最新中考数学：几何综合题

1、几何综合题(旋转为主的题型)典题探究例1已知：如图，点 P是线段AB上的动点，分别以 AP、BP为边向线段 AB的同侧作正 APC 和正 BPDD AD和BC交于点 M.(1)当 APC和 BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和/ AMC勺度数；(2)将点P在线段AB上随意固定，再把 BPD按顺时针方向绕点 P旋转一个角度a,当a <60 ° 时，旋转过程中，/ AMC勺度数是否发生变化？证明你的结论.(3)在第(2)小题给出的旋转过程中，若限定60° <a<120° , / AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出/ AMC勺度数

2、变化范围；若不变化，请写出/AMC的度数.C/工 w DA' F 、日J/'X-.例2探究：(1)如图1,在正方形 ABCD中，E、F分别是 BG CD上的点，且/ EAF= 45 ° ,试判断 BE、DF 与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ;(2)如图 2,若把(1)问中的条件变为“在四边形 ABCD中，AB= AD, / B+/ D= 180° , E、F分别是边BG CD上的点，且/ EAF=- Z BADJ，则(1)问中的结论是否仍然成立？若成立，请2给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当

3、点分别 E、F运动到BG CD延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证 明.例3已知： ABC ADEM两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC DA=DE联结EC取EC的中点M联结BMW DM(1)如图1,如果点 D、E分别在边 AG AB上，那么 BM DM的数量关系与位置关系(2)将图1中的 AD彘点A旋转到图2的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明 理由.例 4 在 YaBCD 中，A DBC,过点 D 作 DE DF ,且 EDF ABD ,连接 EF,EG Z P分别为EC, BC的中点，连接 NP(1)如图1,

4、若点E在DP上，EF与D防于点M试探究线段 NP与线段NM勺数量关系及ABD与 MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；(2)如图2,若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在(1)中得到的结论仍然成立，写 出你确定的点 M的位置，并证明(1)中的结论.P cB P C国1国2-14 -五、演练方阵A档(巩固专练)1 . (1)如图1, ABCCDETB是等边三角形，且 B、G D三点共线，联结 AD BE 相交于点P,求证： BE = AD.(2)如图2,在BCDK /BC氏120° ,分别以 BG C» BD为边在 BC/卜部作等边三角形 ABC等边三角形 CDE和等

5、边三角形 BDF联结 AD BE和CF交于点 P,下列结论中正确的是(只填序号即可)AD=BE=CF / BECh ADC / DPEh EPCW CPA=60° ；(3)如图2,在(2)的条件下，求证： PB+PC+PD=BEF2 .已知：AD 2 , BD 4 ,以AB为一边作等边三角形 ABC使C D两点落在直线 AB的两侧. (1)如图，当/ ADB=0°时，求 AB及CD的长；(2)当/ AD嚷化，且其它条件不变时，求 CD的 最大值，及相应/ ADB勺大小.3 .如图， ABC中，/ ACB=90° , AD=AC,AB=ANB结 CD BN,CD的延

6、长线交 BN于点 F.(1)当/ ADN等于多少度时，/ ACE之EBF,并说明理由；(2)在(1)的条件下，设/ ABC= , / CAD =,试探索 、满足什么关系时， ACEAFBE,并说明理由.4 .在ABCt3, AB=4, BC=6, / AC囱30° ,将 ABC点B按逆时针方向旋转，得到ABG.(1)如图1,(2)如图2,(3)如图3, 的过程中，点当点C在线段CA的延长线上时，求/ CCA的度数;连接AA, CC.若4 点E为线段AB中点, P的对应点是点 Pi,CBC的面积为3,求 ABA的面积； 点P是线段AC上的动点，在 ABC绕点 直接写出线段 EP长度的最

7、大值与最小值.B按逆时针方向旋转图35 . 问题1:如图1,在等腰梯形 ABCD, AD/ BC A&BGCD点M, N分别在 AQ CD上，若/1MBN- / ABC试探究线段 MN AM CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证2明；问题2:如图2,在四边形 ABC附，AB=BC / ABG/ADG180 ° ,点 M, N分别在 DA CD1的延长线上，若/ MBN，/ ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN AM CN又有怎样的数2量关系？写出你的猜想，并给予证明.6.如图，四边形ABCD、AB1C1D1是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形.其中，正方形A

