《大学物理(Ⅱ)》课程考试大纲解读(例题、作业)

1、大学物理（）课程考试大纲解读大学物理（）课程考试大纲解读第10章 静电场 第11章 静电场中的导体 【教学内容】电荷，库仑定律；静电场，电场强度；静电场中的高斯定理；静电场的环路定理；电势；静电场中的导体；电容，电容器；静电场的能量。 【教学重点】 1.库仑定律的矢量表达；点电荷的场强分布；电场强度叠加原理及其应用。 2.电场线的性质；非匀强电场中任意非闭合曲面及任意闭合曲面电通量的计算；真空中的高斯定理及其应用。 3.静电场的环路定理及其反映的静电场性质；点电荷电场的电势分布；电势的叠加原理及其应用。 4.静电平衡条件；处于静电平衡状态的导体上的电荷分布特点。5.典型电容器的电容及其计算；电

2、容器储存的静电能的计算。【考核知识点】 1.电场强度的概念，由电场强度叠加原理求带电体的电场强度分布。 公式 点电荷的电场强度分布： 由电场强度叠加原理求点电荷系的电场强度分布： 视为点电荷的的电场强度分布： 由电场强度叠加原理求连续带电体的电场强度分布： 由电荷密度表示的：电荷体分布： 电荷面分布： 电荷线分布： 均匀带电球面的电场强度分布：，方向：沿径向。 无限长均匀带电直线的电场强度分布：，方向：与带电直线垂直。 无限大均匀带电平面的电场强度分布：，方向：与带电平面垂直。 相关例题和作业题 【例10.2.1】 求电偶极子轴线和中垂线上任意一点处的电场强度。 解： 以连线中点为原点，由指向

3、方向建坐标轴，如图10.2.3（a）所示，在距 O点为x远处P点，由场强叠加原理， 图 10.2.3(a) 电偶极子其大小 其中 对于电偶极子来说，考虑到，上式中。于是得点P处的总的电场强度的大小为，的方向沿Ox轴正方向。 建立坐标轴如图10.2.3（b）所示，同理在y轴上离O点y远处P点的图 10.2.3（b） 电偶极子中垂线上一点的电场强度点电荷+和-在点P处产生的电场强度大小相等，其值为其中，由分量式式中 ，所以 的方向沿Ox轴的负向。考虑到电偶极子，上式中，于是可得总的电场强度为 【例10.2.2】 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为l（），求距该直线为a处的电场强度，如图10.2.5

4、所示。图 10.2.5 带电线的电场强度解：因电荷是连续分布的，由场强叠加原理,建立坐标系,由分量式作积分运算求解。建立如图10.2.5所示，由叠加原理可知x分量 y分量 故在y轴上离原点y远处取元电荷其大小 故 则 因为对称性 统一变量为，由图可知，。 电场强度的方向沿x轴正方向。 【例10.2.3】一均匀带电细半圆环，半径为R，带电量为Q，求环心O处的电场强度。如图10.2.6所示图 10.2.6 带电半圆环环心处的电场强度解：建立如图所示的直角坐标系，在带电细圆环上任取一线元，所带元电荷量为 式中l为线电荷密度，其值为 电荷元在环心O处产生的电场强度的大小为 方向如图所示。在x轴方向和y

5、轴方向的分量分别为 根据对称性分析，可知，所以带电半圆环在环心O处产生的电场强度为 又因为，代入上式，积分后可得 负号说明电场强度的方向沿y轴负方向，大小则为 。题图10.1 【10.1】四个点电荷到坐标原点的距离均为d，如题10.1图所示，求点O的电场强度的大小和方向 。 解：由图所示x轴上两点电荷在O点产生场强为 y轴上两点电荷在点O产生场强为所以，点O处总场强为 大小为，方向与x轴正向成角。 【10.4】正方形的边长为a，四个顶点都放有电荷，求如题10.4图所示的4种情况下，其中心处的电场强度。题图10.4解：在四种情况下，均以中心O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向

