第1讲命题有纲

1、开篇总领复习今后的高考命题会逐渐增强基础性、综合性、应用性、探究 性和开放性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养的改 革创新.命题有纲 六大核心素养；解题有道四大数学思想；增分有招六大常用方法.开篇总领复习第1讲命题有纲一一六大核心素养命题趋势 随着新课程标准的实施，今后的高考命题必将以知识为载体，能力立意、思想方法为灵魂，核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养的改革创新.聚焦核心素养的 养成，才能从容应对高考的变化.素养聚焦fi类昭购畦&和实类型一 用数学的眼光去观察世界素养i数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象

2、，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关ii:J系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构， 并且用数学符号或者数学术语予以表征.LJ【例1】（2019扬州模拟）如图是一 “T形水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北 方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为 4 m,东西向渠宽为，；2 m（从拐 角处，即图中A，B处开始）假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）应nA ,丿匕亦ijQ'4 m*北-京（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于 P, Q两点，且与水渠的n一边的夹角为9 0< 9 <2 （如图

3、），请将线段PQ的长度1（单位：m）表示为B的函数;(2)若从南面漂来一根长为 7 m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面 内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠 (不会卡 住)？请说明理由.解(1)由题意得 PA= sino m, QA= cOH m，nm.所以I 故所求的函数为1 =黠 + COSI ovx扌.V2cos 0 4sin 0/2 (2/2sin3 0 coS3 0) 则f爲nr+cos丁sin2(cos2 0，令f，(0，则存在0满足tan 0 =今,n且当 0 (0， 0)时，f，0v0；当 0 00，2 时，f' 0>0,n所

4、以f(0)在(0，0)上单调递减，在00，2上单调递增，当tansincos所以当0= 0时，f( 0)取得极小值，也为最小值.所以f( 0)的最小值为f( 0) = 3 ,'6，即这根竹竿能通过拐角处长度的最大值为3 ,-'6 m.因为3 '6>7,所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.【训练1】(2019徐州高三期末)如图，有一块半圆形空地,开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆 心为O,半径为R,矩形ABCD的边AB在直径上，点C, D , G, H在圆周上,nE, F

5、 在边 CD 上，且/ BOG = 3,设/ BOC= 0.(1) 记游泳池及其附属设施的占地面积为f(见求f( 9的表达式;(2) 怎样设计才能符合园林局的要求？解 由题意得 AB = 2Rcos 0, BC= Rsin 0 连接OH，易得 HOG为等边三角形，所以 HG = R, EH =Rsin 0,贝 U f( 0 = S 矩形ABCD+ S矩形EFGH=2Rcos 0 Rsin 0+ RRsin 0=R2 2sin 0cos( sin 0+三,0 0, (2)要符合园林局的要求，只要f( 0最小即可.由知，f' ( = R2(2cos2 2sin20 cos 0= R2(4c

6、oV cos 0-2),令 f' 0 = 0,即 4co$ ( cos 2= 0,1+33 亠1-V33 人 r解得 cos 0= 8 或 cos 0= 8 (舍去)，1 + 33n令 cos 00= 8,0, 3 ,则当0 (0, 0)时，f' 0v 0, f(0)是单调减函数，n当0 00, 3时，f' 0>0, f( 0是单调增函数， 所以当0= 0时，f( 0)取得最小值.故当0满足cos 0= 先奚时，该设计才符合园林局的要求.素养2直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括

7、：借助空间形式认识事物的位:置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路.; :【例2】(2019南京、盐城高三一模)有一矩形ABCD硬纸板材料(厚度忽略不计), 边AB的长为6分米，其邻边足够长现从中截取矩形 EFHG（如图甲所示），再 剪去图中阴影部分，剩下的部分恰好能折成一个底面是弓形的柱体包装盒 （如图 乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以0为圆心、/ EOF = 120°为圆心 角的扇形，且弧EF，GH分别与边BC, AD相切于点M，N.当BE的长为1分米时，求折成的包装盒的容积；当BE的长是多少

8、分米时，折成的包装盒的容积最大？解 在题图甲中，连接M0交EF于点T.设 0E = OF = OM = R 分米，1R在 RtAOET 中，因为/ EOT=壬 EOF = 60°,所以 OT =刁 贝MT = OM OT=R2.R从而 BE= MT = 2，即 R= 2BE= 2.故所得柱体的底面积 S= S扇形OEF Sa oef = fn2 2r2s in 120°= 43n .3平方分 米.A O又柱体的高EG = 4分米，所以V= S EG= - 4 3立方分米.A O故当BE长为1分米时，折成的包装盒的容积为 4 3立方分米.设BE=x分米（0vxv3），贝U R

9、= 2x分米，所以所得柱体的底面积 S= S扇形oefSaOEF二二3伙2 ?R2sin 120 °3 X2平方分米.又柱体的高EG = （6 2x）分米,所以 V= SEG= 3 2.3 ( x3 + 3x2)，其中 Ovx< 3.令 f(x) = x3 + 3x2, x (0, 3),则由 ffx(= 3X2 + 6x= 3x(x 2) = 0,解得 x= 2（x= 0 舍去）.列表如下：x(0, 2)2(2, 3)f'x)+0一f(x)极大值所以当x= 2时，f（x）取得极大值，也是最大值.故当BE的长为2分米时，折成的包装盒的容积最大.5,【训练2】（1）（20

