南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题11：直线与圆、圆与圆

1、第3页共14页专题11:直线与圆、圆与圆问题归类篇类型一：圆的方程一、前测回顾1 .经过三点 A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0)的圆的方程为 .2 .一个圆经过椭圆x6+y4-=1的三个顶点，且圆心在 x轴上，则该圆的标准方程为 .3 .已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+ 1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆 C的标准方程是.答案：1. x2+y26x 2y+5 = 02. (x±3) 2+y2 = 25；3.x+( 2+ y -2=124339二、方法联想求圆的方程方法1:三点代入圆的一般方程x2+y2+Dx + Ey+ F=0,求解D、E、F.方法2:三

2、角形两边的垂直平分线交点为圆心.方法3:直角三角形外接圆的直径为斜边.优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法 3;若只涉及圆心，可用方法 2;方法1 可直接求出圆心和半径.三、归类巩固*1 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 C(t, 2)( tC R, tw。)为圆心的圆过原点 O,直线2x+ y4=0与圆C交于M,N两点，若 OM = ON,则圆C的标准方程为 .利用直线OC与已知直线垂直求出圆心，利用线圆位置关系舍一解答案：(x2)2+(y1)2=5.*2 ,在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个 交点的圆记为

3、 C,则C的方程是 .(三点代入圆的一般方程x2+y2+Dx+ Ey + F = 0,求解D、E、F;设而不求法求外接圆方程)答案：x2 + y2+2x( b+1) y+b= 0*3 ,已知圆O: x2+y2 = 4,点M(4,0),过原点的直线(不与x轴重合)与圆。交于A, B两点，则4ABM 的外接圆的面积的最小值为 .(求外接圆半径的最值)答案：25兀4类型二：直线与圆相切问题一、前测回顾1 .过点P(1 , 0)作圆C:(x4)2+(y2)2 = 9的两条切线，切点分别为A、B,则切线方程为 切线长PA为;直线AB的方程为.2 .经过点A(4, 1),且与圆：x2+y2+2x-6y+5

4、=0相切于点B(1 , 2)的圆的方程为 .3 .圆C1：x2+y2=16与C2：(x- 4)2+(y+ 3)2= r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r =.答案:(1) x= 1 或 5x+12y5= 0; 2; 3x+ 2y-7=0. (2) (x3)2+(y1)2=5. (3)3、方法联想相切问题(1)位置判断：方法1:利用d=r；方法2：在已知切点坐标的 情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直.(2)如图，在 RtA PAC 中，切线长 PA = PC2-R2；当圆外一点引两条切线时，(1)P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为直径；(2)两圆的方程相减

5、可得切点弦的直线方程.(3)PC为/ APB的平分线，且垂直平分线段AB.三、归类巩固* 1 .在平面直角坐标系 xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx y2m1 = 0(mC R)相切的所有圆中， 半径最大的圆的标准方程为 .(已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值；或者紧扣直线过定点解题)答案：(x-1)2 + y2=2.* * 2.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C: x2+(y3)2=2,点A是x轴上的一个动点，AP, AQ分别切圆C于P, Q两点，则线段PQ的长的取值范围是 .(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)、2-答案：-

6、 14,2 2) 3* *3 .已知圆M: (x- 1)2+(y1)2=4,直线l: x+y6=0, A为直线l上一点.若圆 M上存在两点B,C,使得/ BAC = 60° ,则点A横坐标的取值范围是 .(ZBAC最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题 )答案:1, 5*4.平面直角坐标系 xOy中，点P在x轴上，从点P向圆Ci: x2+(y3)2=5引切线，切线长为 d1， 从点P向圆C2： (x5)2+(y+4)2=7引切线，切线长为d2,则d1+d2的最小值为 .(求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题)答案：5 2解：设点P(x, 0),则d1 = x2+ ( 3

7、)2 5, d2= yj(x 5)2 + 42 7, d1 + d2 = .x2+ 4 + .(x-5)2+ 9,几何意义：点 P(x, 0)到点M(0, 2), N(5, 3)的距离和.当M, P, N三点共线时，d1 + d2有最小值5V2,此时P(2, 0)类型三：直线与圆的相交问题一、前测回顾1 .已知过定点P(1,2)的直线l交圆O：x2 + y2=9于A, B两点，若AB = 4/2,则直线l的方程为 ;当P为线段AB的中点时，则直线l的方程为 .2 .已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(一1, 4)的最长弦和最短弦分别为 AC和BD,则四边形ABCD的面积为

