(整理)求导法则及求导公式.

1、精品文档§ 2 求导法那么上一节我们讲述了导数的相关知识 ,要求大家：深刻理解导数概念 ,能准确表达其定义； 明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程 ；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数白区别和联系 ；明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学 会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上白导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲给了一个函数不管它是简单函数,还是复杂函数,总可用定义求其导数 只要极限存在 但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比拟繁琐的

2、.试想对根本初等函数的导数计算用定义求导都如此繁琐 ,对一般的初等函数更是不可想象 .因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数 .在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：f1(x) = sin x cosxg1(x) = sin 2xf2(x) = sin x cosxg2(x) =sin(ax),、 cosx,、fa(x) = ga(x) = arcsin xloga xf4(x) = csin xg4(x) = arccosx、导数的四那么运算问题 1 设 f (x) =sin x 士cosx,求 f '(x)

3、.分析 利用导数的定义及极限的四那么运算知,f'(x) =cosx不sinx = (sinx)'±(cosx)'.即(sin x 一 cosx)' = (sin x)' - (cosx)'一般地,有如下和的导法那么：定理1 (和的导数)设f(x) , g(x) 在x点可导,那么f(x)±g(x)'=f'(x)士g'(x)(求导是线性运算)证实令 y(x) = f (x)+g(x)y _ f (x ：x) g(x x) -f (x) g(x)二 xLx=f (x x) f (x) g(x x) g(x)x

4、xt f'(x) +g'(x)当 Axt 0 时.问题 2 设 f (x) =sin x ax,那么 f'(x) = (sin x)'(ax)' = cosx ax ln a对吗？精品文档精品文档分析 一般地,有如下乘积的求导法那么：定理2 (积的导数)设f( g(x x)g(x), g(x)在x点可导,那么f(x),g(x)r=f (x),g(x)+ f(x),g'(x)(它导它不导,它不导它导,然后加起来) 证实令y(x)= f(x)g(x).：y _ f(x：；x) g(x lx) - f (x) g (x)lxlx(分子-f (x) g(

5、x + Ax) + f (x) g(x + Ax)= f(x：x) f(x) g(x x)f(x)g(x x)-g(x)xxT f (x) g(x) + f (x) g'(x)当 Axt 0时.推论1(u(x)v(x)w(x)'(x0) =u'(xo)v(x0)w(x0) u(xo)v'(xo)w(x0) u(xo)v(x0)w'(xo).推论2假设函数v(x)在x0知可导,C为常数,那么(cos(x)'xB0 =C v'(x0).x a 问题 3 设 f (x)=,求 f' (x).loga x一般地,存如下商的运算法那么：定理

6、3 (商的导数) 设f(x) , g(x)在x点可导,那么f (x); f (x) g(x) - f (x) g (x) _g(x)g2(x)y(x) =1-证实令g(x)X 1-Jx x g(x lx) g(x)推论g (x) g2(x)f(x) g(x)当Axt 0时.=f (x)g(x)给出(3).cf (x) =cf (x)(2)nn.'fi(x)1-fi(x)_ i 1i 1g(x x) - g(x) 1 -精品文档9._xe sin xy =1 tgx2x in x.f (x) = x3 -sin x cosx ；f (x) = x2 cosx ;23f (x) = x x

7、 x cosx ;一、 5sin x 3tgxf(x)；x精品文档口 fi(x) =£ Kk(x),Kk(x) = fi(x)fk'(x)fn(x)(3)j k I.:.利用导数的四那么运算法那么举例.例 1f (x) = x3 +5x2 9x 十冗,求 f'(x), f'.例 2y =cosxlnx,求 y' xw 例 3 证实：(x)'=nx,nw N例 4 证实：(tan x)'= sec2 x, (cot x)'= csc2 x.例 5 证实：(secx)'= secxtan x, (cscx)'=csc

8、xcot x .利用导数的四那么运算法那么求导数举例:21. f (x)= x sin x；223. f (x) =2x ；45. f (x) = xsin x 7x;67. f (x) = x2 sin x In x ® ; 8 x、反函数的导数问题 1 设 f (x) =arcsin x,求 f'(x).定理4设*=9丫在区间c,d上连续,严格上升,在yo三c,d点可导,且 中yo.0, X.=中义.那么反函数y= fx在X.点可导,且一、 11"二二二：fxo注 假设x=*y在Gd可导,导数0或0,那么反函数y=fx存在,且f7x邛y叫 fx%y y=fx这里

9、导数0或0可推出*y 严格上升下降,反函数之导数公式也可写成精品文档精品文档dy =定理的证实要证limx_x)dxf(x)- f(xo)x - xo存在,注意到这个比式是函数g(y)=y -y(o(y) - (y0)y = f(x)的复合,由定理条件知limyYof(x) - f(x.)(y)- (yo)=limyyo再由反函数连续性,XT X.时,yTlimx jxof(x) - f(x.)x -x.x =log a(a )',也可求(a 0, ax -(a )=Y(logax)=0(、,'y=x,求y .：(y)(y0)y-y.:(yo)yo,由复合函数求极限定理得lim

