椭圆双曲线抛物线2

1、1 已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1,2)【详细分析】由ABx轴，可知ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF45，于是AFEF，ac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得1e1，从而1eb0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)必在圆x2y22_.(填“内”“外”“上”)答案内【详细分析】x1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，ca，b2a

2、2c2a22a2.xx0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：xa作垂线，垂足分别为M1、N1.(1)当a时，求证：AM1AN1；(2)记AMM1、AM1N1、ANN1的面积分别为S1、S2、S3.是否存在，使得对任意的a0，都有SS1S3成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由(1)证明当a时，A(，0)为该抛物线的焦点，而l：xa为准线，由抛物线的定义知MAMM1，NANN1，则NN1ANAN1，MM1AMAM1.又NN1ABAN1，MM1ABAM1，则BAN1BAM1NAN1MAM1，而BAN1BAM1NAN1MAM1180，则N1AM1

3、BAN1BAM190，所以AM1AN1.(2)解可设直线MN的方程为xmya，由得y22pmy2pa0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y22pm，y1y22pa.S1(x1a)|y1|，S2(2a)|y1y2|，S3(x2a)|y2|，由已知SS1S3恒成立，则4a2(y1y2)2(x1a)(x2a)|y1y2|.(y1y2)2(y1y2)24y1y24p2m28pa，(x1a)(x2a)(my12a)(my22a)m2y1y22ma(y1y2)4a2m2(2pa)2ma2pm4a24a22pam2.则得4a2(4p2m28pa)2pa(4a22pam2)，解得4，即当4时，对任

4、意的a0，都有SS1S3成立(推荐时间：70分钟)一、填空题1 设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为_答案y24x或y216x【详细分析】由题意知：F，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x.2 与椭圆1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是_答案y21【详细分析】椭圆1的离心率为，且焦点为(0，2)，所以所求双曲线的焦点为(0，2)且离心

5、率为2，所以c2，2得a1，b2c2a23，故所求双曲线方程是y21.3 已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FMMN_.答案1【详细分析】由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.即FMMNMHMNFOAF1.4 过双曲线1(a0，b0)的右焦点F，作圆x2y2a2的切线FM交y轴于点P，切圆于点M,2，则双曲线的离心率是_答案【详细分析】由已知条件知，点M为直三角形OFP斜边PF的中点，故OFOM，即ca，所以双曲线的离心率为.5 抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的

6、点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于_答案【详细分析】抛物线C1的标准方程为x22py，其焦点F为，双曲线C2的右焦点F为(2,0)，渐近线方程为yx.由yx得xp，故M.由F、F、M三点共线得p.6 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_答案2【详细分析】建立关于m的方程求解c2mm24，e25，m24m40，m2.7 椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且12的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是_答案，【详细分析】设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则1(cx，y)

7、，2(cx，y)，12x2y2c2.又x2y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.8 椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1【详细分析】由直线方程为y(xc)，知MF1F260，又MF1F22MF2F1，所以MF2F130，MF1MF2，所以MF1c，MF2c，所以MF1MF2cc2a.即e1.9 已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段

8、PQ上，则PQF的周长为_答案44【详细分析】由双曲线C的方程，知a3，b4，c5，点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且PQQAPA4b16，由双曲线定义，PFPA6，QFQA6.PFQF12PAQA28，因此PQF的周长为PFQFPQ281644.10已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则PMPN的最小值为_答案7【详细分析】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1PF210，从而PMPN的最小值为PF1PF2127.二、解答题11平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，

9、且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则11，得0.因为1，设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0x0，即y1y2(x1x2)所以可以解得a22b2，即a22(a2c2)，即a22c2，又因为c，所以a26，所以M的方程为1.(2)因为CDAB，直线AB方程为xy0，所以设直线CD方程为yxm，将xy0代入1得：3x24x0，即A(0，)，B，所以可得AB；将yxm代入1得：3x24mx2m260，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则C

10、D，又因为16m212(2m26)0，即3mb0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)由P在椭圆1上，得1，又e，得a24c2，b23c2，代入得，c21，a24，b23.故椭圆方程为1.(2)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得，(4k23)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2.k1k22k2k2k2k1.又将x4代入yk(

11、x1)得M(4,3k)，k3k，k1k22k3.故存在常数2符合题意13已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点的抛物线x24y的焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标；(3)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆C的方程为1 (ab0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1 (k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得32(6k3)0，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.(3)若存在直线l1满足条件，则直线l1的斜率存在，设其方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，所以8k1