 2 4.7 ,故平稳分布为(7,7,7)P(X(t)-X(t n) X-X n),故P(X(t) x X(t1)=X1,X(t 2)=X2,L X(tn)=Xn)=P(X(t) xX(t尸x0)3.证

8、明：2.解：设 N(t),t 0是顾客到达数的泊松过程,2 ,故 P N(2)=k*-4k!_-4-4- -432 -471-4P N(2)3 P N(2)=0+P N(2)=1+P N(2)=2 +P N(2)=3e44e48e4 e4 e433共6页第7页0.7 0.3Pw P110.4 0.6加 0.61 0.39 加 m 0.5749 0.4251P PP=,四步转移概率矩阵为 P pp，从0.52 0.480.5668 0.4332而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为需)0.5749 o4.解：(1)图略；(2) p33 1,而P30, P31, P32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态， 记C产3 ; 0, 1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集， 记C2=0,1 ,且它们都是正常返非周期状态；由于状