Newton插值多项式课件

1、 本节内容提要本节内容提要|基本思想 |Newton插值多项式的构造 |差商 定义、计算、性质 Newton插值多项式的误差；，：插值多项式以构造项式的存在唯一性，可由插值多，个互异插值节点已知nkiiikiknkkknnxxxxxlyxlxLexxxn0010)()()(Lagrang1基本思想基本思想 缺点：缺点：增加节点时，需要计算增加节点时，需要计算 ，而已得的，而已得的 )(1xLn)(xLn不能被利用；不能被利用；为此我们考虑对为此我们考虑对LagrangeLagrange插值多项式插值多项式进行进行改写改写； 由唯一性，仅是由唯一性，仅是形式上形式上的变化的变化 期望：期望： 作

2、一个简单的修正；的计算只需对)()(1xLxLnn；，从而可由由新增节点可以计算出待定；，的零点是即；，且有的多项式，是次数，则令)()()()()()()()()()(2100)()()(1)()()()(111101110111xLxLaaxxxxxxaxLxLxxxxxxaxhxhxnjxLxLxhnxhxLxLxhnnnnnnnnnnjjnjnjnn；)()()()()()()()()()()()()(110102010110210121101nnnnnnnnnnnxxxxxxaxxxxaxxaaxxxxxxaxxxxxxaxLxxxxxxaxLxL一般一般递推递推得：得：；，；比较点

3、斜式直线方程：；时，有：特别，当01011000010100101)()()()()()()()()(1xxxfxfaxfaxxxxxfxfxfyxxaaxLn 上述修改过的上述修改过的 可看成是由可看成是由点斜式点斜式直线方程往直线方程往 )(xLnn+1个插值点情形的推广，而个插值点情形的推广，而LagrangeLagrange插值多项式是插值多项式是由由两点式两点式直线方程推导而来的。直线方程推导而来的。 注：注： 一、系数一、系数 的确定的确定ka；，取；，取；，取来确定待定系数；，由插值条件；设120101020212020210222120220210220101110110110

4、0000110010)()()()()()()()()()(210)()()()()(xxxxyyxxyyxxxxxxayyayxxxxaxxaaxLxxxxyyayxxaaxLxxyxfaxLxxnjyxLxxxxxxaxxaaxLnnnjjnnnn10101010101010111011101)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(niinknknkiiikinniinnniinknknknniinnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxfxxxxxxxfxxxfxlxfxxxLxLaxxxxxxaxLxLxxxxxxxxaxLxL，取一般，由：La

5、grangeLagrange插值插值插值条件插值条件基函数基函数；nnkknknknkiiikknknkiiikkniinnnknkiiikknkniinnaxxfxxxfxxxfxxxfxxxxxfxxxf010010010101010)()()()()()()()()()()()()( 依此公式麻烦！依此公式麻烦！ 二、差商二、差商1 1、定义：、定义：上的变化率；，在区间；表示，记作的一阶差商；，关于节点为称)()()()(jijijiijijxxxfxxfxxxfxxxfxf；，记作：的二阶差商，关于节点的均差为，称一阶均差ikjikjkjikjikjjixxxxfxxfxxxfxxx

6、xfxxfxxf)(；，阶差商，有阶差商的均差为一般，称011021101xxxxxfxxxfxxxfnnnnnn注：为统一记号，规定：注：为统一记号，规定： ；)(iixfxf称为零阶差商称为零阶差商类比：类比：导数：导数：差商：差商：；000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx；，ijijjixxxfxfxxf)()(2 2、差商的计算、差商的计算,3,2,10321032132332102122101100 xxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfxxkk三阶差商二阶差商一阶差商零阶差商列差商表列差商表列出差商表；，已知：11014)(76421kkxfx

7、1801121610174607412116365210423121410四阶三阶二阶一阶kkxfxk解一：解一：例：例： 1801912121174607535316365340423121410四阶三阶二阶一阶kkxfxk解二：解二：可见，求各阶差商是方便的，且可见，求各阶差商是方便的，且 ，100 xxfxf，210 xxxf位于位于差商表的对角线差商表的对角线上。上。3 3、性质、性质；的线性组合阶差商可表为即；，)()()()()(1010010knkknknknkiiikknxfnxxfxxxfxxxf证明：证明：（归纳法）（归纳法） ；，时)(000 xfxfn；，；，时成立，即

