概率论与数理统计课后答案北邮版

1、习题二1将一硬币抛掷三次， 以 X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 试写出 X 和 Y 的联合分布律【解】X 和 Y 的联合分布律如表:012310Cig1113汽8Cfg1丄丄3/8违2 203180011112 2 2 82盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y表示取到红球的只数求X和Y的联合分布律【解】X 和 Y 的联合分布律如表:0123000琢23eg2C；35c；3510c3gc2cp26c3cc2cc212eg2c；35c；35c；352P(0 黑,2 红,2

2、白)=2241c2gc2/c4235c3gc2cp2c；635&成 _3_c；3503设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为)si nxsiny, 0 xn,0 y F (x, y)二220,其他.求二维随机变量（X, Y）在长方形域0 x冗冗46冗y3内的概率【解】如图P0 XnYn公式(3,2)4 63 -n nn nnF(；nF(；nF(0，n冗F(0*6n n n nnnsin-gsinsingsin sin Ogsin sinOgsin-434636(3 i).4说明：也可先求出密度函数， 再求概率。4.设随机变量常数 A;随机变量（X，Y）的分布函数;P0 畝1, 0 今

3、2.(1)确定常数 k;(2)求 PXv1,Y3;(3)求 PX;(4)求 PX+YW4.【解】（,1）由性质有JT题 3 图f (x, y)=Ae(3x 4y)0,x 0,y 0,其他.【解】（1）f (x, y)dxdy00Ae-(3x4y)Adxdy11得（2）A=12由定义,F(x, y)xf (u, v)dudv00,y12e(3u 4v)dudv0(1e3x)(1 e4y) y 0,x 0,0,其他P0 X1,0Y 2P0 X11,0 Y 2212e0(3x 4y)dxdy (1e3)(18e )0.9499.5设随机变量（ X, Y）的概率密度为f(x, y) =k060,x y

4、),x 2,2 y 4,其他.（X, Y）的分布密度求：(1)(2)(3)(2)PX 1,YPX 1.5f (x, y)dxdy0 2k(6Xy)dydx 8k1,313f (x, y)dydx312k(6 x y)dydx38f (x, y)dxdy 如图 a f(x, y)dxdyx 1.51.5dx0P X Y 4X Y 42dxD14127(6 x y)dy .2832f (x, y)dxdy 如图 b f(x, y)dxdyD24 x12(6 x y)dy .83题 5 图X 在（0,）上服从均匀分布,0 26设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,Y 的密度函数为fY(y)5e5

5、y, y 0,0, 其他.求：（1 ） X 与 Y 的联合分布密度;(2)PY 詡题 6 图【解】（1）因 X 在（0,）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为丄fx(x)0.2,0,0 x 0.2,其他.所以fY(y)5e5y0,y 0,其他.f (x, y)X,Y 独立 fx(x)gfY(y)15y5e0.20,25e5y0,0其他.x 0.2 且 y 0,P(Y X)f (x,y)dxdy 如图y x0.2 x5dx 25e- ydy0725e5ydxdy0-1=e7.设二维随机变量（X，Y）D02( 5e5x5)dx0.3679.的联合分布函数为F (x, y)(10,4xe)(1e2y

6、),x 0, y 0,其他.求（X, Y）的联合分布密度【解】f (x, y)2F(X,y)x y8e(4x2y)8设二维随机变量（求边缘概率密度【解】fX（X）fY(y)0,0,y其他.0,X, Y）的概率密度为f （X， y）=f (x, y)dy4.8y(20,x),1,0y x,其他.x04.8y(2 x)dy0,f (x, y)dx1y4.8y(2 x)dx0,2.4x2(20,2.4 y(3 4y0,x),0其他.1,y2), 0其他.y 1,fx(X)f (x, y)dy题 8 图9设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求边缘概率密度yeydx00,y1y=xwpoX题 10 图2