8、B1c1D1可以绕中心O旋转，正方形ABCD静止不动.(1)如图1,当D、DBB四点共线时，四边形 DCCiDi的面积为(2)如图2,当D、DP A三点共线时，请直接写出CD1DD1,请借助图3证明你的猜想.(3)在正方形ABC1D1绕中心O旋转的过程中，直线 CC1与直线DD1的位置关系是B档(提升精练)1.如图， ABC中，/ ACB 90 , AC 2,以AC为边向右侧作等边三角形ACD .(1)如图24-1,将线段AB绕点A逆时针旋转60 ,得到线段 AB1 ,联结DB1 , 则与DB长度相等的线段为 (直接写出结论)；(2)如图24-2 ,若P是线段BC上任意一点(不与点C重合)，点

9、P绕点A逆时针旋转60 得到点Q,求 ADQ的度数；(3)画图并探究：若P是直线BC上任意一点(不与点C重合)，点P绕点A逆时针旋转60 得到点Q,是否存在点P ,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是梯形，若存在，请指出点P的位置，并求出 PC的长；若不存在，请说明理由.畚用图2.如图1, ABC是等腰直角三角形，四边形上，此时 BD=CF BD± CF成立.(1)当正方形 ADEF绕点A逆时针旋转8备用图ADEF是正方形，D、F分别在AB AC边(0°90° )时，如图 2, BD=CF成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.(2)当正方形 ADEF绕点A

10、逆时针旋转45°时，如图3,延长BD交CF于点G.求证：BD± CF;当AB=4, AD=旧时，求线段BG的长.(1)如图1,点C、D分别在边OA OB上，连结AOB COD 90AD BC点M为线段 BC的中点，连结 OM则线段 AD与OM之间的数量关系是 ,位置关系(2)如图2,将图1中的 CODg点O逆时针旋转，旋转角为a (090 ).连结ADBG点M为线段BC的中点，连结 OM请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若 成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,将图1中的 ACO瞰点。逆时针旋转到使 COD勺一边ODf合好与 AOB勺边OA在同一条直线上时

11、，点 C落在OB上，点M为线段BC的中点.请你判断(1)中线段AD与OM之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明./ B=90。，将一块等腰直角三角板的直角顶点4.在 Rt A ABO, AB=BCO放在余4边AC上，将三角板绕点O旋转.(1)当点。为AC中点时，如图1,三角板的两直角边分别交AB, BC于E、F两点，连接EF,猜想线段AE CF与EF之间存在的等量关系(无需证明)； 如图2,三角板的两直角边分别交AB, BC延长线于E、F两点，连接EF,判断中的猜想是否成立.若成立，请证明；若不成立，请说明理由;延长线交于点F,角的另一条边与 CB的延长线交于点 E,连接EF.(

12、1)若四边形 ABCD为正方形，当/ EAF=45°时，有EF=DJ BE.请你思考如何证明这个结论(只思考，不必写出证明过程)；1 ,，(2)如图2,如果在四边形 ABC叶，AB=AD / ABC之ADC=90 ,当/ EAF= / BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式(只需写出结论)；1 ，(3)如图3,如果四边形 ABCD中，AB=AD / ABC与/ ADC互补，当/ EAF= / BAD时，EF与2DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明.(4)在(3)中，若BC=4, DC=7, CF=2,求 CEF的周长(直接写

13、出结果即可).C档(跨越导练)1.已知：正方形 ABCD中， MAN 45°,绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB DC(或 它们的延长线)于点 M N.(1)如图1,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN .当 MAN绕点A旋转到BM DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予 证明，如果不成立，请说明理由；(2)当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段 BM , DN和MN之间有怎样的等量关 系？请写出你的猜想，并证明.2. 如图，已知四边形 ABC熊正方形，对角线 ACBD0交于O(1) 如图1,设E、F分别是 AD AB上的点，且/ EO

14、=90° ,线段 AF、BF和EF之间存在一 定的数量关系.请你用等式直接写出这个数量关系；(2)如图2,设 E F分别是AB上不同的两个点，且/ EOI=45。，请你用等式表示线段 AE BF 和EF之间的数量关系，并证明.茗1S 23. 问题：如图1,在RtA ABC中， C 90 , ABC 30 ,点D是射线CB上任意一点， ADE是等边三角形，且点D在 ACB的内部，连接BE探究线段BE与D叱间的数量关系. 请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明(1)当点D与点C重合时(如图2),请你补全图形.由 BAC的度数为 ，点E 落在，容易得

