构造函数之专题训练

1、c.Kfm <2工而32.已知函数f (x)满足:A-。手3.若函数f (x)满足f 'B. (0) >e2f(4)(x) -f (x) =2xex, f (0) =1,其中 f(x)为f (x)的导“构造函数”之专题训练一、选择题1.定义在(0, +°°)上的函数 f (x)满足 f (x) >0,且 2f (x) vxf ' ( x) v 3f (x) 对xC (0, +8)恒成立，其中 (x)为f (x)的导函数，则()f (x) +2f' ( x) >0,那么下列不等式成立的是(函数，则当x>0时，f。1的最大值

2、为(A.4.己知定义在R上的函数y=f (x)满足f (x)=f (4-x),且当xW2时，其导函数f'(x)满足f '(x)> xf' (x),若 ae( 2,(log 2a) V f(2a)(2a) v f (log 2a)<f (2)<f (2)(2a) <f(2) <f(2) v f (log 2a)(log 2a) v f (2a)5.设f (x)是定义在 R上的奇函数,=0,当x>0时，有#2 T3 V 0恒成立,的解集为(A. (-2 , 0) U ( 2, +8)C. (-8, -2 ) U (2, +8)6.已知奇函

3、数f (x)的定义域为R,V0,且 f (-1 ) =0,则使得 f (x)A. (-1 , 0) U ( 1, +8)C. (0, 1) U ( 1 , +8)B.D.(-2, 0) U (0, 2)(-8, -2) U ( 0, 2)其导函数为f' (x),当x>0时，xf ' (x) -f (x)< 0成立的x的取值范围是()B. (-8, 1) u ( 0, 1)D. (-8, -1)u ( -1 , 0)7.已知偶函数f (x) (xw0)的导函数为f' (x),且满足f (1) =0,当x>0时,(x) v 2f (x),则使得f (x)

4、>0成立的x的取值范围是(A. (-8, -1 ) u ( 0, 1)C. (-1 , 0) U ( 1, +8)B. (-8D. (-1 ,-1 )0) Uu ( 1, (0, 1)+oo)8.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为(x),当 xw。时，(x)>。，若2利), b=-3f(-3)，c=：gf舄c的大小关系正确的是v bv c vcvb vcvavavb9.已知函数 f (x) (xC R)满足 f (1) =1,且 f' ( x) v 1,则不等式 f (1g2x) < 1g2x 的解集为()A. fO.令 B.(10，+oo)C41。)D.

5、U HO, g)10.定义在R上的函数f (x)满足f (x) +f' (x) ve, f (0) =e+2 (其中e为自然对 数的底数)，则不等式exf (x) >ex+1+2的解集为()A. (-00, 0)B.(-巴 e+2)C. (-00, 0) u ( e+2, +8)D. (0, +8)11.设函数f (x)的导函数为f '(x),对任意xC R都有xf ' ( x) V f (x)成立，则( )(2) >2f (3)(2) v 2f (3)(2) =2f (3)(2)与2f (3)的大小不确定.12 .已知函数f (x)是定义在R上的可导函数，

6、f' ( x)为其导函数，若对于任意实数,都有f (x) >f' (x),其中e为自然对数的底数，则()(2015) >f (2016)(2015) =f (2016)(2015) vf (2016)(2015)与f (2016)大小关系不确定13 .设函数f ' (x)的偶函数f xf ' ( x) -f (x) > 0,则使 f A. (-8, -2) U ( 0, 2) C. (-2 , 0) U ( 2, +8)14 .对于R上可导的任意函数 f(0) +f (2) v 2f (1)(0) +f (2) >2f ( 1)15.函数

7、f (x)的定义域为R,(x) (xCR且xw0)的导函数，f (2) =0且当x>0时, (x) V 0成立的x的取值范围为()(0, 2)U (2, +8)B. (-2, 0) UD. (-8, -2)(x),若满足(x-1 ) f '(0) +f (2) w 2f(0) +f (2) > 2f f (-1 ) =2015,对任意的(x) >0,则必有()(1)(1)2x C R.都有 f ( x) v 3x 成立，则不等式f (x) vx3+2016的解集为()A. (-1 , +8) B. (-1 , 0)C. (-8, -1) D. (-8, +oo)16

8、.已知函数y=f (x) (xCR)的图象过点(1, 0), f' ( x)为函数f (x)的导函数， e为自然对数的底数，若 x>0, xf' ( x) >1下恒成立，则不等式 f (x) Wlnx的解集为()A. (0, ： B. (0, 1 C. (0, e D. (1, e 亡17 .已知定义域为x|x W0的偶函数 f (x),其导函数为f' (x),对任意正实数x满足 xf ' (x) >-2f (x),若 g (x) =x2f (x),则不等式 g (x) vg (1-x)的解集是()A. ( , +8)B. (-8, g) C.

