部分习题及其解答

1、本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为：x 50a , y 0, z 30a , yz 75a , zx 80a, xy 50a试求法线方向余弦为 ni 2，n2 g ,便 f的微分面上的总应力 T、正应力 n和 剪应力n。解：应力矢量T的三个分量为Tiii n 106.57a, F 28.033a, F 18.71a总应力 T，T2 T22 T32 111.8a。正应力 n Tn 26.04a。剪应力n 1nr 108.7a o4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n和m ,在这两个面上的应力矢量分别为T1和T2,试证T1 m T2 n o证：利

2、用应力张量的对称性，可得T1 m (n 0) m ijnmjjmmj (m 力 n T2 n。证毕。4.3某点的应力张量为xxyxzyxyyzzxzyz且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y及该平面的单位法向矢量解：设要求的单位法向矢量为作，则按题意有ij nj 0即n2 2 n3 0, n1yn2 n3 0 , 2m n2 0(a)上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得(2 y 2)n2 0上式有两个解：n2 0或y 1。若n2 0 ,则代入式(a)中的三个式子，可得n1n3 0,这是不可能的。所以必有 y 1。将y 1代入式(a),利用nn 1 ,可求得e 2e2 ©3一

3、6-4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图 试验证应力分量4.8 ,下部受均匀压力作用，斜面自由,y xyX A( ar叫 E C)y A( arctgy 2Xy 2 B) x x2 y2匕z yz xz 0 , xy A9x2 y2满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A、B和 C。解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们 满足平衡方程。图4.8在y 0的边界上，有边界条件(y )y 0 q, ( xy ) y 0 0所给的应力分量 xy自动满足上面的第二个条件。将件，得AB q(1)y的表达式代入上面的第一个条在上斜面上，有y xtg ,所以斜面上的应力分量可以简化成x A(

4、sin cos C) , x A( sin cosxyAsin2 , z yz xz 0斜面上的外法向方向余弦为rnsin , n2 cos , n3 0将式 和(3)代入边界条件0 nj 0 ,得C 0A(sin cos ) ABcos 0联立求解和(4),得A -q- , B tg , C tgB),4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为(x)x0 iy，( xy)x0把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件0,可解得:z 0,x ax by, y cx dy, yz xz 0, xy dx ay和i分别是坝身和水的比重。求常数 a、b、c、 使上述应力分量满足边界条件。解：在

5、x 0的边界上，有边界条件将题中的应力分量代入上面两式，可解得：a 0,b在左侧的余面上，x ytg ,外法向方向余弦为 ni cos , sin , % 0f,k f,k即(T f P fd ictg2, c ctg (2 ictg2 )。4.6 物体的表面由f(x,y,z) 0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷 p( x, y, z),试写出其边界条件。解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为n j f 或 ni、f f按题意，边界条件为o-n pn因此.f f . f f上式的指标形式为j f,jPf,i。4.7 如图4.10所示，半径为a的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试

6、写出该球的全部边界条件。O图4.10解：球面的外法向单位矢量为rXiQo-n当zaa0时，有边界条件0即o-r 0或0时，球面上的压力为ij Xjgzn 即 o- rgz ,其中g为重力加速度，边界条件为gzr 或ijXjgzx。4.8物体的应力状态为有势力，即存在一个函数,其中 为矢径r的函数。(1)证明物体所受的体积力是，使f； (2)写出物体表面上的面力表达式。解：(1)应力场必须满足平衡方程,所以I,ie所以，只要令(2)表面上的面力为T n 0- n I4.9已知六个应力分量ij中的3inj。0,求应力张量的不变量并导出主应力公式。解：应力张量的三个不变量为: 特征方程是3 Ii 2

7、 I2Ii上式的三个根即三个主应力为I2) 00和2xy4.10已知三个主应力为1、2和角形，其法向单位矢量为3 ,在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三n 3 n .3口 ，%323求八面体各个面上的正应力3%330和剪应力T ijneT2 TT i2n23、H2)2( 23)2 ( 317。4.11某点的应力分量为最大剪应力及其方向。(1)过此点法向为e3)的面上的正应力和剪应力;0 ,122331，求：(2)主方向、主应力、T2正应力为 n解：(1) T剪应力为 n0。由此可知，2 是主应力,(e1 e2 e3)是和其对应的主方向。3( 1(2) 用表示主应力，则)2(所以，三个主应