10、19苏州调研）鲁班锁是中国传统的智力玩具, 起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所 示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长 的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为 底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结果保留n ）（2019南京二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），将剩下的部分折叠成底面边长为 ：空的正四棱锥S EFGH（如图2）,则正四棱锥S EFGH的体积为.图1解析（1）该球形容器最小时，两个正四棱柱组成的四棱柱与球内接，此时

11、球的直径2R等于四棱柱的体对角线，即 2R= ：52 + 22 + 12= .30,故球形容器的表面积至少为4 n2 = 30 n.设题图1中厶BEF的高为hi,贝U BD= .2+ 2hi,在四棱锥S EFGH中，斜高为hi,设高为h2,由 BD = 412= 2+ 2hi,二 hi = ,h2 =Vs EFGH = 3S 四边形 EFGH X h2 = 3X 2X 2= 34答案 (i)30 n3类型二 用数学的思维去分析世界素养3逻辑推理I逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养主要包ii!括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从ii!一般

12、到特殊的推理，推理形式主要有演绎.iI.【例3 p古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数-i,n (n + i)i i3, 6, i0,，第n个三角形数为 2= n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k>3),以下列出了部分第n个k边形数的表达式：1i三角形数 N(n, 3) = ?n2+ qn,正方形数 N(n, 4)= n2,3 i五边形数 N(n, 5) = n2n,六边形数 N(n, 6)= 2n2 n,可以推测N(n, k)的表达式，由此计算N(i0, 24) =解析由题意，设 N(n, k) = akn2 + bkn(k>3),则 ak=k 24

13、-k(心 3), be丁 (k3),所以 N(n, 24)= 11n2 10n,当 n= 10 时，N(10, 24)= 11X 102 10X 10= 1 000.答案 1 000【训练3】(1)(2019徐州二模)设等比数列an满足：a1 = ：'2, an= cos也+n电sin也，其中并 0, 2 , nN ,则数列出的前2 018项之和是.(2)(2019赣榆月考)将正奇数排列成如右图形式，其中aj表示第i1行第 j 个数(i N*, j N*),例如 a32 = 9,若 aj = 2 009,则 i + j : " 11131517n解析(1)因为旅0, 2 ,n

14、 n 2 n所以併+ 6 6, 丁 , 所以 an= cos (n + '3sin 出=2sin 出 + g (1, 2,所以等比数列an的公比q>0.若q> 1,由a1 =、2知，当n充分大时an>2,矛盾；若0v qv 1,由a1=2知，当n充分大时anV 1,矛盾,所以q= 1,从而an= a1 = J2,所以(=祗则数列 (的前2 018项之和是1 009 n6 .(2)2 009是第 1 005个奇数，则 1 + 2+ 3+- + (i 1) ="V 1 005，且 1+ 2+ 3+- + i =" ”；1)> 1 005，验证i

15、= 45时，式成立，所以i = 45.易得出第 45 行第 1 个数是 44X 45 + 1 = 1 981,二 1 981 + 2(j 1) = 2 009, / j =15. 2 009是第45行第15个数，则i + j = 60.答案(“晋960 素养4数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等. x22【例4】(2019盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:号+ 涪1(a> b> 0)的焦距为2, Fi, F2分别为其左、右焦点，过F2的直线

16、与椭圆交于A，B两点, 直线AB的斜率为1.(1)若直线AB与椭圆的右准线交于点C且CF1 CF2 = 24,求椭圆的标准方程; 若OA2+ OB2v AB2，求a2的取值范围.解(1)由题意可知，F1( 1, 0), F2(1, 0),tv0 1由直线 AB: y= (x 1),即x+ y 1 = 0,椭圆右准线方程为x= a2,得C(a2, 1 a2), CF1 = ( 1 a2，a2 1)，CF2= (1 a2, a2 1).由CF1 - CF2二 24，得(a2)2 1+ (a21)2= 24,二 a2 = 4， a2= 3 舍去，2 2 b2 = a2 c2= 3,.椭圆的标准方程为

17、x4 + g = 1.(2)设 A(x1，y1)，B(X2，y2)， OA2 + OB2v AB2,a cos/ AOB= OA 总)BAB < 0,2OA OBI / AOB 为钝角，二 OA OB= xix2 + yiy2V0.y=(x 1)，联立直线与椭圆方程X2 y2了+1，a b消 y 得 b2x2 + a2(x 1)2 = a2b2,整理可得(a2 + b2)x2 2a2x+ (a2 a2b2)= 0,解得XI, 2a2iab a2 + b2 1= 2 ,a2Tb22a2a2 a2b2-X1 + X2二乔，XlX202+br，又' T yiy2 = (X1 1) (X