9、 (-8, 0) U ( 0, p D. (0, g)18 .已知函数y=f (x)定义在实数集 R上的奇函数，且当 xC (-8, 0)时xf' (x)< -f (x)成立(其中 f' (x)是 f (x)的导函数)，若 a%5f (,b=f (1), c=-2f(log 2),则a, b, c的大小关系是()>a>b>b>a>b>c >c>b19 .定义在区间(0, +8)上的函数f (x)使不等式2f (x) vxf' (x) <3f (x)恒 成立，其中f' (x)为f (x)的导数，则()&l

10、t;<16型 <8<乌 <4 v0<3KB 所f 20 .已知定义在 R上的函数f (x)的导函数为f' (x),且满足f' (x) >f (x),则 下列结论正确的是()(1) >ef (0)(1) < ef (0)(1) >f (0)(1) <f (0)21.已知f (x)是定义在 R上的奇函数，f (-1) =-1 ,且当x>0时，有xf' (x) >f (x),则不等式f (x) >乂的解集是()A. (-1 , 0)C. (-1 , 0) U ( 1, +8)B. (1, +8)D.

11、 (-8, -1 ) U ( 1+oo)【答“构造函数”之专题训练答案和解析【解析】1 .解：令 g ( X)田X), X (0, +8), gZ ( x) n-浦- . ? xC (0, +oo), 2f (x) vxf ' ( x) v 3f (x)恒成立, .f (x) >0,0v/'R 一肝 M , / g' ( x) >0,二函数g (x)在xC (0, +oo)上单调递增， 也乌，I.T T 而1令 h (x) =U, xC (0, +8),h' ( x)=匚坦二2侬，x4. ? xC (0, +oo), 2f (x) vxf '

12、 ( x) v 3f (x)恒成立,. .h， ( x) =d'M 73 V0, f二.函数h (x)在xC (0, +8)上单调递减，综上可得：1生B, f (2)4故选：B.分别构造函数g (x)h (x),xC其单调性即可得出.本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、 力，属于中档题.2.解：. f ( x) +2f' ( x) > 0,构造函数法,(0, +8),利用导数研究考查了推理能力与计算能可设f (x)=, ，f (1) =&, f (0) =e°=1, f ( 1) > "g故选：A.根据题意可设f (x)=,然后代入

13、计算判断即可.本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题.3 .解：由题意，(卫)'=2x,仁必=x2+b,f ( x) = (x2+b) ex, ,. f (0) =1,b=1,f ( x) = (x2+1) ex,f' ( x) = (x+1) 2ex,当x>0时，匕出=1 +工 W2,当且仅当x=1时取等号， 而 + 1l|当x>0时，f'的最大值为2.千帕|故选：B.利用函数f (x)满足f' (x) -f (x) =2xex, f (0) =1,求出f (x),再代入利用基本 不等式即可得出结论.本题考查导数知识的运用

14、，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定 f (x)是关键.4 .解：:定义在 R上的函数y=f (x)满足f (x) =f (4-x),函数f (x)关于x=2对称，由 f ' ( x) > xf z ( x),出得(x-2) f ' (x) <0,则x>2时，f' ( x) <0,此时函数单调递减，当x<2时，f' (x) >0,此时函数单调递增.当x=2时，f (x)取得极大值，同时也是最大值.若 aC (2, 3),则 4V 2a<8, 1vlog 2a<2,2V 4-log 2a< 3,.2<

15、; 4-log 2a<2a,即 f (2) >f (4-log 2a) >f (2a),即 f (2a) v f (log 2a) < f (2),故选：C根据条件得到函数关于 x=2对称，由f ' (x) >,xf， (x),得到函数的单调性，利用2函数的单调性和对称轴即可得到结论.本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用.5 .解：设g (x) =_f (x)是R上的奇函数，g ( x)为偶函数；x > 0 时, g ( x)在(0, +8)上单调递减,g (2) =0;.由 g (

16、x) > 0 得，g (x) >g (2); .g ( |x| ) > g ；|x| v 2,且 xw0;，-2vxv0,或 0vxv2;，U£>0|的解集为(-2, 0) U (0, 2).故选：B.可设g (x) 曾，根据条件可以判断 g (x)为偶函数，并可得到 x>0时，g' (x) v0,从而得出g (x)在(0, +8)上单调递减，并且 g (2) =0,从而由g (x) > g (2) 便可得到|x| <2,且xw0,这样即可得出原不等式的解集.考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解