8、力是。由上面的结论可知，和1对应的主方向是n ,又因为 2是重根，所以和n垂直的任何方向都是主方向。第五章5.1 把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为具体表达式。解：ij Cjki ki，试写出柔度系数张量Gjki的q作用,5.2 橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试 求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。解：取压力q的方向为z的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x、y的方向。按题意有5.3 证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各

9、向同 性体是否具有这样的性质？试举例说明。解：对各向同fiE材料，设 n是应力的主方向，是相应的主应力，则mni(1)各向同性的胡克定律是2ijij J ij将上式代入式(1),得 ni 2 ijnj n ,即小六()ni由此可知，ni也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此, 应力主方向和应变主方向一致。下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性 质关于Oxy平面对称。因为xy 0,所以从式(5.14)得xy C41 x C42 y C43 z若应变主坐标系也是应力主坐标系，则xy 0 ,即C41 x C42 y C43 z 0上式只能在特殊的

10、应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变 主方向不一定相同。5.4 对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系 解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系i2 i(1)尺N弟八早6.1 为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的？解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。6.2 设为何值时，上述的u为无体力弹性力学u f ge2yg 2 (A& Be?) 其中f、g、A、B为调和函数，问常数 的位移场。Aij eji10解： (Ae1) ek(ei Ae) ekAiei1jejXkXiXk同理(Be

11、2) 0。由上面两式及f和g是调和函数可得u (1 )g,2(1) g,2(1)因f、g、A、B为调和函数，所以2u 2 g,2(2)将式(1)、(2)代入无体力的Lams -Navier 方程，得()(1) 2 g,2 0上式成立的条件是()(1) 20即36.3 已知弹性体的应力场为x 2x , y 2y x , xy 2x 2y , zx zy 0, z 2z(1)求此弹性力学问题的体力场；(2)本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。6.4 证明下述Betti互易公式iU/dSfi%dVT%idS 饱idV，SVSV其中Ti、fi、u和他 的 的分别为同一弹性体上的两组面力、体力和

12、位移。 证：6.5 如果体积力为零，试验证下述 (Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程14(1)(RP r)其中2p 0 ,2P0 Co证：无体力的Lame-Navier方程为()(u) 2u 01，又 ,所以LameNavier方程可以写成1 22u ( u) 01 26.6设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为 x轴，弯矩所在的主平面为 Oxy平面。试 证下述位移分量是该问题的解Mu Ej-xy yz zy uoM 222v2Ej-(xyz ) zxxz voMw-Ej-yz xyyx wo。提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为xdA 0, xzdA

13、 0, xydA M AAA其中A是杆的横截面。证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lame-Navier方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：(a)x -p-,其它应力分量为零。上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为xz yz 0 , xdA 0, xZdA 0,xydA MAAA式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。6.7 图6.6表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移q2q2qi1q二二三二图6.6解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量x qi,y q2zz xyyz

14、 zx0满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为8 1(qiq2)eie1"(q2qi)ee?j(qiq2)ee利用题3.ii的结果，可求得位移为u U0 3。(r r。) pqq2)(x x°)ei ,E(q2qi)(y y°)e2 19 q2)(z 4)e36.8 弹性半空间z 0 ,比重为 ,边界z 0上作用有均布压力 q ,设在z h处w 0, 求位移和应力。解：由问题的对称性，可以假设u v 0, w w(z)把上述位移分量代入 LameNavier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成d2w dzr2"解

15、之得z22(2 )Az B其中的A、B是待定常数。由已知条件得w(h)2(h22 )Ah所以Bh22(2 )Ahw (z2 h)22(2 )(7应力分量为dw xy dz L2z (2 )dw (2dz在z 0边界上的边界条件为：一个成为(2 )A q 即 A所以最后得(1 2 )w(z h) (z4G(1 yz ( z q) , x yA(z h)-z A,)z A,xyT 0 , T2 0 , T3q(1 2)q22G(1)h)2q, u v0;一(z q) , xyyz zxq 0前两个条件自动满足，最后yz zx6.9设一等截面杆受轴向拉力p作用，杆的横截面积为 A ,求应力分量和位移分量。设 z轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，u v w 0 ,且答案：6.10 当体力为零时，应力分量为xAy2(x2y2),yz0,yAx2(y2x2),zx0,zA (x2y2), xy2Axy式中，A 0。试检查它们是否可能发生 解：6.11 图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为 p ,偏心 距为e ,杆的横截面积为 A,求应力分量。解：根据杆的受力特点，假设zx , x y xy yz zx 0其中、是待定的常数。6.12 长方形板ABCD ,厚度为h ,两对边分别受均布的弯矩M1和M2作用，如图6.8