6、建立坐标系，则有 (a) 根据对称性，四个顶点处的电荷在中心处产生的场强两两相互抵消。所以 (b) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在x轴上抵消,只有y轴上的分量，所以 (c) 根据对称性，对角线上的电荷在中心处的场强可以相互抵消，所以 (d) 根据对称性，电荷在中心处产生的场强在y轴上抵消,只有x轴上的分量，所以 【10.5】 一半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷+Q，求环心处的电场强度。题图10.5 解：建立如图所示的直角坐标系，在带电细圆环上任取一线元，所带元电荷量为 式中， 电荷元在环心O处产生的电场强度的大小为 方向如图所示。在x轴方向和y轴方向的分量分别为 根据对称性分析，可知，

7、所以带电半圆环在环心O处产生的电场强度为 负号说明电场强度的方向沿y轴负方向，大小则为 。 【10.6】 长为15.0cm的直导线AB，其上均匀分布着线密度的正电荷，如题图10.6所示。求 在导线的延长线上与导线B端相距为5cm的点P的场强。 解： 取点P为坐标原点，x轴向右为正，如题10.6(a)所示。设带电直导线上一小段电荷至点P距离为，它在点P产生的场强为 （沿x轴正向）由于各小段导线在点P产生的场强方向相同，于是 方向水平向右。 题图 10.8(a)(b) 【10.8】如题图10.8(a)所示，电荷线密度为的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为的有限长均匀带电直线AB，两者位于

8、同一平面内，求AB所受的静电力。解：如图10.8(b)所示，建立坐标系，取线元dx，其带电量为，受力为 方向沿x轴正向。直线AB受力为方向沿x轴正向。 2. 电通量的计算。 公式 相关例题和作业题题图10.9 【10.9】有一非均匀电场，其场强为，求通过如题图10.9所示的边长为0.53 m的立方体的电场强度通量。（式中k为一常量）解：由于只有x方向的分量，故电场线只穿过垂直于x轴，且位于和处的两个立方体面和。考虑到这两个面的外法线方向相反，故有 3.用真空中的高斯定理计算电荷分布具有对称性的连续带电体的电场强度分布。 公式 均匀带电球面/球体/球壳：选同心球面为高斯面S，由高斯定理得 ，方向

9、：沿径向。 无限长均匀带电直线/圆柱面/圆柱体/圆柱壳：选同轴圆柱面为高斯面S，其中S1、S2为上下底面，S3为侧面，h为柱高，由高斯定理得 ，方向：沿径向。 无限大均匀带电平面的电场强度分布：平面两边分别为均匀电场，的方向与带电平面垂直，大小为，其中为均匀带电平面的电荷面密度。 相关例题和作业题 【例10.3.1】设有一半径为R带电量为Q的均匀球体。求：球体内部和外部空间的电场强度分布。（a）（b）图 10.3.7 均匀带电球体的场强 解：首先分析空间分布的特性，由于电荷分布具有球对称性，故方向沿球半径方向，且的大小在同一球面上都相等。故取高斯面为同心球面。 过P点取半径为r（r R)的高斯

10、球面 如图10.3.7(b)所示。 方向沿径矢方向。由此可见，均匀带电球体在其外部空间产生的电场强度，与等量电荷全部集中在球心时产生的电场强度值相同。根据以上的计算可得均匀带电球体的E-r曲线，如图10.3.8所示，从曲线可以看出，在球体内（r R）， E 与成反比，即（）。图 10.3.8 均匀带电球体的E-r曲线图 【例10.3.2】求无限长均匀带电直线的电场强度分布。图 10.3.9 无限长均匀带电直线的电场解：由于带电直线无限长，且其上电荷分布均匀，所以其产生的电场强度沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离各点处的电场强度大小相等，即无限长均匀带电直线的电场分布具有柱对称性。如图

