9年级培优专题09特殊与一般

1、关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!专题09 特殊与一般二次函数与二次方程阅读与思考二次函数的一般形式是 y ax2 bx c a 0 ,从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于x的二次三项式，若令 y=0,则得ax2 bx c 0这是一个关于x的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为：1 .当0时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有两个不同的交点，设为A（x1, 0）, B（x2, 0）,其中x1，x2是方程两相异实根,AB.b2 4ac-；2 .当 0时，方程有两个相等实数根，抛物线与x轴只有一个交点；3 .当 0时，方程没有实数根，抛物线与 x

2、轴没有交点.由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化,是解相关问题的常用技巧.例题与求解【例1】（1）抛物线y ax2 bx c与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,若 ABC是直角三角形,（全国初中数学联赛试题）（2）为使方程x2 2、§x 1b有四个不同的实数根，则实数b的取值范围为解题思路：对于（1）, ABC为直角三角形，则 A, B两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定 理解题，对于（2）,作出函数图象，借助图象解题.【例2】设一元二次方程x2 2kx 6 k 0的根分别满足下列条件：两根均大于1；一根大于1,另一根小

3、于1;两根均大于1且小于4.试求实数k的取值范围.解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象 找制约条件.物理小宇宙一个有深度的公众号关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!【例3】如果抛物线yx2 2 m 1 x m 1与x轴交于A, B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a, OB的长是b,(1)求m的取值范围；(2)若a:b 3:1,求m的值，并写出此时抛物线的解析式；(3)设(2)的抛物线与y轴交于点C,抛物线的顶点是 M,问：抛物线是否存在一点 P,使得 PAB 面积等于 BCM的面积的8倍？若存在，求出 P点

4、坐标，若不存在，请说明理由.(南京市中考试题)解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口.【例4】 设p是实数，二次函数 y x2 2 px p的图像与x轴有2个不同的交点 A x1,0 , b x2,0 .(1)求证：2 Pxi x； 3p 0 ；(2)若A, B两点之间距离不超过 2 P 3 ,求p的最大值.(全国初中数学联赛试题)解题思路：根据题意，方程x2 2px p 0有两个不同的实数根 x1，x2,于是 0,综合运用判别 式、根与系数关系、根的方程、不等式来解.物理小宇宙一个有深度的公众号关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!【例5】是否

5、存在这样的实数 k,使得二次方程x2 2k 1 x 3k 20有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定 k的取值范围；如果没有，试述理由.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函 数交点在2与4之间，k应满足的条件，借助函数图象解题.【例6】设m , n为正整数，且 m 2 .如果对一切实数t,二次函数y x2 3 mt x 3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t n ,求m , n的值.(全国初中数学联赛试题)解题思路：由x2 3 mt x 3mt 0,得x13,x2 mt,由条件得 mt 3 2t

6、 n ,因此不等式对任意实数t都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解.能力训练2.2 ,1 .已知二次函数 y 2x 4mx m的图象与x轴有两个交点 A,B,顶点为C,右4ABC的面积为4、12 ,贝U m= . 22 .把抛物线y 3 x 1向上平移k个单位，所得抛物线与 x轴相交于点A(x1, 0)和B(x2, 0),已知物理小宇宙一个有深度的公众号关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!2226 F （杭州市中考试题）Xi X2，那么平移后的抛物线的解析式为923 .抛物线y ax bx c a 0的图象如图所本.（1）判断abc及b2 4ac的符号：2abc 0 , b 4ac

7、0；（2）当OA OB时，a,b,c满足的关系式为 第3题图第4题图第6题图4,已知二次函数y ax2 bx c的图象过（-1, 0）和（0,-1）两点，则a的取值范围为 2_5 .若关于x的方程2x 3x m（黑龙江省中考试题）0的一个根大于-2,且小于-1,另一个根大于2且小于3,则m的取值范围是（）99一一A. mB. 14 mC. 9 m 5 D. 14 m 288（天津市竞赛试题）6.设函数y x2m 1 x 4 m 5的图象如图所示，它与 x轴交于A, B两点，且线段 OA与OB的长的比为1:4,则m的值为（）A. 8B.-4C. 11D. -4 或 1127,已知二次函数 y a

8、xbx c与x轴相交于两点 A（x1，0）,B（x2,0）,其顶点坐标为Pb 4c b22,4AB= X x2 ,若S apb 1 ,则b与c的关系是（,2，一A. b4c10一2一C.b4c40,2，一B. b4c 1 02-D. b4c 4 0物理小宇宙一个有深度的公众号关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!(福州市中考试题)8.设关于x的方程ax2a 2 x 9a 0有两个不等的实数根x1 , x2,且x1 v 1 v x2,那么a的取值范围是（）22A. a752B. a -522cC. a D. a 0711（全国初中数学竞赛试题）29.已知二次函数 y x(1)求证：不论 m取任