7、cx y,f(x，y)=0,f(x,y)dxdy 如图f (x, y)dxdyD1242cx ydy c 1.x21214f (x,y)=ey0,x y,其他.【解】fx(x)f(x,y)dyfY(y)x0,eydye0,f (x, y)dx0, 其他.ye0,y o,其他.10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为y 1,其他.(1)(2)试确定常数 c; 求边缘概率密度【解】(1)1dx-1题 9 图0,1xfY(y)11.设随机变量(X,求条件概率密度【解】fx(X)所以1212 .x2x ydyx4f (x, y)dxy212 xydxy40,Y)的概率密度为f (x,fYiX(y |

8、 x),f (x, y)dyx1dyx0,fY(y)fYix(y |x)2x,212x80,fxiY其他.(1722y,0,),1 x 1,其他.y 1,其他.x, 0 x 1,其他.(XIy).题 11 图y),|y0,1,f(x, y)dxf(x,y)fx(x)11dxy11dxy0,|y|y,1 y 0,y,0 y 1,2x0, 其他.1,y x 1,i y亠，y x i,i y0, 其他.12.袋中有五个号码 1 , 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X , 最 大的号码为 Y.（1）求 X 与 Y 的联合概率分布；（2）X 与 Y 是否相互独立【解】（1）

9、 X 与 Y 的联合分布律如下表345PX Xi11122336亠3亠310C510C510C510201122310c51010300111210C510PY yi丄2_6_1010106 16 1(2)因PX1gPY 3PX 1丫3,10 10 100 10故 X 与 Y 不独立（2） X 与 Y 是否相互独立fxY(x| y)f(x,y)fY(y)因 PX 2gPY 0.40.2 0.80.160.15 P(X 2,Y0.4),2(2)方程a 2Xa Y 0有实根的条件是(2X)24Y 0PX2Yf (x, y)dxdy15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计) 同一分布，

10、其概率密度为故从而方程有实根的概率为:X2Y,x21e021 厂0.1445.1dx0y/2dy(1) (0)故 X 与 Y 不独立.14.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,fY(y)=X 在(0,1y/2尹,0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为y 0,其他.(1)求 X 和 Y 的联合概率密度；(2)设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0,试求 a 有实根的概率.1,0 x 1,【解】(1)因fX(x)其他；fY(y)1 舟20,y 1,其他.y/2故f(x,y)X,Y 独立 fx(x)gfY(y)i,y0,，并设 X 和 Y 相互独立，且服从1000f( x) = F0

11、,x 1000, 其他.求 Z=XY 的概率密度求其中没有一只寿命小于180h 的概率.X【解】如图,z 的分布函数Fz(z) PZ z P z(1)当 ZW0寸，Fz(z)0(2) 当 0z0 | YX;(2)设 M=maxX, Y，求 PM 0.y题 20 图【解】因（X, Y）的联合概率密度为12 2 22, x y R ,R0, 其他.f(x, y)dy 0y xf(x, y)dy xndx/4R 12rdr0n2V=max(X,Y) 0PU iPmin( X,Y) ii 0,123,f (x, y)(1)PY 0|Y XPY 0,Y XPY X所以 V 的分布律为5n4dn4R 12

12、rdr0R113/831/2 4(2)PM 0 Pmax(X,Y) 01 Pmax(X,Y) 01 PX 0,Y0 1 f (x, y)dx 0y o21.设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0, x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X, Y） 在区域D 上服从均匀分布，求（X，Y）关于 X 的边缘概率密度在x=2 处的值为多少11【解】区域 D 的面积为S於1dx1xf(x,y)In2.（ X,Y）的联合密度函数为120,0（x, Y）关于 X 的边缘密度函数为fx(X)其他.1/x1102dy2?0,1 xe2,其他.y1y2y3PX=Xi=piX1X21/81/8PY=yj