11、10.3.9所示，以带电直线为轴线，r为半径，作一高为h的圆柱体的表面为高斯面。由于电场强度的方向与上、下底面的法线方向垂直，所以通过圆柱两个底面的电场强度通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度通量为E2prh ，所以通过该高斯面的电场强度通量为该高斯面所包围的电荷量为根据高斯定理有 由此可得即无限长均匀带电直线外某点处的电场强度，与该点距带电直线的垂直距离r成反比，与电荷线密度成正比。图 10.3.10 无限大均匀带电平面的电场 【例10.3.3】设有一无限大的均匀带电平面，其电荷面密度为，求距该平面为r处某点的电场强度。解：首先分析分布特点，因为是无限大均匀带电平面。故方向必垂直于带电平面，由

12、带电平面两侧附近的电场具有镜像对称性，大小在两侧距带电平面等距离各点处相等。为此选取如图10.3.10所示的闭合圆柱面为高斯面。由高斯定理 左方 该高斯面内所包围的电荷量为 得 可见，无限大均匀带电平面产生的电场为匀强电场，方向与带电平面垂直。若平面带的电荷为正（），则电场强度的方向垂直于平面向外；若平面带的电荷为负（），则电场强度的方向垂直于平面向内，如图10.3.11所示。+-图 10.3.11 无限大均匀带电平面场强方向利用上面的结论和电场强度叠加原理，可求得两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场分布，如图10.3.12所示。设两带电平面的面电荷密度分别为和（），两带电平面的电场强度大

13、小相等均为，而它们的方向，在两平面之间的区域，方向是相同的；在两平面之外的区域，方向则是相反的。所以，在两带电平面外侧的电场强度为零，在两平面之间的电场强度大小为其方向由带正电平面指向带负电平面。题图 10.10 【10.10】设匀强电场的电场强度与半径为R的半球面的轴平行，求通过此半球面的电场强度通量。解：作半径为R的大圆平面与半球面S一起构成闭合曲面，由于闭合曲面内无电荷，由高斯定理，有 所以，通过半球面S的电场强度通量为 【10.11】 两个带有等量异号的无限长同轴圆柱面，半径分别为和（），单位长度上的带电量为，求离轴线为r处的电场强度： ； ； 。题图 10.11解： 作高为的同轴圆柱

14、面（如题图10.11）为高斯面。由于两带电圆柱面的电场为柱对称，所以，通过此高斯面的电场强度通量为其中第一、第三项积分分别为通过圆柱面上、下底面的电场强度通量。由于垂直于轴线，故在底平面内，第一、第三项的积分均为零。第二项积分为根据高斯定理，有 所以 同理时，有 即 所以 时，有 所以 由上述结果可知，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面所形成的电场只存在于两柱面之间。【10.12】如题图10.12所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆柱体，电荷体密度为，求带电圆柱体内、外的电场分布。题图 10.12解：此圆柱体的电场分布具有轴对称性，距轴线等距离各点的电场强度值相同，方向均垂直轴，沿径向，因

15、此，可用高斯定理求解。 1.圆柱体内的电场强度分布（） 设点P为圆柱体内任意一点，它到轴线的距离为，在圆柱体内，以为半径作一与圆柱体同轴，高为的闭合圆柱面为高斯面（如题图10.12）。由于高斯面上、下底面的法线均与面上各点的电场强度方向垂直，故通过上、下底面的电场强度通量为零，侧面上任一点的法线方向，均与该处电场强度方向一致，故通过整个高斯面的电场强度通量为，高斯面内包围的总电荷为，由高斯定理 得 2.圆柱体外的场强分布（）设为圆柱体外任一点，类似上面的讨论，以为半径作高斯面（如题图10.12），由高斯定理有 由此得 【10.13】两个均匀带电的金属同心球面，半径分别为0.10 m和0.30