8、.答案：1.x= 1 或 3x4y+5 = 0; x+ 2y-5=0. 2.30;二、方法联想相交弦问题直线与圆的位置关系判断方法：代数法和几何法.(1)圆心角0、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式.& Lee.9 L 8如：(2)2+d2=R2, d = Rcos-, 2= Rsin-.(2)相交弦的垂直平分线过圆心.(3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直.三、归类巩固*1.直线l1： y=kx+3与圆C:仅2)2+83)2=4相交于M, N两点，若MN>2<3,则k的的取值范围是.(已知弦长范围，求参数取值范围)答案:-喙密3 3 J

9、*2.过点P( 4,0)的直线l与圆C: (x1)2 + y2 = 5相交于A,B两点，若点A恰好是线段PB的中点，则直 线l的方程为.(已知弦的性质，求直线方程)答案：x ±3y+4 = 0*3.已知直线l： mx+y+3m <3=。与圆x2+y2=12交于A, B两点，过A, B分别作l的垂线交x轴于C, D 两点，若 AB=23,则 CD =.(已知弦长，求直线方程及有关量的取值)答案：4*4.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 Ci： (x+1)2+(y6)2=25,圆 C2： (x17)2+(y30)2=r2若圆 C2上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆 Ci依次交

10、于点A, B,满足PA = 2AB,则半径r的取值范围是(已知两弦长关系求参数范围问题)答案：5, 55类型四：圆上点到直线或点的距离问题一、前测回顾1 .已知实数x,y满足x2+y2=4,则(x3)2+(y4)2的范围是 .2 .圆C: x2+(y2)2=R2(R>0)上恰好存在2个点，它到直线y=43x2上的距离为1,则R的取值范围 为.答案：1. 9, 49 ; 2. 1 VRV 3.二、方法联想A圆上的点到直线的距离(1)当直线与圆相离时，( C )圆上点到直线距离，在点A处取到最大值d+R,在点B取到最小值d-R. 一(2)当直线与圆；在圆外时，圆上的点到点的最大距离是d+R,

11、最小距离是d-R. B(1)当点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是R-d.圆上的点到点的距离(1)当已知点在圆外时，圆上点到已知点距离最大值d+R,最小值d-R.(2)当已知点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是 R-d.三、归类巩固*1.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.答案：(13, 13)(已知圆上点到直线距离求参数范围)*2.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C的方程为(x 2)2+(y1)2= 5 ,圆C与y轴交于点O,B,其中O 为原点.设P为直线l:x+y+

12、2 = 0上的动点，Q为圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点 P的坐标.答案：PB+PQ的最小值为245，此日P点坐标为(2 -2)33考查点圆距离与点线距离的综合问题类型五：两圆的位置关系问题一、前测回顾1 .已知圆 C1： x2+y22mx+ 4y+m25=0 和圆 C2： x2+ y2+ 2x- 2my+ m2- 3 = 0,若两圆相交，实数m的取值范围为.2 .已知圆 Oi : x2 + y2 4x 2y 4=0,圆 O2 : x2 + y2 6x + 2y +6=0,则两圆的公共弦长度 为.答案：1. 5vmv2 或1 vm<2;2. 4.、方法联想两圆位置关系问题位直大

13、系d与门，r2的关系公切线条数外离d > 门 + r24外切d =1 + r23相交|r1一 r21V d v1+22内切d =1 一 r2|1内含0< d< |r1 2|0两圆相交问题(1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程.(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦.两圆相切问题两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点.三、归类巩固*1.若两点A(1, 0), B(3, 25)到直线l的距离均等于1,则直线l的方程为.(转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段A B平行和过线段 A B中点两种情况)答案：y3x y +2 3= 0 或y3* y 2 3 = 0

