立体几何中的向量方法(课堂PPT)

1、13.2.1立体几何中的向量方法（一）2研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. .3。，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理共线向量定理:复习：复习：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 对空间任意两个向量 、 （），的充要条件是存在实数 ，使 。4思考思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），和一个定方向（向量），能确定一条直线在空

2、间的位置吗？能确定一条直线在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？个平面在空间的位置吗？4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？个平面在空间的位置吗？5OPOPOPP 在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点 的位置向量。OP一、点的位置向量一、点的位置向量6aABP二、直线的向量参数方程二、直线的向量参数方程 对对于于直直线线 l上上的的任任一一点点P, , 存存在在实实数数t使使得得

3、APtAB (1，）OP OA taOPxOA yOB xy 此方程称为此方程称为直线的向量参数方程。直线的向量参数方程。这这样点样点A和向量和向量 不仅可以确定直线不仅可以确定直线 l的的位置，还可以具体写出位置，还可以具体写出l上的任意一点。上的任意一点。a l7 Pb a OOPxayb 除除 此之外此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向还可以用垂直于平面的直线的方向向量量(这个这个平面的法向量平面的法向量)表示空间中平面的位置表示空间中平面的位置.n 这样，点这样，点O与向量与向量 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位的位置，还可以具体表示出置，还可以具体表示出 内的任意一点。内

4、的任意一点。a b 、三、平面的法向量三、平面的法向量8A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面 的的法向量法向量. n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3

5、.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n l9问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(10nxyz解：设平面的法向量为（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 则，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1(

6、, 1,1),2n11 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、平行、垂直、夹角夹角等位置关系等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？位置关系以及它们二

7、面角的大小吗？思考思考2：12线线面面平平行行 面面面面平平行行 四、平行关系：四、平行关系：111222( ,),(,),laa b cua b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为则121 21 2/00;laua abbc c1314五、垂直关系：五、垂直关系：111222222,0, /abca b cauabc当时111222( ,),(,),aa b cua b c若则121212/,.lauakuaka bkb ckc15A 16A 17C 1819202122232425262728293031323334353637学生解答展示学生解答展示证明证明：( (1)1)建立如图所示的坐标系，则建立如图所示的坐标系，则A A（2 2，0 0，0 0），），C C（ 0 0，2 2，0 0），），C C1 1（0 0，2 2，2 2），），F F（0 0，0 0，1 1），），E E（2 2，2 2，1 1）(0,2,1),(0,2,1),(2,0,0).AEFGDA 平面ADE，平面B1GF的一个法向量分别是111 12222111111111( ,),(,).201(0,1).2200,/ /.nx y znxy znDAxnnAZyzF