初三数学二次函数知识点总结及经典习题

1、第二章二次函数一、二次函数概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （a, b,c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0,而b, c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22 .二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x

2、 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.22. y ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .2 ，,，一3. y a x h的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h

3、时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0.a 0问卜h , 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0.24. y a x hk的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h , kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k .三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k ,确定其顶点坐标h , k ； 保持抛物线y ax2的形状不

4、变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下:y=ax2y=a (x-h)2+k向上（k0）【或下（k0）【或左（h0）或左（h0）【或向下（k y=ax 2+ k平移|k|个单位向上（k0）【或下（k0）【或左（h0）】平移|k|个单位2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减,h值正右移，负左移;上加下减”k值正上移，负下移四、二次函数2 axbx c的比较从解析式上看,2 axbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y ab2a4ac4ab2a4ac b24a六、二次函数y2 axbxc的性质1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为b2a顶点坐标为b2a24a

5、c b4a2时,2a2时,2ay随x的增大而减小;y随x的增大而增大;2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为b2a顶点坐标为b2a4ac b24a2y随x的增大而增大；当x 2时，y随x的增大而减小；当x 9时，y有最大值4ac b 2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1 . 一般式：y ax2 bx c （a, b , c 为常数，a 0）； 22 .顶点式：y a（x h） k （a, h, k为吊数，a 0）;3 .两根式（交点式）：y a（x xi）（x x2） （a 0, %, x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的

6、二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a 当a 0时，抛物线开口向上， a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下， a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.2 . 一次项系数b3.常数项c当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b为0对称轴为y轴）y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标

7、为负.y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当b24ac 0时，图象与x轴交于两点A为，0 , Bx2, 0（xix2）,其中的x1 ,加是一元次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.当 0时，图象与x轴只有一个交点；当 0时，图象与x轴没有交点.1当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何

8、实数，都有 y 0 ；2当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 .22.抛物线y ax bx c的图象与y轴一te相交，交点坐标为 （0, c）；、选择题1.二次函数yA.(2, 11)2.把抛物线y二次函数对应练习试题x2 4x 7的顶点坐标是B.(2, 7)C.(2, 11)D.(2, 3)2x2向上平移1个单位,得到的抛物线是（A. y 2(x 1)2 B.y 2( x1)2 C. y2x2 1 D.2x2一一，ok3.函数 y kx k 和 y (k x4.已知二次函数y ax2 bx c（a当x 1和x 3时，函数值相等；4a确的个数是（）A.1个0）在同一直角

9、坐标系中图象可能是图中的（）0）的顶点坐标（-1B.2 个 C. 3,-3.2 ）及部分图象（如图）,5.已知二次函数-2y ax bx c(a由图象可知关于二次方程2axbx c 0的两个根分别是 X11.冲口 X2A. 1 . 3B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数2.ax bxc的图象如图所示，则点 作。耻）在（C.第三象限7.方程2x x22的正根的个数为xA.0个B.1C.2个.8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y x2B.2C. y xD.x 2 或 y x2 x 2二、填空题9.二次函数ybx 3的对称轴是

10、x2,则b10 .已知抛物线y=-2 (x+3) 35,如果y随x的增大而减小，那么 x的取值范围是 .11 . 一个函数具有下列性质：图象过点(一 1, 2),当Xv0时，函数值y随自变量x的增大而增 大；满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。12 .抛物线y 2(x 2)2 6的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐标轴所围 成的三角形面积为。13 .二次函数y 2x2 4x 1的图象是由y 2x2 bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个 单位得到的，则b=,c=。14 .如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M

11、处5米的地方，桥的高度是 L兀取3.14).三、解答题:515 .已知二次函数图象的对称轴是x 3 0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-).第15题图(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？1 C16 .某种爆竹点燃后，其上升图度h (米)和时间t (秒)符合关系式h v0t gt2 (0tw2),其2中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以 V0=20米/秒的初速度上升，(1)这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内

12、，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由17 .如图，抛物线y x2 bx C经过直线点A、B,此抛物线与X轴的另一个交点为(1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使 S的坐标。y x 3与坐标轴的两个交C,抛物线顶点为D.APC ： S ACD 5 : 4 的点 P18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再 进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经 营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素，每

13、售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售彳介为x (元)，该经销店的月利润为 y (元).(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出 x的取值范围)；(3)该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y与提出概念所用的时间x(分)之 间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0 x 30).(1)当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时， 学生的接受能

14、力逐步减弱？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少?(3)第几分钟时，学生的接受能力最强?2、如图，已知 ABC是一等腰三角形铁板余料，其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在4ABC 上截出一矩形零件 DEFG使EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少？3、如图，4ABC中,/B=90 ,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发，问经过几秒钟4PBQ的面积最大？最大面积是多少？4、如图，一位运动员在距篮下 4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行 的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的 距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25米处出手，问：球出手时, 他跳离地面的高度是多少.5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