9、何实数，此函数的图象都与 x轴有两个交点，且两个交点都在 x轴的正半轴上；(2)设这个函数的图象与 x轴交于B, C两点，与y轴交于A点，若 ABC的面积为48,求m的值.(徐州市中考试题)1 2310.已知抛物线 y -x-mx 2m交x轴于 A( x1，0), B(x2, 0),交轴于 C点，且 小<0<*2,22AO BO 2 12CO 1(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使/ APB为锐角？若存在，求出 P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.(武汉市中考试题)1 2211.已知抛物线y -x 3mx 18m m与x轴父于A(x1，0),

10、 B(x2, 0)(xiX2)两点，与y轴交 8于点C(0, b),。为原点.(1)求m的取值范围.1(2)若m ,且OA OB 3OC ,求抛物线的解析式及 A, B, C的坐标；8(3)在(2)情形下，点 P, Q分别从A, O两点同时出发(如图)以相同的速度沿 AB, OC向B, C 运动，连接PQ与BC交于M,设AP=k,问：是否存在 k值，使以P, B, M为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求所有 k值；若不存在，请说明理由.(黄冈市中考试题)物理小宇宙一个有深度的公众号关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!12.某商品的进价为每件 40元，售价为每件50元，每个月可卖出21

11、0件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖 10件（每件售价不能高于 65元），设每件商品的售价上涨 x元（x为正整数），每 个月的销售利润为 y元.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（武汉市中考试题）B级21 .已知抛物线y x 2mx m 7与x轴的两个交点在（1,0）两为则 m的取值氾围为_«2 .设抛物线y x2 2a 1 x 2a 5

12、的图象与x轴只有一个交点，则a18 323a 6的值为 4.（全国初中数学联赛试题）3 .设m是整数，且方程3x2 mx 2 0的两根都大于9而小于-,则m=.57（全国初中数学联赛试题）24.已知抛物线y x kx 1与x轴的正万向相交于 A, B两点，顶点为C, ABC为等腰直角二角形，则k =物理小宇宙一个有深度的公众号关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!5.如图，已知抛物线 y xpx q与x轴交于A, B两点，交y轴负半轴于 C点，/ACB=90° ,且11OA OB226 .已知抛物线y x kx k 1,(1)求证：无论k为何实数，抛物线经过 x轴上的一定点；(2)

13、设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A(x1, 0), B(x2, 0),两点，且满足：x1Vx2, x1x2 ,如果有，求出其坐标.S ABC 6 .问：过A, B, C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由,(武汉市中考试题)7 .已知抛物线y x2 px q上有一点M x0,y0位于x轴下方.(1)求证：已知抛物线必与x轴有两个交点 A(x1 , 0), B(x2 , 0),其中x1Vx2；(2)求证：Xi < Xo < x2;(3)当点M为(1, -2)时，求整数x1，x2.(学习报公开赛试题)8 .随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林

14、专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例的关系，如图1所示；种植物理小宇宙一个有深度的公众号关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图 2所示(注：利润与投资量的单位：万元)(1)分别求出利润yi与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以 8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润 是多少？图1图2. , 29 .已知以x为自变量的二次函数 y 4x 8nx差的平方等于关于 x的方程x2 7n 6 x 2(n3n 2,该二次函数图象与 x轴两个交点的横坐标的1)(5n

15、4) 0的一整数根，求n的值.(绍兴市竞赛试题)10 .如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2, 0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120° , 得到线段OB.(1)求点B的坐标；(2)求经过A, O, B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC周长最小？若存在，求点出 C的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在 x轴的下方，那么 PAB是否有最大面积？若有，求 出此时P点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由.(深圳市中考试题)物理小宇宙一个有深度的公众号关注公众号：物理小宇宙获得更多学习资料!211 .如图1,抛物线y ax bx 3经过两点A (-3, 0), B (-1, 0)两点.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为 M,直线y 2x 9与y轴交于点C,与直线OM交于点D,现将抛物线平移，保持顶点在直线 OD上，若平移的抛物线与射线CD (含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；(3)如图2,将抛物线平移，当顶点至原点时，过 Q(0, 3)作不平行于x轴的直线交抛物线于 E, F两 点，问在y轴的负半轴上是否存在点 P,使得 PEF的内心在y轴上？若存在，求出点