13、=pj1/612【解】因PY yj PjPX x,Y yj,i 1故PY比PX X1,Y yd PX X2,Y yd,从而PX x1,Y242e11所以fX（2） .422.设随机变量 X 和 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处1PX X2,Y V3 PY V3 PX xnY V3-3故y1y2y3PX X P1111X1-2481241313X28844PYyjPj111162323.设某班车起点站上客人数X 服从参数为 入0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p（ 0p1），且中途下车与否相互

14、独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概 率分布.【解】(1)PY m | X nC：pm(1 p)n m,0 m n, n 0,1,2丄PX n,Y m PX ngPY m|X n从而PXX116PX为，丫%124.即：PXX11/1 1246 4又PXX1PXX1,Y力PX X1,Y yj PX1即丄11PX冷丫Y3),4248从而PX1X1,丫y312.同理PYY2)12,PXX2,Yy28311 1又PYVj1，故PYy31 -j162 3.同理PXX234.而 X 与 丫丫独立，故PX Xj

15、gPY yj P X xi,Y yi,从而Xi,Yya,丄 112 4mmn menCnp (1 p) g , n m n,n 0,1,2,L . n!1 224.设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X，而丫丫的概率密度为 f(y),0.3 0.7求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【解】设 F (y)是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为G(u) PX Y u 0.3PX Y u| X 10.7PX Y u |X 20.3PY u 1| X 10.7PY u 2|X2由于 X 和 Y 独立，可见G(u) 0.3PY u 1 0.7PY u

16、20.3F(u 1) 0.7F(u2).由此，得 U 的概率密度为g(u) G(u)0.3F (u 1)0.7F (u 2)0.3f(u 1) 0.7f(u2).于是有设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 因为随即变量服从0 , 3上的均匀分布，PmaxX,Y 1.25.解:因为 X,推得1f(x) 30,Y 相互独立，所以f (x, y)3,f(y)0,x190,3;3,00,y0,x 3,yPmax X,Y193,0 y0, y 0,y3,3.3,3.(2)Z 的概率分布；(3)PX=Z.解(1)由概率分布的性质知， a+b+c+=1即 a+b+c =.由E

17、(X) 0.2，可得a c 0.1.再由PY 0X 0PX，Y0 a bZ 0.5,PX 0 a b 0.5得a b 0.3.解以上关于 a,b,c 的三个方程得a 0.2,b0.1,c 0.1.Z 的可能取值为 2，1，0，1，2，P Z2 PX1,Y1 0.2，PZ1 PX1,Y0PX0,Y10.1，PZ 0 PX1,Y1 PX0,Y0PX 1,Y10.3，PZ 1 PX 1,Y 0PX0,Y10.3，P Z 2 PX1,Y10.1，即 Z 的概率分布为Z21012PPX Z PY 00.1 b 0.20.1 0.1 0.20.4.27.设随机变量 X,Y 独立同分布，且 X 的分布函数为

18、 F(x),求 Z=maxX,丫丫的分布函数.解：因为 X,Y 独立同分布，所以FX(z)=FY(Z)，则FZ(z) =PZWz=PX z，Y z=Px z PYwz=:F(z)21011a00b100.1c设二维随机变量(X, Y)的概率分布为其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)=,PY 0X 0=记 Z=X+Y 求:(1) a,b,c 的值；26.28.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为1PX i , i 1,0,1,31,0 y 1,Y 的概率密度为fY(y)记 Z=X+Y.0,其他.1(1)求PZ2|X 0;(2)求 Z 的概率密度fZ(z)题(1)可用条件概率的公式求解题(2)可先求 Z 的分布函数，再求导得密度函数1PX 0,Y-2PX 013,0,29.设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关,fx(x),fY(y)分别表示 X,Y 的概率密度，求 在Y=y 的条件下,x 的条件概率密度 fxiY(x | y).解：由第四章第三节所证可知，二维正态分布的不相关与独立性等价，所以f(x,y)=2 x y, 0 x 1,0 y 1,f(x,y)0,其他.分析PZ2ix