2019年高考真题数学

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 .本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时 间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡 的规定位置。3 .请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4 .作答试题，必须用毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答 一律无效。5 .如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：

2、21n _2_1n样本数据x1, x2，xn的方差s- x x ,其中x xi.n i 1n i 1柱体的体积V Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.1锥体的体积V 1Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 1 .已知集合 A 1,0,1,6, B x|x 0,x R,则 AI B .2 .已知复数（a 2i）（1 i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数 a的值是 .3 .下图是一个算法流程图，则输出的S的值是 .4 .函数y 、7 6x x2的定义域是 .5 .已知一组数据 6, 7, 8

3、, 8, 9, 10,则该组数据的方差是.6 .从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.27 .在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线x2 % 1(b 0)经过点(3, 4),则该双曲线的 b渐近线方程是.8 .已知数列an( n N )是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 a8 0, S9 27 ,则Sg的值是 .9 .如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的体积是120, E为CC1的中点，则三棱锥 E-BCD勺体积是 .4 .10 .在平面直角坐标系 xOy中，P是曲线y x (x 0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0 x

4、的距离的最小值是.11 .在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 .unr uuurAB AC12 .如图，在ZXABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA AD与CE交于点O .若unr uur AB6AO EC ,则CB的值是 . AC13 .已知 一tan2,则sin 2- 的值是 .tan 34414 .设f (x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4, g(x)的周期为2,且 k(x 2),0 x 1f(x)是奇函数.当 x (0,2时，f(x) Ji_(x

5、1)2 , g(x) 1 ,1x2 2其中k>0.若在区间(0, 9上，关于x的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k的取值范围是.、解答题：本大题共 6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)在ABC43,角 A, B, C的对边分别为 a, b, c.(1)右 a=3c,b= J2 , cosB=,求 c 的值;3/、什 sin A(2)若 acosB，求 sin(B )的值.2b216 .(本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABO ABC中，D, E分别为BC AC的中点，AB=BC求证：(1)

6、 AB/平面DEC;(2) BE!CE.17.(本小题满分14分)22如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C x2 % 1(a b 0)的焦点为F1( - 1、0), a bF2 (1,0).过F2作x轴的垂线l ,在x轴的上方，l与圆F2:(x 1)2y24a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF并延长交圆F2于点B,连结BE交椭圆C于点E,连结DF.已知DF= 5 .2(1)求椭圆C的标准方程；(2)求点E的坐标.18.(本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为 O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路 l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路

7、PB QA规划要求：线段PB QA上的所有点到点 O的距离均不小于圆 O的半径.已知点 A B到直 线l的距离分别为 AC和BD(G D为垂足)，测得 A田10, AC=6, BD=12 (单位：百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路 PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路 PB和QA勺长度均为d (单位：百米).求当d最小时，P、Q两点间的距离.19 .(本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c), a,b,c R、f'(x)为 f (x)的导函数.(1)若 a=b=c, f (4) =8,求

8、 a 的值；(2)若awb, b=c,且f (x)和f'(x)的零点均在集合 3,1,3中，求f (x)的极小 值；4(3)若a 0,0 b, 1,c 1 ,且f (x)的极大值为 M求证：Me.2720 .(本小满分 16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ W数列”.(1)已知等比数列an(n N )满足：a2a4 a5,a3 4a2 4a4 0 ,求证：数列an 为“ W数列”；122(2)已知数列bn满足：b1 1 ，其中S为数列bn的前n项和.Sn bn bn 1求数列bn的通项公式；设m为正整数，右存在数列 cn(n N ),对任意正整数 k,当kwm时，都有ck蒯b

9、k ck 1成立，求m的最大值.数学n(附加题)21 .【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题， 并在相应的答题区域内作答 .若 多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)-一 3 1已知矩阵A2 2(1)求 A：(2)求矩阵A的特征值.B.选彳4-4 :坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知两点 a 3,_ ,b J2,直线l的方程为sin -3.424(1)求A, B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离.C.选彳4-5:不等式选讲(本小题满分10分)设x R ,解不等式|x|+|2

10、 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分 10 分)设(1 x)n a0 a1x a2x2 L anxn,n 4,n N* .已知a32a2a4 .(1)求n的值；(2)设(1 肉 a b73,其中a,b N* ,求a2 3b2的值.23.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xO井，设点集An (0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令Mn An U Bn U C

11、n .从集合M中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当n=1时，求X勺概率分布;2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法一 一51.1,64. 1,75.-311. （e, 1）12. .3.每小题5分，共计70分.7. y2x13避.1014.二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为a 3c,b2,cos由余弦定理cos B2,2c b/日，得2ac(3c)2 c2 (V2)2 ,即 c22 3c c '

12、（2）因为snAa由正弦定理asin Acos B2bb /日,得sin BcosB2bsin Bb,所以 cosB 2sin B .从而cos2 B(2sinB)2,即2 、 cos B.2244 1 cos B ,故 cos B 一5因为sin B0,所以cosB2sin B因此sin B16 .本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D, E分别为BG AC的中点，所以ED/ AB在直三棱柱 ABC-ABG中，AB/ AB,所以AB / ED又因为ED?平面DEC, AB 平面DEC,所以AB /平