16、m，小球面带电1.010-8 C，大球面带电1.510-8 C 。求离球心为 0.05 m； 0.20 m； 0.50 m处的电场强度。解：由于电荷在球面上对称分布，所以两球面电荷的电场也具有球对称性，场强方向沿径向向外。 以球心O为中心，m为半径作一同心球面，并以此为高斯面，其内部电量为零，面上各点的场强大小均相同。由高斯定理有 同理以为半径作高斯面，面内包含小带电球面上的所有电荷。由高斯定理有 同理，可以得到点C处的电场强度大小为 【10.14】如题图10.14所示，一个内、外半径分别为和的均匀带电球壳，总电荷为，球壳外同心罩一个半径为的均匀带电球面，球面带电荷为。求；的电场强度。题图 1

17、0.14解：由于电荷分布呈球对称性，所以电场分布也具有球对称性。在上述各区域分别取半径为r的同心球面为高斯面，则高斯面上各点的电场强度大小相等，方向沿径矢方向。由高斯定理，有所以 电场强度的方向均沿径矢方向。 【10.16】两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+s 和-2s，求图示中3个区域的场强。题图10.16解：由电荷面密度为的无限大均匀带电平面的场强公式，左极板在空间产生的场强为，其方向为：在该极板左边，方向水平向左；在该极板右边，方向水平向右。同理可得，右极板在空间产生的场强为，其方向为：在该极板左边，方向水平向右；在该极板左边，方向水平向左。因此，根据场强迭加原理，可得上图中

18、各个区域中的场强分别为： 4.电势的概念，用电势的定义及电势叠加原理求带电体的电势分布。 公式 点电荷的电势分布： 由电势叠加原理求点电荷系的电势分布： 视为点电荷的的电势分布： 由电势叠加原理求连续带电体的电势分布： 由电势的定义求连续带电体的电势分布：，其中需已知或易求积分路径上的的分布。 均匀带电球面的电势分布： 相关例题和作业题 【例10.5.1】求均匀带电球面激发静电场的电势分布。已知球面半径为R，所带电量为Q，如图10.5.3所示。图 10.5.3 均匀带电球面 解：选无限远处，由U的定义式 当P点在带电球面外时（r R）， 由高斯定理可求得，因为是均匀带电球面，故分布也具有球对称

19、性，取同心球面为高斯面，其半径为r由 得 （r R） 选半径r为积分路径，取方向与方向相同，则 当P点在带电球面内部时，r R。由于与为分段连续则 由高斯定理可知 （r R）若选取无穷远处的电势为零，则由电势的定义得球面内任一点的电势为 （r R），则点P处的电势为 上式表明，细圆环轴线上远离环心处的电势与电荷全部集中在环心时的电势相同，即细圆环可视为点电荷。 【10.19】 一均匀带电半圆环，半径为R，带电量为Q，求环心处的电势。解：在带电圆环上取一电荷元dq，根据点电荷的电势公式，其在环心处的电势为 然后对整个带电体积分，可得环心处的总电势为 【10.20】 电量q均匀分布在长为2l的细杆

20、上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的点P的电势（设无穷远处为电势零点）。题解图 10.20解：设坐标原点位于杆中心点O，x轴沿杆的方向，如图所示。细杆的电荷线密度，在x处取电荷元，它在点P产生的电势为整个杆上电荷对点P产生的电势为【10.22】 如题图10.22所示，两个同心球面，半径分别为和，内球面带电，外球面带电，求距球心 ； ； 处一点的电势。题图 10.22解法一：利用场强和电势的积分关系计算。在小球面内、两球面间和大球面外分别以点O为球心做高斯面，应用高斯定理可求得选无穷远处电势为零，由于不同区域电场强度的数值不同，于是有 在区域 在区域 在区域 解法二：利用典型带电体的电势公式直接