14、或 x J"3y +1 = 0 或 x 2=0.*2.在平面直角坐标系 xOy中，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9,直线l： y=kx+3与圆C相交于A, B两点，M为弦AB上一动点，以 M为圆心，2为半径的圆与圆 C总有公共点，则实数 k的取值范围 为.(已知两圆位置关系，求参数取值范围).、3答案：3, + 8)4*3.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆O: x2+y2=1, O1： (x-4)2+y2 = 4,动点P在直线x+43yb= 0上，过P分别作圆O, 01的切线，切点分别为A, B,若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实 数b的取值范围是.(已知两圆切线

15、长的关系，求参数取值范围)答案:(-20,4) 3综合应用篇一、例题分析例1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C上一点P (。，V2)到椭圆C的右焦点的距离为V6.* (1)求椭圆C的方程；且M为CD的中点，求4MAB的面积的取值范围.* (2)过点P作互相垂直的两条直线 11, 12,且11交椭圆C于A, B两点，直线12交圆Q于C, D两点，解：(1=1(2)记4MAB的面积为S,当直线li的斜率不存在时，可求得S= 4.1,、一,当直线 li 的斜率存在时，设为 k(kw0),则 li:y= kx+y2, l2：y= qx+ 正 设 A(xi, yi), B(x2, y2) 由84得(1

16、+ 2k2)x2+4Wkx4= 0 ,kx+y2xi+ x2=一1 + 2k2'xix2=一4i + 2k2第5页共i4页AB=g=福2鲁2i又圆心Q(2, q2)到l2的距离di = , 2 < V2，得k2>i：i + k2又MP LAB, QMXCD,所以M点到AB的距离等于 Q点到AB的距离，设为d2,即J2一避+避 2国小 + k2h + k2所以 MAB面积S= 1| AB|d令 t=2k2+i C (3, 十刃，4. 53，4)，综上，MAB面积的取值范围为(435, 4.R教学建议1(i)问题归类与方法：1 .相交弦问题直线与圆的位置关系判断方法：代数法和几

17、何法圆心角e、弦长l、半径r和弦心距d中三个量可以建立关系式.L如：(2)2+d2=R 2, d = Rcos2, 2= Rsin-.相交弦的垂直平分线过圆心.2 .直线与椭圆的位置关系3 .换元法求函数的最值(2)方法选择与优化： 本题计算面积时求高的方法不同，导致解题的繁简程度不同，答案中巧妙的运用圆的几何性质避开求 M点坐标，也可以利用勾股定理求高 PM JPQ2 MQ2,MQ即是点Q到PD的 距离，此题也可以设直线 PD的斜率为k,简化PM的形式.例2.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知 Ai、A2、Bi、B2是椭圆C#+ y2= i(a>b>0)的四个顶点, a b A

18、iBiB2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.* (i)求椭圆C及圆M的方程;(2)若点D是圆M劣弧A7B2上一动点(点D异于端点Ai、B2),直线BiD分别交线段 AiB2、椭圆C于 点E、G,直线B2G与AiBi交于点F. * (ii)试问：E、F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.* * ( i )求普的最大值；EB i解：（1）由题意知，B2（0, 1）, A1（-73, 0）,所以b= 1, a=木, x2所以椭圆C的方程为+ y2 = 1.易得圆心M 3所以圆M的方程为C A 2_J0 ， A1M = Q ，3X +坐 +y2 = 3.(2)设直

19、线B1D的方程为,3y = kx- 1 k<- -3-，与直线A1B2的方程y = 9+1联立，解得点3E43k+1 V3k-1),y= kx 1,联立x22_1消去y并整理，得3 '(1 + 3k2)x2-6kx = 0,解得点G之不3km， 338(i )r-61GB1 |xgJ_ 3k2+ 11 _ 3k2 ,3k3k+ 13k2 + 1EB1 |xe|2.33k-1|13k2+ 1=1 +(3k +1)+(小k+ 1)22<1+2；fc )当且仅当k=-也+12，6+ 33时，所以需的最大值为受1EB123k2- 13k2+ 1（11）直线B2G的方程为y=r1x+