17、不等式的方法，知道偶函数g (x) >g (2)等价于g (|x| ) >g (2).6 .解：设g (x)=力,贝U g' ( x)=中回-f,X£ 当 x>0 时，xf' ( x) -f (x) V 0,当x>0时，g' ( x) < 0,此时函数g (x)为减函数， f ( x)是奇函数，g ( x) =FJ是偶函数，即当x<0时，g (x)为增函数. f (-1) =0,，g (-1) =g (1) =0,当 x> 0 时，f(x)V 0 等价为 g( x)= d V 0,即 g(x)V g (1),此时 x&

18、gt; 1 ,当 xv 0 时，f(x)v 0 等价为 g(x)= E > 0,即 g(x)> g (-1 ),此时-1 < x<0,综上不等式的解集为(-1 , 0) U ( 1 , +8),故选：A根据条件构造函数 g (x)=卫，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可.本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键.7 .解：根据题意，设函数当x>0时，葭&)=喳丁 所以函数g (x)在(0, +8)上单调递减，又f (x)为偶函数，所以g (x)为偶函数，又 f

19、(1) =0,所以 g (1) =0,故g (x)在(-1,0)U(0,1)的函数值大于零,即f (x)在(-1,0)U(0,1)的函数值大于零.故选：D.构造函数设函数利用导数得到,g (x)在(0, +8)是增函数，再根据 f(x)为偶函数，根据f (1)=0,解得f (x) >0的解集.本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想.解决本题 的关键是能够想到通过构造函数解决.8 .解：定义域为 R的奇函数y=f (x), 设 F (x) =xf (x),.F (x)为R上的偶函数，1. F1 ( x) =f (x) +xf ' ( x);当 xw。时，

20、f ' ( x) +干 >0. 当 x>0 时，x? f ' (x) +f (x) >0, 当 x<0 时，x? f' (x) +f (x) V 0, 即F (x)在(0, +°°)单调递增，在(-8, 0)单调递减.)=F(皿3匕)，F(-3)=b=-3f (-3) =F (3), F (ln1) =c= (lnf (lni )F(1)=a=if (' 3|3|3=F (ln3 ),. In 3e<ln3 <3,.F ( ln 加)< F (ln3 ) < F (3).即 av cvb, 故选

21、：B.根据式子得出F (x) =xf (x)为R上的偶函数，利用f' (x) +担>0.当x>0时,x? f' (x) +f (x) >0;当 x<0 时，x? f' (x) +f (x) v 0,判断单调性即可证明 a, b, c的大小.本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判 断即可，属于中档题.9.解：设 g (x) =f (x) -x , 则函数的导数g' (x) =f' ( x) -1, .f' ( x) V 1, g' ( x) < 0, 即函数g (x)为减函

22、数， f (1) =1, . g ( 1) =f (1) -1=1-1=0 ,则不等式g (x) V 0等价为g (x) < g (1),则不等式的解为x>1,即f ( x) V x的解为x> 1,- f ( 1g2x) V 1g2x,由 1g2x>1 得 1gx>1 或 lgx v-1 ,解得 x>10 或 0vxv L, 同故不等式的解集为95 U (孙，故选：D构造函数g (x) =f (x) -x ,求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式 f (x) vx的解为x>1,即可得到结论.本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，

23、利用函数单调性和导数之间的 关系是解决本题的关键.10.解：设 g (x) =exf (x) -ex+1 -2 (xCR),贝U g'(x)=exf (x)+exf' (x)-ex+1=exf(x)+f' (x)-e,f ( x) +f' ( x) v e,. .f ( x) +f' ( x) -e v 0,，g' ( x) < 0, -y=g ( x)在定义域上单调递减， ,. f (0) =e+2,g (0) =e0f (0) -e-2=e+2-e-2 >0, g ( x) >g (0),. .x< 0,，不等式的解集

24、为(0, +8)故选：A.构造函数g (x) =exf (x) -e x+1-2 (xCR),研究g (x)的单调性，结合原函数的性质和 函数值，即可求解.本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.11 .解：设函数 y二出，贝U v'. xf ' ( x) v f (x), . y' v 0,可得y=则对任意xCR,函数y是减函数,X卡工，可得 3f (2) > 2f (3).故选：A.构造函数，利用函数的单调性判断即可.本题考查函数的单调性的判断与应用，构造函数，求解导函数判断单调性是解题的关键.12 .解

25、：令g (x) =¥ ,由题意, 贝U g' ( x)=尸-fgv 0,从而g (x)在R上单调递减， . .g ( 2016) v g (2015).即血回您旦产他产菱.e2015f (2016) ve2016f (2015),即 ef (2015) v f (2016),故选：A.造函数g (x)=以，通过求导判断其单调性，从而确定选项.本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型.13 .解：令 g (x)=里，.g' ( x) =*'*)- FW ,. x>