21、叠加 我们已知，一均匀带电为Q的球面内任一点的电势就等于球面上的电势，即 球面外任一点的电势，就等于球面上的电量全部集中在球心时，一个点电荷产生的电场在该点的电势，即 由叠加原理：在区域任一点的电势，是两带电球面各自在该点电势的叠加，即 在区域 在区域 5电势差的计算。 公式 相关例题和作业题【10.23】 一半径为R的长棒，其内部的电荷分布是均匀的，电荷的体密度为。求 棒表面的电场强度； 棒轴线上的一点与棒表面之间的电势差。解： 在长棒内部任取高度为l，半径为r，且与棒同轴的圆柱面作为高斯面。根据高斯定理可求得棒中任意点的场强，有题图 10.23所以 棒表面处（即r = R）的场强为 根据电

22、势差的定义，取圆柱的径线为积分路径，则棒轴线上一点与棒表面之间的电势差为 题图 10.24【10.24】两个很长的同轴圆柱面（，），带有等量异号的电荷，两者的电势差为450 V。求 圆柱面单位长度上的带电量是多少？ 两圆柱面之间的电场强度？ 解： 两同轴圆柱面可看作无限长的，故两圆柱面间的场强可利用高斯定理求得，有 。根据场强与电势差的积分关系，有则圆柱面单位长度上带电量为 两柱面间的电场强度为6在静电场中移动点电荷，静电场力所做功的计算。 公式 相关例题和作业题【10.17】 如题图10.17所示，AB两点相距2l，是以B为圆心，l为半径的半圆。A点有正电荷，B点有负电荷。求把单位正电荷从O

23、点沿移到D点时电场力对它做的功？ 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远时电场力对它做的功？ 题图10.17解： ， 设无穷远处电势为零，则 【10.28】如题图10.28所示，已知，。求 点D和点B的电场强度和电势； 点A和点C的电势； 将电量为的点电荷由点A移到点C时电场力做的功； 点电荷由点B移到点D时电场力做的功。题图10.28解：根据题意，建立如图所示坐标系，以点D为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。 根据库仑定律和点电荷的电势公式，可得D点和B点的场强大小分别为 点D和点B的电势分别为 点A的电势为点C的电势为 从点A移到点C电场力所做的功 从点B移到点D电

24、场力所做的功 7.静电平衡条件。 静电平衡条件：当导体处于静电平衡状态时，在导体内部电场强度处处为零；导体是一个等势体，导体表面是一个等势面。 处于静电平衡状态的导体上的电荷分布特点： 导体所带电荷只能分布在导体的表面，导体内部没有净余电荷； 导体表面外邻近处电场强度的大小与导体表面电荷密度成正比； 导体表面上的面电荷密度与其表面的曲率半径有关，曲率半径越小，电荷面密度越大。 8.典型电容器的电容及其计算。 公式 电容的计算公式： 平行板电容器的电容： 孤立导体球电容器的电容： 相关例题和作业题图11.3.2 球形电容器【P45：球形电容器的电容计算】如图11.3.2所示，一球形电容器，内外球

25、壳的半径分别为R1和R2，内外球壳间为真空，假设内外球壳分别带有+Q和-Q的电荷量。则由高斯定理可得两球壳间的电场强度大小为 （R1 r d时，。取为螺绕环线圈的线密度 (12.4.5)从此结果可见细螺绕环与“无限长”螺线管一样，产生的磁场全部集中在管内，并且 。当螺绕环半径R趋于“无限大”，且单位长度的匝数n值不变时，螺绕环就过渡为“无限长”直螺线管了。【例12.4.3】一载流无限长圆柱体，其半径为R，电流强度为I，且均匀分布在圆柱体的横截面上，求圆柱体内外的磁感强度分布。图12.4.5 长直载流圆柱体的磁感强度分布解：首先分析分布特点，由于I分布是轴对称的，故分布也是轴对称的。 （r R）