20、1 = -3x+1,3k2+ 1 3与直线A1B1的万程y= "3-x1联立，解得点F6kJ3k+ 1(V3k-1' V3k- 1)所以E、F两点的横坐标之和为-6k2V3 +亚1 V3k-故E、F两点的横坐标之和为定值，该定值为-R教学建议1（1）问题归类与方法：-=-273 1,2.3.3第16页共14页1 .求圆的方程方法1:三点代入圆的一般方程x2+y2+Dx + Ey+F=0,求解D、E、F.方法2:三角形两边的垂直平分线交点为圆心.方法3:直角三角形外接圆的直径为斜边.2 .联立两直线方程求交点坐标3 .共线或平行的弦长比转化为坐标之比4 .利用基本不等式求函数最

21、值(2)方法选择与优化：(1)问中求圆的方程方法 1与2都可以，考虑到正三角形直接求重心即圆心，得圆标准方程比较快些，本问椭圆易错成“a =2”；(2)问中斜率k的范围易错，以斜率 k为自变量时，利用基本不等式求函数最值，或者导数法.也可以借助椭圆参数方程设G(43cosa , sin a )H-< a V兀)，上面的方法中的 k= kGB =孚上，最后警=21 3C0SaEB1*sin( a - -) + 1sin a cos a +14 '形式比较简洁，此法也可以参考=22例3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x2 + y2 = 1 ,如图，动直线l : y k1x 立

22、 交椭圆E于A,B两 22. 汨点，C是椭圆E上一点，直线 OC的斜率为k2,且kk2 %,M是线段OC延长线上一点，且4MC|：|AB| 2:3 , eM的半径为|MC , OS,OT是eM的两条切线，切点分别为 S,T .求 SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.解：设 A(x1, y1),B(x2, y2)+ y2= 12,联立方程3y=kx 2得(4k2 + 2)x2 43k1x 1=0,由题意知4> 0,且x+ X2= 2乜3k1 ,2ki+ 11 x1x2= 2,2(2ki+ 1)所以 |AB| = 1 + k21 x1-x2| =亚"+黑 1由题意可知圆M

23、的半="”2由题设知k1k2="2,所以k2=44k1因此直线oc的方程为y=42x.联立方程x2C+ y2= 12近得*y= A. x4k18k21 + 4k2'2=：1 + 4k2因止匕 |OC| =A/x2+y2=1 + 8k21+4k2由题 sin/SOM =rr+OC1 + OCr/l + 8k231V1 + 4k2 25W + kyi + 8k222k2i 132k2+12 v4k2 + 1 2k2+2>32k±J= 3 八2(4k2+ 1)+(2k2+2) 2 3 2当且仅当4k2+ 1 = 2ki+ 2即k1 = ±当 取等

24、当 = 1 时，(sin / SOM)max= 2 , y=sinx 在(0,万)上单调增，(/SOT)max="6兀(/ SOT)max= 3综上/ SOT最大值为3 ,取得最大值时直线l的斜率为 号.R教学建议1(1)问题归类与方法：1 .相切问题如图，当圆外一点引两条切线时，在RtA PAC中.PC为/ APB的平分线，且垂直平分线段 AB.2 .直线与二次曲线的弦长公式.3 .利用换元法或基本不等式法等求函数最值.(2)方法选择与优化：求函数最值时可以通过换元法令t= 1 + 2k2(t> 1)最终化为OC = 3r 2此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常

25、数法求最值。例4.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆方程为 Z + y2 = 1,圆C： (x1) 2 + y2=r2.* (1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值;* (2)如图，直线l与椭圆相交于 A、B两点，且与圆C相切于点M,若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围.解：(1) PCmin 著(2)当AB的斜率不存在与圆 C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有两条;xi2卜 yi2=1当AB的斜率存在时，设A(xi, yi), B(x2, y2), M(xo, yo)由x22卜 y22=1两式相减得匕士 灶空=一1即kAB 皿=一1,由题可知直线 MC的斜率肯定存在，

26、且kMC=y0-,又xi x2 xi + x24xo4xo 1MC _L AB ,则 kAB =- 所以 y-= - -, xo = ：,因为 M 在椭圆内部，则 -+ yo2< 1yoyo xo434,o< y2房,所以 r2= （xo 1）2 + yo2 = ：+yo2 C （：,刍，故半径 r C p）. 999 333R教学建议1（1）问题归类与方法：1 .直线与圆相切问题方法1：利用d = r；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直.2 .直线与椭圆有两交点位置关系判断方法1:联立方程组利用4> o ;方法2:弦中点在椭圆内部（2）方法选择与