15、出BE与DE之间的数量关系为；(2)当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与 (1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.4. 在 ABC中，AB=AC / BAC= (060 ),将线段 BC绕点B逆时针旋转60°得到线段Bd直接写出/ ABD的大小(用含的式子表示)；/ BCE=150 , / ABE=60° ,判断 ABE的形状并加以证明;(1)如图1,(2)如图2,(3)在(2)的条件下，连结 DE,若/ DEC=45 ,求 的值5. 在 ABC中，BA BC, BAC , M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺

16、时针旋转2得到线段PQ(1)若 且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线 BM于点D ,请 补全图形，并写出 CDB的度数；(2)在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线与射线 BM交于点D ,猜想CDB的大小(用含的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B, M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线 BM交于点D ,且PQ QD ,请直接写出的范围几何综合题(旋转为主的题型)参考答案典题探究例11 , 60°不变化.证明：如图，点 E在AP的延长线上, /BPE=a <60° ./ DPA之 CP

17、D+60 , / BPC之 DPA.在 BPCA DPA中， 又 BP=DP PC=PA . BPC DPA. / BCP=/ DAP. / AMC=180 - / MCP-Z PCA-Z MAC=120 ° - / BCP -/MAC= 120° - (/DAP吆 MAC -/PCA = 120° - / PAC=60 ° ,且与a的大小无关 .不变化，60°例2探究：(1)通过观察可知，EF= BE+DF.(2)结论EF= BE+DF仍然成立(如图 2)证明：将AADF绕点A顺时针旋转，使 AD与AB重合，得到 ABF ',.ADF

18、 ABF',./1 = /2, AF'=AF, BF '=DF. /ABF'=/D_ _ 1 ，又EAF=- /BAQ 即/ 4=/2+/3.24=/ 1 + / 3.又ABO / D=180° , /ABF'+/AB E=180° ,即：F'、B、E共线. 在 AEF与 AEF中，AF AF ,413,AE AE . AE阵 AEF '中，EF=EF ',又 EF '=BE+ BF ',即：EF= BE+DF.(3)发生变化.EF 、 BE、DF之间的关系是 EF= BE-DF.证明：将 AD

19、F绕点A顺时针旋转，使 AD与AB重合，点F落在BC上点F'处, 得到 ABF ',如图3所示. AD0 ABF ', ./B AF' = /DAF , AF'=AF, B F ' =DF.一 _ _ 1又EAF=-/BAR 且/ B AF'=/DAF 2.F'AE=/FA E.在 F9£与4 FA E中AF AF , F AE FAE,AE AE.F 'A乒 FA E.EF=EF ',又 BE= BF ' + EF ', EF ' =BE- BF '.即 EF= BE-

20、DF.例 3 解：(1) BIUDMM BML DM(2)成立.理由如下：延长 DM至点F,使 Mf=MD联结 CR BF、BD易证 EMEi CMFED=CF / DEM/ 1.AB=BC AD=DE 且/ ADZAB(=90° , /2=/3=45° , / 4=/5=45° .BA®/2+/4+/6=90° +/6./ 8=360° -/5-/7-/1, / 7=180° - / 6-/ 9,.Z 8=360° -45 ° - (180° - / 6-/ 9) - (/3+/9) =360

21、° -45 ° -180 ° +/6+/9- 45 ° -/9 =90° + /6 ./ 8=/ BAD又 AD=CF. .AB* A CBF BD=BF, / ABa/ CBF ./ DBF=Z AB(=90° . Mf=MD. BM：DMS BML DM .例 4 解：(1) NF=MN /ABC+/MNP180(2)点M是线段EF的中点(或其它等价写法). 证明：如图，分别连接BE CF四边形ABC四平行四边形，AD/ BC AB/ DC / A=/ DCB . AB&Z BDC /A=/DBC /DBC/DCBDB=D

22、C / EDF= / ABD / EDF= / BDC / BDCZ EDC= / EDF-Z EDC 即/BDE=/CDF 又DE=DF,由得 BD国A CDFEB=FC / 1 = /2.N P分别为EC BC的中点，1 .NP/ EB NP=- EB .21 同理可得 MN/ FC, MN FC .2NP= NM NP/ EB ./ np(=/4./ ENR=Z NCP/ NPG/ NCR/ 4.MIN/ FC / MNE/FC£/3+/2=/3+/ 1. / MNP/ MNE/ ENP/ 3+/ 1 + / NCP/ 4= / DBG/ DCB180 - / BD0180 -