18、2 1) = X1X2(X1 + X2)+ 1 ,X1X2 + y1y2= 2x1x2 (刃 + X2)+ 1222c 2又 b2= a2 1,="Wb - rfp+ 1,4a2 2a4 2a2 2a4 + 4a2 1.対灯 + y1y2=201 + 1二2a v 0,又 a> 1,. 2a4 4a2 + 1>0,解得 a2>2；2 a2v22'2v 1 舍去.故a2的取值范围为2+2,+ .【训练4】(2019泰州调研)已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且f(x)在区间(x,0)上单调递增，f( 1) = 0.设 g(x) = cos2x + ms in

19、 x 2m，集合 M =Tt八.人n I rm|?x 0,g(X)v 0，集合 N = m|?x 0,f(g(x)v 0，则MA N =.解析 易得 f(1)= f( 1) = 0,所以由R上的奇函数f(x)在(一x, 0)上单调递增，得xv 1或0vxv 1时f(x)v 0,n由此 N= m|?x 0, - , g (x)v 1 或Ovg (x)v 1 ,n所以 M A N= m|?x 0, ? , g (x)v 1 ,2r即？x 0, 2 , g(x)= cosx+ ms in x 2mv 1 恒成立,即 1 sin2x+ ms in x 2m+ 1 v 0,所以 si n2x ms in

20、 x+ 2m 2> 0.令 t= sin x 0, 1,则 t? mt+ 2m 2> 0 对 t 0, 1恒成立，2 t2 所以m>芦max 令 2 1= s 1 , 2,所以M- 2： S)2 J ST 2二 4 s+ S < 4 2网当且仅当 s®寸),所以2 t22 t max=4 2 2，所以 M n N = m|m>4 2 2.答案m|m>4 2 ,2类型三用数学的语言去表达世界素养5数学建模【例5】(2019南京师大附中模拟)如图，A, B, C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向6.：3千米处.警员甲从C

21、出发，沿CA行至点P处，此时/ CBP= 45°求P, B两点间的 距离；(2)警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发， 甲的速度为3千米/时，乙的速度为6千米/时.两人通过专用对讲机保持联系， 乙到达B后原地等待，直到甲到达 A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不 超过9千米，求两人通过对讲机能保持联系的总时长.解 由题意知，在 ABP 中，AB = 6, A= 60° / APB = 75°,由正弦定理知,AB = BP sin/ APB= sin A，即BP=ABsin A _ sin/ APB_6sin 60sin 756週;

22、2+ 6_ .'6+ 2_ 3（ . 6.2)= 9 2-3 6,故P, B两点间的距离是(9 2-3 6)千米.因为AC=62+( 6一3) 2= 12,故甲从C到A需要4小时，乙从A到B需要1小时.设甲、乙之间的距离为f(t),要保持通话则需要f(t)w9.当Ow t< 1时，f(t)=(6t) 2+( 12- 3t) 2-2X 6t (12- 3t) cos_60 °=3 7t2- 16t + 16< 9,即 7t2- 16t+ 7< 0,解得 8-75< t< 8+p5, 又 te 0, 1，所以8-7 15wtw 1,当1 v tw 4

23、时，f(t)= - 36+( 12-3t) 2-2X 6 (12-3t) cos 60 =3 _t2 6t+ 12w9,即上2 6t+ 3w 0,解得 3 6wtw 3+”6,又t (1, 4,所以1 vtw4,时长为3小时. 故两人通过对讲机能保持联系的总时长为【训练5】(2019南京模拟)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 x件(x N*) 与单价p元/件之间的关系为p= 160-2x,生产x件所需成本为C= 500+ 30x 元.要使日获利不少于1 300元，则该厂日销售量的最小值为 件.解析 由题意，得(160- 2x) x- (500 + 30x)> 1 300,解得20wxw

24、 45,故该厂日 销售量的最小值为20件.答案 20素养6数据分析数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，II构建模型对信息进行分析、推断，获得结论.L !【例”6】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训现分别从他们在培训期间参加的i若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84.乙：92，95，80，75，83，80，90，85.(1) 用茎叶图表示这两组数据；(2) 现要从两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明

25、理由.解作出茎叶图如图所示.甲乙H 1 2 15 375n o5U 2 51(2)x 甲=8(7°X 2+ 80 X 4+ 90X 2+ 8+ 9+ 1 + 2 + 4+ 8 + 3+ 5)= 85，1x 乙=8(70 X 1 + 80X 4 + 90X 3+ 5 + 0 + 0 + 3 + 5+ 0+ 2+ 5) = 85，s甲二1 (78 85)2 + (79 - 85)2 + (81 - 85)2 + (82 - 85)2 + (84 - 85)2 + (88 - 85)2 + (93 8-85+ (95- 85)2 = 35.5，s乙二 8(75 - 85)2 + (80- 85)2 + (80 - 85)2 + (83 - 85)2 + (85- 85)2 + (90 - 85)2 + (92 -85+ (95 - 85)2 = 41.因为x甲=x乙，S甲V S