26、 设P点离圆柱体轴线的距离为r，在与轴线垂直的平面内取半径为r的圆周为安培环路线L，如图12.4.5所示。根据安培环路定理 得 于是得 （r R） （12.4.6） （r R） 由现在再来讨论圆柱内一点Q的磁感强度。设点Q离圆柱体轴线的垂直距离为。通过点Q做一半径为r的圆。该回路所包围的电流不再是I，而是根据安培环路定理，有 由此得 （r R） （12.4.7）上式表明，长直载流圆柱内一点的磁感强度的大小与该点到轴线的距离成正比。磁感强度的方向与电流成右手螺旋关系。图12.4.5（c）为长直载流圆柱内、外的磁感应强度的分布情况。【12.16】有一同轴电缆，尺寸如题图12.16所示。两导体中的电

27、流均为I，但电流的流向相反。求以下各区域的磁感强度的大 ； ； ； 。题图12.16解：设同轴电缆为无限长，导线横截面上电流均匀分布，在电缆的横截面内，以截面的中心为圆心，取不同的半径r作圆，并以此为各积分环路。在每个环路上，磁感强度的大小相等，方向均沿圆周的切线方向。应用安培环路定理，可求出磁感强度B的值。 当 当穿过环路L的电流为I，则有 当穿过环路L的电流为 当穿过环路L的电流为0，有 【12.28】一无限长，半径为R的圆柱形导体，导体内通有电流I，设电流均匀分布在导体的横截面上。今取一个长为R，宽为2R的矩形平面，其位置如题图12.28所示。求通过该矩形平面的磁通量。题图12.28解：

28、设圆柱体内、外的磁感强度分别为和。由于无限长圆柱导体中电流均匀分布在其横截面上，因此，它所激发的磁场具有轴对称性。由磁场的安培环路定理，得时， ，时，则通过题中给定矩形平面的磁通量为 4.洛伦兹力的特性；用安培定律计算载流导线在磁场中受到的磁力以及载流线圈在均匀磁场中受到的磁力矩。 公式 洛伦兹力的计算公式：，特点：洛伦兹力总是垂直于运动电荷的速度，因此洛伦兹力对运动电荷不做功，它只改变运动电荷速度的方向，不改变速度的大小，它使运动电荷的路径发生弯曲。 载流导线在磁场中所受的安培力： 载流平面线圈的磁矩：，其中与I的流向成右手螺旋关系。 载流平面线圈在均匀磁场中所受的磁力矩： 磁力矩的方向与的

29、方向一致。当线圈平面与线平行时，线圈所受的磁力矩最大： 相关例题和作业题 【例12.5.1】一质子质量，电量以速度射入磁感强度为的匀强磁场中，求这粒子作螺旋运动的半径和螺距。已知：， ，求：R、h解： 粒子作螺旋运动的半径为 螺距为 【例12.6.1】 有一长为L通以电流为I的直导线，放在磁感强度为的匀强磁场中，导线与间的夹角为q，如图12.6.2所示。求该导线所受的安培力。图12.6.2 磁场对载流直导线的作用已知：L、I、B求：F解：在载流导线上任取一电流元，它与的夹角为q，该电流元所受的安培力大小为 力的方向垂直纸面向里。因为导线上各电流元受力方向都相同，所以整个载流导线受到的安培力的大小为 力的方向垂直纸面向里。 讨论 当载流导线与磁感强度方向平行时，即，载流导线受到的力为零； 当载流导线与磁感强度方向垂直时，即，载流导线受到的力最大，为。 由此可见，式的适用条件是载流直导线在匀强磁场中，且电流的流动方向垂直于磁感强度方向。【例12.6.2】如图12.6.3所示，一通有电流为I半径为R的半圆弧，放在磁感应强度为的匀强磁场中，求该导线所受的安培力。图12.6.3 磁场对载流导线的作用 已知：I、R、B 求： 解：建立坐标轴如图12.6.3所示，取电流元，受的安培力大小为 力的方向沿径向斜向上方。由此可见，导线上各电流元所受的安培力方向各不相同。故将沿x