27、优化：中点弦问题转化为点差法解决，也可以用设直线+ 4k2）x2+8kmx+4m24 =。（*）,利用韦达定理得M(4km m4k2+1' 4k2+1)AB为y = kx+m联立椭圆得(1 ,. /口4k2 +1 ,由MCAB得m =一由3k(*)4>o得m2<4k2+ 1 ,将m=_4k2±l代入解得k21 ,所以r=:+向二)十。e (二 血).()3k5 'Vk2Ti 3 yk2 3 3 )二、反馈巩固* 1 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C的圆心在第一象 邛艮，圆C与x轴交于A（1,。），B（3, o）两点，且 与直线xy+1=o相切，则圆C

28、的半径为.答案：取 （考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系）* 2 .设m R,过定点 A的动直线x+my=o和过定点B的动直线 mx-ym+3=o交于点P（x, y）, 则PA PB的最大值是.答案：5 （考查直线过定点问题，基本不等式求最值）* *3 .在平面直角坐标系xOy中，圆C： x2+y28x+15=。，若直线y=kx 2上至少存在一点，使得以该点为 圆心，1为半径的圆与圆 C有公共点，则k的最大值是 .答案：4（考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离）3* 4 ,过点P（1, 3）向圆x2 + y2 = 2的作两条切线 PA, PB, A, B为切点，则/ APB的正切值等于 .答

29、案：4 （考查直线与圆相切的性质，切线长的计算，二倍角的正切公式）3* 5 .已知直线x+ 3y-7=o, kxy2=o和x轴、y轴围成四边形有外接圆，则实数 k=.答案：3 （考查两直线位置关系，圆的几何性质） *6 .设P,Q分别为圆 /+（丫6）2=2和圆（乂 6）2+y2=8上的点，则P, Q两点间的最大距离是 答案：9/2 （考查圆的几何性质，解析几何中的最值问题）*7.过圆x2+y2=4内一点P（1,1）作.两条相互垂直的弦 AC, BD,当AC=BD时，四边形 ABCD的面积为答案：6（考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离）*8.在平面直角坐标系 xOy中，已知点P是直线l：

30、y=x2上的动点，点 A,B分别是圆。：（x+3）2+（y 1）2=4和圆G: x2+（y3）2=1上的两个动点，则 PA+PB的最小值为 .答案：q73 3.（考查点与圆的距离问题，点关于直线的对称问题） *9.在平面直角坐标系 xOy中，已知直线y= x+1与x轴，y轴分别交于 M,N两点，点P在圆（xa）2+y2=2上运动，若/ MPN恒为锐角，则实数 a的取值范围是 .答案：(00, 1 ")U(" 1) +)（考查两圆的位置关系）*10.已知点 A（0, 2）为圆 M： x2+y22ax 2ay=0（a>0）外一点，圆 M 上存在点 T 使得/ MAT =4

31、5 则实数a的取值范围是 .答案： 十一1Wav 1 解析：点 A（0 , 2）在圆 M： x2+y2-2ax-2ay=0（a>0）外，得 4-4a>0,则 av1.圆 M 上存在点 T 使得/ MAT=45° ,则患W=<22,即 AM W2a,（a2）2+a2W4a2（a>。），解得m1wa. 综上，实数a的取值范围是431Wa<1.（考查了点与圆的位置关系，两点之间的距离，一元二次不等式解法等内容）* *11.已知圆C: （x-2）2+y2=4,线段EF在直线l: y=x+1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A, B,使得FAPBW

32、0,则线段EF长度的最大值是 .答案： 加 （考查直线与圆的位置关系，解三角形，向量的数量积，两点间距离 ）* *12在平面直角坐标系 xOy中，A, B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点.若 以AB为直径的圆与圆x2+ （y2/=1相外切，且/ APB的大小恒为定值，则线段OP的长为 .答案：43 （考查两圆的位置关系，定值问题处理方法）* *13 .设集合 A=(x, y)|121< (x-2)2+y2< m2, x, yCR, B=(x, y)|2m<x+ y< 2m+1, x, yC R,若 AABw则实数m的取值范围是 .答案：2,