8、设11111210010)()()()(mkmkiiikkmmkmkiiikkmxxxfxxxfxxxfxxxfmn)()()()(11001111010110121110mkmkiiikkmkmkiiikkmmmmmxxxfxxxfxxxxxxxfxxxfxxxfmn，时，有：则)()()()()()()()(1100101111101miimkmkiiikkmkiiikkmiimmmxxxfxxxfxxxfxxxfxx得证。，10101100111100)()()()()()()()(mkmkiiikkmkmkiiikkmiimmmiixxxfxxxfxxxfxxxf)(11010101x

9、xxxxxxxxxkmkmkmk通分：通分： 注：注： ；，10nnxxxfa 对称性对称性差商与节点的排列次序无关；（差商与节点的排列次序无关；（线性组合线性组合） 因而当增加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可！因而当增加节点时，只需在差商表的末尾加上一行即可！差商定义差商定义亦可变成：亦可变成：；，202110212010210 xxxxfxxfxxxxfxxfxxxf；，有：则，个节点阶可导，且上，在若)(!)(1)(2)(10banfxxxfbaxnnbaxfnnk。，；即，至少有一个零点个互异零点；至少有个互异零点；至少有个互异零点，由有；即：，由于，；令，其中；)(!)(0!)

10、()()(0)()()(1)()(1)(100)()()()()()()()()(10)()()()()(10110010banfaxxxfanfLfRbaxRnxRnxRThRollenxRnkxRxLxfxRxxxfaxxxxxxaxxaaxLnnnnnnnnnnnnnknnnnnnnn证明：证明：三、三、NewtonNewton插值多项式插值多项式1 1、定义：、定义：)()()()()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN， 称为称为 次次NewtonNewton插值多项式插值多项式 n插值多项式；次求，给定数据：Newtonxfxk

11、k411014)(76421；：插值多项式为，则有见上例先求差商表)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65) 1(34)()(4xxxxxxxxxxxNNewton例：例： 解：解： 2 2、余项：、余项： ；)(!) 1()()()(1)1(xnfxNxfnnn带余项的带余项的NewtonNewton插值公式插值公式 ；，的任意性，可得：由；，从而：其中；，则有：，增加节点，；得，已知互异节点)()()()()()()()()()()()()(1101101110110 xxxxxfxNxfxxxxxxfxNxfxfxNxxxxxfxNxNxbaxxNxxxn

12、nnnnnnnnnnnn；，阶连续导，则：上有，在若)(!) 1()()()(!) 1()(1)(1)1()1(10 xnfxNxfnfxxxxfnbaxfnnnnn比较可知，比较可知， 与与 的确只是的确只是形式上的不同形式上的不同， 注：注： NewtonNewton插值多项式便于计算，而插值多项式便于计算，而LagrangeLagrange插值插值多项式多用于理论推导。多项式多用于理论推导。)(xNn)(xLn性质性质2 2例：例：( (上例中上例中) )插值余项为：插值余项为：有界，则可估计误差。连续若；)()7)(6)(4)(2)(1(!5)()()()5()5(4xfxxxxxfx

13、Nxf插值多项式。次的出；并写，证明：互不相同，且设Newtonnxfnkxaxxxfxxxaxaxfkiikn)(21)(11)(01021例：例：；，)(1111)()(1100101010110 xaxaxaxaxxxxxfxfxxfk证明：证明：（归纳法）（归纳法） ；，；，时成立，即：设11121010)(1)(1miimmiimxaxxxfxaxxxfmk；由归纳法得证。，时，有：则1001101011010110121110)(1)11()(11)(1)(1(11miimmiimmiimiimmmmmxaxaxaxaxxxaxaxxxxxxxfxxxfxxxfmk；，)()()()()(1)()()()(101101000110100100nnnnnxaxaxaxxxxxxxaxaxxxaxxxxxxxxxfxxxxfxfxNNewton插值公式求解插值问题的算法插值公式求解插值问题的算法 算法算法 1.1.初始化初始化 xn保存保存n个插值点；个插值点； fnn保存