23、 / ABDZ ABD+ ZMNF=180 .A档(巩固专练)五、演练方阵1 .(1)证明：. ABC CDEIB是等边三角形 BGAC CE=CD /ACB/DC=60°BC叵 / ACD.BC9 ACD(SASBE=AD(2)都正确(3)证明：在 PE上截取PgPC联结 CM 由(1)可知， BC昌 ACD(SAS ./ 1 = /2设CD< BE交于点G,在 CGEF口 PG阱 / 1 = /2, / CG=/ PGD./DPG /ECG60° 同理/ CPE=60°.CPM等边三角形 CP=CM / PMC60° / CPB / CME12

24、0。/ 1 = /2, .CP" A CME(AASPD=MEBE=PBbPMME:PBPGPD即 PB+PC+PD=BE2.解：(1)过点A作AG BC于点G . / ADBi§0 ° , AD 2 , DG 1, AG 73, GB 3,AG .3 tan ABG ， BG 3 ABG 30o , AB 2,3, ABB等边三角形，DBC 90o, BC 2/3 ,由勾股定理得：CD . DB2 BC2(2)作 EAD 60o,且使 AE. AED等边三角形，AE AD , EADAABCM等边三角形，AB AC , BAC EAD DAB即 EAB DAC

25、,. EA挛 DACAD ,连接 ED EB60°,60°,BAC DAB ,EB=DC.当点E、D、B在同一直线上时，EB最大, EB 2 4 6,CD的最大值为6,此时 ADB 120o.3.(1)解：当/ ADN于 90 度时，/ ACE之 EBF. 理由如下： /ACB之 ADN =90° , ABC和 AND均为直角三角形又. AC=AD AB=AN . ABC AND / CAB士 DAN / CAD力 BAN又 / ACDiDC, /ABN之 ANB . / ACD= / ABN 即 / ACE之 EBF (2)解：当 2 时， AC® F

26、BE.在AACD中，AC=ADACD180 CAD21802904.ABC1BAB 4 2BC 6 3 ABA GBCSAA|BASAC1BCSAC1 BC3 ,图2在 RtAABC中，BCE 90 ,/ ACD吆 BCE=90 ,即 90ABC=, . / ABC=/ BCECE=BE由(1)知：/ ACE=/ EBF,又 / AEC= BEF. AC® FBE解：(1)如图1,依题意得： AiCEJa acb.BC=BG / ACB =ZC=30° ./ BCC= /C=30° .,-Z CGA = 60 ° .(2)如图 2,由(1)知： AGA

27、A ACBAB = AR BG= BG / ABC = / ABC一 Saa. ba .35.1.(3)线段ER长度的最大值为 8, ER长度的最小值 解：(1)猜想的结论：MNAMCN.(2)猜想的结论：MNC*AM证明：在 NC截取 CF= AM连接BF. /ABG/AD(=180° ,/ DABZ C=180°又. /DAB/MAB180。，/ MAB/ C.-12 -6.即:1.AB=BC AM=CF, AM四 CFB/ABM/CBF , BgBF. / ABM+ / ABF= / CBR/ ABF 即 / MBF= / ABC /mbnI/abq2 / MBN1

28、/ MBF2即/ MBN/ NBF又. BN=BNBMBF, AMBNi FBN MN=NF.NF=CNk CF, MNCNk AM.1. . _斛：(1)Sb边形 Dcc1D1 = 2 (15) 2=6；汨=4；DDi 3(3) CC1DD1.证明：连接 CO,DO,C1O,D1O ,延长CC1交DD1于M点.如图所示：由正方形的性质可知：CO DO, CiO DiOCODC1OD1 45oCODCiODCiODiCiOD ,即：COCi DODiCOCif DODiODDi OCCiQ CiCDOCCiCDO 90oCiCDODDiCDO 90oCMD 90oCCi DDi.B档（提升精练

29、）解： BC（2 由作图知 AP AQ, / PAQ 60. ACD是等边三角形.AC AD , CAD 60 PAQ PAC QAD在 PAC和 QAD中AP AQPAC QADAC ADPAC QAD-i17 - . ADQ ACP 90ADQ ACP 90(3)如图3,同可证4 PAC QAD ADC 60 , QDC 30一以图3 CD AC 2 , CQ 1, DQ /，. PC DQ <3 且 CQ AD .此时四边形 ACQD是梯形.如图4,同理可证4 PAC 9匕QAD , ADQ ACP 90当 AQ II CD 时， QAD ADC 60 , AQD 30 AD AC