26、0 时，xf ' ( x) -f (x) > 0, x> 0 时，g' ( x) >0, g (x)在(0, +8)上是增函数，- f (2) =0, -g (2) =®=0,2当 0vxv2 g (x) v g (2) =0,即 f (x) v 0,当 x>2 时，g (x) >g (2) =0,即 f (x) >0, - f ( x)是偶函数，,当-2 <x<0, f (x) v 0,故不等式f (x) v 0的解集是(-2 , 0) U ( 0, 2), 故选：B.构造函数g(x)=更，利用导数得到，g(x)在(0

27、,+8)是增函数，再根据 f(x)为奇函数，根据f (2) =0,解得f (x) v 0的解集.本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想.解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决.14 .解：.( x-1 ) f ' ( x) >0,当 x>l 时，f ' ( x) >0,当 xv 1 时，f ' ( x) W0；故f (x)在(-8, 1)上不增，在1 , +8)上不减，故 f (0) >f ( 1), f (2) >f (1);故 f (0) +f (2) >2f ( 1), 故选C.由题意，当x>

28、l时，f' (x) >0,当x<1时，f ' (x) W0;从而可得f (x)在(-8, 1)上不增，在1 , +8)上不减，故f (0) >f (1), f (2) >f (1);从而可得.本题考查了导数的综合应用，属于中档题.15 .解：令 g (x) =f (x) -x3-2016 ,g' ( x) =f ' ( x) -3x2,2对任意的xCR.者B有f' (x) V3x成立，对任意的 xC R, g' ( x) V 0,g ( x) =f (x) -x3-2016 在 R上是减函数，且 g (-1 ) =f (-

29、1 ) +1-2016=2015+1-2016=0 ,故不等式f (x) vx3+2016的解集为(-1 , +8), 故选：A.令g (x) =f (x) -x3-2016 ,求导g' (x) =f' (x) -3x2,从而确定不等式的解集.本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用.16.解：构造函数g(x)=f (x) -Inx (x>0),贝Ug' ( x) =f' (x)-1=- 1 > 0,X X, g (x) =f (x) -Inx 在(0, +8)上单调递增，f ( x) < Inx , -g ( x) <0=g (

30、 1),0<x< 1,故选：B.构造函数 g (x) =f (x) -Inx (x>0),确定 g (x) =f (x) -Inx 在(0, +°0)上单调 递增，f (x) < Inx ,化为g (x) < 0=g ( 1),即可得出结论.本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键.17. B： f (x)是定义域为x|x W0的偶函数， f ( -x ) =f (x).对任意正实数 x满足xf' (x) >-2f (x),1.xf 7 ( x) +2f (x) >0,- g ( x) =x2f (x), g

31、9; ( x) =2xf (x) +x2f ' (x) >0.，函数g (x)在(0, +8)上单调递增, g ( x)在(-8, 0)递减；由不等式g (x) V g (1-x),fx>0 或 fxVO ,1 - x>0 x - 1<0解得：0vx<2，或 x<0，不等式 g (x) < g (1-x)的解集为：x|0 VxL 或 x<0. 22故选：C.f (x)是定义域为x|x W0的偶函数，可得：f (-x) =f (x),对任意正实数x满足xf '(x) >2f (-x),可得：xf ' ( x) +2f

32、(x) >0,由 g (x) =x2f (x),可得 g' (x)>0.可得函数g (x)在(0, +8)上单调递增.即可得出.本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18 .解：当 xC ( -oo, 0)时，xf ' ( x) v -f (x),即 xf ' ( x) +f (x) V 0,xf (x) ' V 0,令 F (x) =xf (x),由函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，则F (x)为偶函数，且在(-8, 0)上是减函数，在(0, +OO)上是增函数，由 c=-2f (log 2)=-2f (-2)

33、 =2f (2) =g (2),2=啊(书)=g(0)，b=f(1)=g(1)，由1<场<2,可得bvavc.故选：A.由f (x)为奇函数得到f (-x) =-f (x),有xf' (x) +f (x) <0,由导数的积的运算得到xf (x) ' v 0,令F (x) =xf (x),则F (x)为偶函数，且在(-8, 0)上是减函数，在(0, +8)上是增函数，由 c=-2f (-2) =2f (2) =g (2), a=,gf (收)=g(场)，b=f (1) =g (1),即可得到所求大小关系.本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函

34、数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题.19 .解：令 g (x)=电，则 g' ( x) =f W X1 - 3/f【6=/-膂. | II .xf' ( x) v 3f (x),即 xf ' (x) -3f (x)<0, g' ( x) V 0 在(0, +8)恒成立，即有g (x)在(0, +8)递减，可得g (2) vg (1),即詈苧，由 2f (x) <3f (x),可得 f (x) >0,则也<8;令 h (x) =*). h' ( x) =&】"- ixFGd ="'一, 尸1 / ,xf' ( x) >2f (x),