向量公式汇总

1、向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则 AB+BC=AC 。a+b=(x+x' ， y+y') 。a+0=0+a=a 。向量加法的运算律：交换律： a+b=b+a ；结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。2、向量的减法如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b ，b=-a ，a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作 入a，且I入=I汰丨丨a l

2、?0 I当入乂时，入a与a同方向；当入0时，入a与a反方向；当入=0时，入a=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数 入，都有入a=0注：按定义知，如果 入a=0，那么入=0或 a=0。实数入叫做向量a的系数，乘数向量入a的几何意义就是将表示向量 a的有向 线段伸长或压缩。当I入I 1>时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或反方向（入vO） 上 伸长为原来的I入I倍；当I入I V时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或反方向（入<0） 上 缩短为原来的I入I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（入 a）?b=入（a?b）=（a? 入 b）。向量对于数的分配律（第一分配律

3、）：（入+卩）a=入a+卩a.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.数乘向量的消去律： 如果实数入工（且入a=入b，那么=b。如果a工0且入a=卩a，那么=卩。4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量 b的夹角，记作a,b并规定0 <<a,b > <n定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，贝U a?b=|a|?|b|?cos a，；若 a、b 共线，贝U a?b=+ - la I I I。向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。

4、向量的数量积的运算律a?b=b?a （交换律）；（入a）?b=入（a?b）（ 关于数乘法的结合律（ a+b）?c=a?c+b?c （分配律）；向量的数量积的性质a?a=|a| 的平方。a 丄 b =a?b=0。|a?b|< |a|?|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、 向量的数量积不满足结合律，即：（a?b）?c 工a?（b?c）;例如:（a?b）A2工 aA2?bA2。2、 向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c （a 工0）,推不出C。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b 。5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向

5、量积（外积、叉积）是一个向量，记作a x b。若a、b不共线，则a xb的模是：l a x b I =|a|?|b|?sinb > ; a x的方向是：垂直于a和b，且a、b和a xb按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a x b=0。 向量的向量积性质：I a x b I是以和b为边的平行四边形面积。a x a=0 。a II b = > a x b=0。向量的向量积运算律a x b=-b x a ；（入 a ）x b= X（ a x b） =a x（入 b）；（ a+b ）x c=a x c+b x c.注：向量没有除法，“向量 AB/向量CD”是没有意义的向量的三角形不等式

6、1、i a I- ib I ia+b I <a + i b i ； 当且仅当 a、 b 反向时，左边取等号； 当且仅当 a、 b 同向时，右边取等号。2、I a I - I b I I %-b I <al I + Ib I。 当且仅当 a、 b 同向时，左边取等号； 当且仅当 a、 b 反向时，右边取等号。6. 定比分点定比分点公式（向量 P1P=入?向量P2）设P1、P2是直线上的两点，P是I上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 入，使向量P1P=入?向蚩P2,入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1） , P2（x2,y2） , P（x,y），则有O

7、P=（OP1+入OP2）（1+入）;（定比分点向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+ 入）,y=（y1+入y2）/（1+ 入）。（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2的定比分点公式三点共线定理若0C=入OA +卩OB , 且+卩=1 , A则B、C三点共线三角形重心判断式在ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为AABC的重心编辑本段向量共线的重要条件若b丰0，贝归b的重要条件是存在唯一实数 入，使a=入ba/b的重要条件是 xy'-x'y=O 。零向量0平行于任何向量。编辑本段向量垂直的充要条件a丄b的充要条件是a?b=O。a丄b的充要条件是xx&

8、#39;+yy'=O 。零向量0垂直于任何向量.空间向量I-f令 a=(a i,a2,a3),b (dbg)，则a b (ai bi,a2 匕2忌 b?)(ai,a2 , a3)(R)ab1 a2b2 a3b3共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合a / ba1b-a?b2,a3 b3( R)bi£2b2如果三个向量a, b, c不共面：那么对空间任一向量asb3P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，可编辑使 p xa yb zc.推论：设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存在唯一的有序实数组x、y、z 使 OP xOA y

9、OBzOC （这里隐含x+y+z 丰1.）向量垂直 a ba bi a 2 b 2a3b30。空间两个向量的夹角公式cos a,ba bai bi玄2匕2a3b3|a 1 |b 1 a2 a2 a2 bi2 b孑 b2(a = (ai,a2,a3), b = (42,6)。空间两点的距离公式：2 2 2d(X2 Xi) (y2 yi)(z? zj .利用法向量求点到面的距离 ：如图，设n是平面 的法向量，AB是平面的一条射线，其中A ,则点B到平面 | AB n|的距离为|n|异面直线间的距离uur ind |CD n|(li,l2是两异面直线，其公垂向量为n , C、D分别是hl上任一点，d为 |n|li,l2间的距离)B到平面的距离uui uu rd 1 AB n| ( n为平面 的法向量，AB是经过面