10、 g f (x) = lim g(y)x_.x0y wo(Yo)(log a y)y=axlogaey =ax=ax ln a,反过来,如果(ax)' x=logay axlnac：Tn x _ -“ _ a ： In X y - ey 一exy = arcsin x 求 y x =sin y(arcsin x)(siny)logaey=arcsinxcos(arcsinx)1 -x2例 9 y = arccosx,求 y .例 1o 丫=融&9乂,求丫.精品文档精品文档三、复合函数的导数问题 1 设 f(x) =sin2x,求 f'(x)；2).设 f (x) = s

11、in(ax),求 f'(x)；3),设f (x) =x"求 f'(x).定理5设f (u.)与g'(x.)存在,u.=g(x.),那么复合函数F(x) = fg(x)在x0点可导,且 F d)=f g(x.) g(xo)注 假设f (u)的定义域包含u = g(x)的值域,两函数在各自的定义域上可导,那么复合函数F(x) = fg(x)在 g(x)的定义域上可导,且 F'(x) = f g(x) g'(x) (怀中抱月)或dy dy du,-, r -yx = yu Ux,dx du dx .定理的证实定义函数fuA(u) =u -uo、f (

12、Uo), u =u0.Alim A(u) = A(Uo) = f (Uo)A(U)在U0点连续,uT0由恒等式,f(u)- f(Uo) =A(u)(U -u.),我们有F(x) -F(Xo) fg(x) - fg(xo)g(x) -g(x.)=Ag(x)x x.x - Xox - Xo令xt x.,得 F (x.)= f g(x.) g'(xo).我们引进A(u) 是为了防止再直接写表达式F(x) -F(Xo) f (u) - f (Uo) g(x)-g(x.)=x - X.u - U.x - X.中当x Ox.时,可能会出现 u=u.情况.例 1 y = V1X2,求 y'.

13、解y =1(1 -x2)2 (1 -x2)12 2=:(1 -x ) (-2x)2x=,°.1 - x2精品文档精品文档八一 2-例 2 y =sinx,求 y .2,22解 y = cosx (x ) = 2 x cos x,.3 、例 3 y =sin(sin x ),求 y .3 3 3 2 3 3解 y = cos(sin x ) cosx (x ) = 3x cosx cos(sin x )2例 4 y=ln(x+d1+x ),求 y .解(x 1 x2)2 1 x2y =-x J x2 x . 1 x2y =ln |x|,求 y1.11解 x >0时,x； x；0

14、时,y =(1n(-x)=q( - x)M.1(In |x|) 时,x .例 6 y =lnsin(2x),求 y2 g、 2cos(2x)y 二cos(2x)二sln(2x)sln(2x)四、隐函数微分法F x,y 0假设可微函数y yx足方程Fx,y0,那么其导数可以从dx求出.一个方程Fx,y =o何时能唯一决定一个可微函数y = yx,留待日后解决,现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题 .222例7 x +y =a,求过点x., y.y.亡0的切线方程.222,、解 对方程x +y =a求导,心中记住y = yx是x的函数,得2x 2y y =0y x = -

15、x y,/、 y (xo)=在(xo, yo)占上 I,八、一I,y0,过x0,y.切线方程为x0y - y.= -(x xo)y.22xx0 yy0 = x° y即 xxo+yy0=a2.精品文档精品文档五、对数微分法我们结合例子研究对数微分法y = j-x a>0 v,例81xa,求y.解 函数定义域和入取对数.3, , , 1, ,ln y = - ln | x | 一一 ln | x -a |22,两边对y 3 111 2x -3a= =y =y(x)求导,采用隐函数微分法,得y 2 x 2 x-a 2x(xa),所以2x -3a x3y 二2x(x - a) x -

16、a.例 9 y =uv, u =u(x), V =v(x),求 y.y . ,1.v ln u v - u解 取对数,得1n y =v 'lnu ,两边求导,得 yu ,y = y ( " v ln u ); uv(vu- v ln u )uu如 y =xx, y' -xx1 ln x 六、双曲函数及其反函数之导数y = shx = 2(ex -e.y = ch x = 2(ex e/)性质=th x=cth xshxch xchxshxch2x -sh2x = 1,2, 2ch x sh x = ch 2xsh2x = 2shx ch xsh(x 二 y) = sh

17、x ch y - ch x sh y ch(x - y) = ch x ch y - sh x sh y1 -th2x =-12 ch x21icosH + i sin H = ea 一一目8s口 i sin 口 = e1 - cth x = 一 sh xshx chx = ex chx -shx = e.(sh x) = ch x(ch x) = shx精品文档精品文档(th x) 一 ch x反双曲函数Arshx = ln(x1x2)1chArsh x,1(Arsh x)= .,(shy)' y= Arshx1 x1 -xArch x不是单值函数 ,可选一个分支来研究1,Arth x = ln21(Arthx)小结一、二、根本求导法那么1 . (u 土v)'= u'土v'2(uv)'= u'v+uv', (cu)' = cu'；c ,u、, u'v - uv' , 1、,13( )2,( ) =2 ；4vvvv.反函数导数dy=曳包 dx du dx、根本初等函数导数公式1. (c)'=0；2. (x:)' = ：x：4 ("三 R);3. (sin x)'= cosx, (cos x)'=-sin x ；224.