30、 2 ,AQ 4, DQ 273 ,. PC DQ 273此时DQ与AC不平行，四边形 ACDQ是梯形.综上所述，这样的点 P有两个，分别在 C点两侧，当P点在C点左侧时，PC J3 ;当P点在C点右侧时，PC 2点2.(1) BD=CF成立.理由：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，AB=AC AD=A / BAC之 DAF=90° , BAD士 BAO / DAC / CAF=/ DAF / DAG / BAD士 CAF在 BA蹄口 CAF中，AB=AC/BAD =/CAFAD=AF.BA* CAF (SAS .BD=CF(2)证明：设 BG交AC于点M.,BA* C

31、AF (已证)， ./ ABMy GCIM/ BMAy CMG . BMM CMG / BGCy BAC=90BD± CF过点F作FN, AC于点N.在正彳形 ADEF中,AD=DE=f2,aeMaD，DE "AN=FN=AE=1;在等腰直角 ABCAB=4,fcnJN_FCN=CNCN=AO AN=3, BC5日沁近 在 RtAFCN中，tan / 在 RtAABM 中，tan/ABM=5=tan / FCN三杷AM=AB= .CM=AG AM=4 =, . BMN CMG. BI CI 二 .BA-CG4vH S二 g4 CG . cg=H/To5-19 -在RtABG

32、C中，BG寸弥-CGDDONA图33. 解：(1)线段AD与OMfc间的数量关系是 AD =2OM位置关系是 AD OM (2) (1)的两个结论仍然成立.证明：如图2,延长BOBij F,使FOBQ连结CFM为BC中点，O为BF中点，MS BCF的中位线.FC=2 OM ./AOB=/ AOF=/COD90° , / AOD=/ FOC AO = FQ CGDQ . AO等 FOCFGADAD=2 OMMO BCF 的中位线，： MQ CF. / MOB=/ F.又 AAOD 里 AFOC , DAO = F . MOB + AOM =90 , DAO+ AOM =90 .即 AD

33、 OM .(3) (1)中线段AD与OM：间的数量关系没有发生变化 证明：如图3,延长 DC交AB于E,连结 ME 过点E作EN AD于N. OA= OB OC= OD AOB COD 90 , A D B BCE DCO 45 .AE= DE BE= CE, /AEB90° . DN=AN .,.AD= 2NE .M为 BC的中点，EM BC. 四边形ONEME矩形.NE= OM . AD=2OM4.解：(1)猜想：AE2 CF2 EF2.成立.证明：连结OB.AB=BC , / AB(=90° , O点为 AC的中点， OB 1AC OC , / BOC90 °

34、; , / ABG/ BCO45。2/ EOE90。，. / EOB/FOC 又EBG/FCQ. .OE学 A OFC (ASA . BE=CF.又. BA=BCAE=BF.在 RtAEBF中，/ EBF=90° , BF2 BE2 EF2. AE2(2)解：如图，过点 O作OML AB于M, ONL BC于N一 22CF EF .B=90° , . MON90° .EOF90° , EOM/FON EMO/ FNO90 ° , .OMEA ONF. OM OEon- oF AO丽 OC附等腰直角三角形, AOM OCN.-. 0M AO .

35、AOACON OC. OE 1N5.解:OF 3(2) EF=DF-BEDMDAMV BAF=1 / BAD2(3) EF=DF-BE.证明：在DF上截取DM=BE连接AM如图,D+/ ABC之 ABE吆 ABC=180 ,. . / D=/ ABEAD=AB .AD阵 ABE.AM=AEDAMM BAE/1 ,EAF=/ BAE-+Z BAF=- / BAD21 ,MA= / BAD2EAF=/ MAF.AF>A EAF与 MAF的公共边, . EA阵 MAF.EF=MFMF=DF-DM=DF-BE,EF=DF-BEACEF的周长为15.C档（跨越导练）1.解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即 BM证明：如图2,在MB勺延长线上截取 BE=DN连结易证 ABEA ADN （SA0 .AEANQ BADBAM/ EAB=Z NAD90o, NAM 45o,NAD 45oEABEAMAAEMBAM 45oNAM .又AM公共边,白ANM .ME MN .MN即DN(2)猜想：线段MEBMBMBE BM DN BM MN .DN和MN之间的等量关系为:DN BM MN证明:如图3,在DN长线上截取易证 AB