33、2+2（考查集合的含义，直线与圆的位置关系，不等式表示的平面区域及综合分析问题的能力）* 14.如图，在直角梯形ABCD中，AB± AD, AD=DC = 1, AB=3,动点P在以点C为圆心，且与直线 BD相切的圆内运动，设 AP = a AD + 3 AB （ “，3 C R）,则“ + 3的取值范围是答案：(i, 5)3(考查建系法解决向量问题，圆的标准方程，线性规划解决线性问题等等，本题也可以用向量的等和线解决范围a + 3问题)*15.在平面直角坐标系 xOy中，圆C:x2+y2=r2,点A(3, 0), B(0, 4),若点P为线段AB上的任意点,在圆C上均存在两点 M、

34、N,使得PM=MN,则半径r的取值范围 答案：3,玦(考查圆的定比分点问题，垂径定理，勾股定理，方程组有解，不等式恒成立问题)16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0, 3),直线l: y=2x- 4,设圆C的半径为1,圆心在l上.x*若圆心C也在直线y=x1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；* (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.答案：(1)y= 3 或 3x+ 4y- 12= Q;(2)a的取值范围为0, 12.(考查直线与圆相切问题，求轨迹方程问题，两曲线交点问题及圆与圆位置关系问题)17.如图，在平面直角坐标系 XOY中，已知点A(-3, 4

35、), B(9, 0), C, D分别为线段OA, OB上的动点, 且满足AC=BD.1 (1)若AC=4,求直线CD的方程;2 * (2)证明： OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).解(1):因为 A(-3, 4),所以 OA = - (-3) 2+42 =5.因为AC=4,所以OC=1,所以C -3, 4 . 5 5由 BD = 4,得 D(5, 0),4051所以直线CD的斜率为 5y=-7,5- -51所以直线CD的万程为y=- 7(x-5),即x+ 7y- 5=0.(2)证明：设 C(3m, 4m)(0<mW1),则 OC=5m.贝U AC=OA-OC=5-5m,因为 AC =

36、 BD ,所以 OD = OBBD= 5m+4,所以D点的坐标为(5m+4, 0).又设 OCD的外接圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F = 0,F = 0,则有 9m2+16m23mD + 4mE+F = 0,(5m+ 4) 2+ (5m+4) D+F = 0,解得 D = (5m+4), F=0, E=10m3,所以 OCD的外接圆的方程为 x2+y2(5m+ 4)x (10m+3)y=0, 整理得 x2 + y24x3y5m(x+2y)= 0.令 x2+y2-4x- 3y=0,得 x=°,(舍)或 x=2, x+2y= 0,y= 0y= 1.所以 OCD的外接圆恒过定点为(

37、2, 1).(考查直线的方程，圆的方程，圆过定点问题)18.如图，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，离园区中心 。点5 km处有一中转站 P,现准备在园区内修建一条笔直公路 AB经过中转站，公路 AB把园区分成两个区域.* (1)设中心O对公路AB的视角为“，求”的最小值，并求较小区域面积的最小值；* (2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与 AB垂直的笔直公路 CD,求两条公路长度 和的最小值.解：(1)如图1,作OHLAB,设垂足为 H,记OH = d, a=2/AOH, 因为cos/ AOH = ，要使“有最小值，只需要 d有最大值，结合图象可得dWOP=5 km,当且

38、仅当ABLOP时，dmax= 5 km.此时 omin=2/AOH =2X 5"=2. 33设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S,根据题意可得 S= f( a芋S扇形一 Saaob = 50( a sin a ),f' ( a芋50(1cos a )>0恒成立，f( a力增函数，所以 Smin= f= 50 23乎 km2(8 分)答：视角的最小值是 2j,较小区域面积的最小值是50 23L 23 km2.(2)如图2,过O分别作OHAB, OH11CD,垂足分别是 H, Hi,记 OH = d1，OH1=d2,由(1)可知di" 5,所以 d2 + d2=OP2 = 25,且d2=25 d2.(10 分)因为 AB = 2100-d2, CD = 2.100-d2,所以 AB + CD = 2(100d2 + 100 d2)= 2(=100 d2 + 5+d2), (11 分)记 L(d1)= AB+CD = 2(1100 d2+Y75+d2),可得 L2(d1)=4175+2/(100d2) (75 + d2),由 d2C 0, 25,可得 d2