13、面DEC(2)因为AB=BC E为AC的中点，所以 BE!AC因为三棱柱ABC-ABC是直棱柱，所以 CC，平面ABC又因为BE?平面ABC所以CC，BE因为 CC?平面 AACC，AC?平面 AACC, CCA AC=C,所以BEL平面AACC因为CE?平面AACQ所以BE!CE17 .本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：(1)设椭圆C的焦距为2c.因为 Fi( 1, 0), F2(1 , 0),所以 FiF2=2, c=1.5.又因为DF=5, AE,x轴，所以2dE=

14、JdF； F1F22 J(1)2 22因止匕2a=DF+D桎=4,从而a=2.由 b2=a2- c2,彳导 b2=3.22因此，椭圆C的标准方程为L上 1.432 y_31 , a=2,(2)解法x2由(1)知，椭圆C: 一4因为AFx轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1 , 4).又 Fi(-1,0),所以直线 AF： y=2x+2.由y (x2x 21)2 y2,得 5x2166x11125 '解得x11一代入5一，1112_,八3因此 B(1 12).又 F2(1, 0),所以直线 B

15、F2： y -(x 1).554y 3(x 1)1342由 22 ，得7x 6x 13 0 ,解得x士匕143又因为E是线段BB与椭圆的交点，所以 x 1 .333将 x 1 代入 y (x 1),得 y .因此 E( 1,-).422解法二：由(1)知，椭圆C: - -y- 1.如图，连结EF.43因为 BF=2a, EF+EE=2a,所以 EF=EB 从而/ BFE=/ B.因为EA=EB,所以/ A=/B,所以/ A=/ BFE,从而 EF / F2A因为AFx轴，所以EFx轴.x 13因为 F(1 , 0),由 x2 y2 ，得 y 3.一二 1243一, 一 ,，_、，_3又因为E是

16、线段BE与椭圆的交点，所以 y -.2一3因此 E( 1,-).218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：(1)过A作AE BD ,垂足为E由已知条件得，四边形 ACDE矩形,DE BE AC 6, AE CD 8.'因为PBL AB，所以 cos PBD sin ABE 1012一 15.所以PBBDcos PBD 45因此道路PB勺长为15 （百米）.（2）若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BU的点（除B, E）到点O勺距离均小 于圆O勺半径，所以 选在说不满足规划要

17、求.若 QSD处，连结 AD 由（1）知 AD VAE2ED 10 ,AD2 AB2 BD27从而cos BAD AD一AB一匕 0 ,所以/ BA西锐角. 2AD AB 25所以线段ADk存在点到点 O勺距离小于圆 O勺半径.因此，C选在皿也不满足规划要求.综上，可口 Q匀不能选在 皿.（3）先讨论点P勺位置.当/ OBP90时，线段PBh存在点到点 O勺距离小于圆 O勺半径，点 符合规划要求；当/ OB庚90°时，对线段PBh任意一点F, OF> OB即线段PBh所有点到点 O勺距离均不 小于圆O勺半径，点留合规划要求.设P1为l上一点，且PB AB,由（1）知，PB=15

18、, . 3此时 PD FB sin PBD PB cos EBA 15 - 9；5当/ OBP90 时，在 /XPEB 中，PB 印 15.由上可知，d>15.再讨论点Q勺位置.由（2）知，要使得 QA> 15,点QR有位于点C的右侧，才能符合规划要求 .当QAd5时, CQ ，QA2 AC2 由52 62 3J21.此时，线段QAh所有点到点O勺距离均不小于 圆O的半径.综上，当PB± AB,点Q&于点 以侧，且CR3J21时，d最小，此时P, Q两点间的距离PQ=P>C>CQ：17+3', 21.因此，d最小时，P, C两点间的距离为17+

19、3后（百米）解法二：(1)如图，过。乍OHL 1,垂足为H.以6坐标原点，直线 O的y轴，建立平面直角坐标系.因为Bt=12, AC=6,所以OH9,直线1的方程为y=9,点A, B的纵坐标分别为3,-3.因为AB圆O勺直彳至,AB=10,所以圆O勺方程为x2+y2=25.3从而A (4, 3) , B (-4, -3),直线AB勺斜率为-.4一. 4因为PBL AB,所以直线PB勺斜率为 -,3，、一425直线PB勺方程为y -x 5.33所以 P (-13, 9) , PB & 13 4)2 (9 3)215.因此道路PB勺长为15 (百米).(2)若PB叫，取线段BDE一点E (

20、-4, 0),则EQ=4<5,所以 砒在皿不满足规划要 求.若Q在D处，连结AD由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),一 .一3 一，所以线段AD y 3 x 6( 4软X 4).4在线段ADh取点M (3, 15),因为OM J32 竺32 42 5,4.4所以线段ADh存在点到点 O勺距离小于圆O勺半径.因此0在皿也不满足规划要求.综上，可口 Q匀不能选在 皿.(3)先讨论点P勺位置.当/ OBP90时，线段PBh存在点到点 O勺距离小于圆 O勺半径，点 符合规划要求；当/OB陞90。时，对线段PBh任意一点F, O匡OB即线段PBh所有点到点 O勺距离均不 小于圆O勺半

21、径，点留合规划要求.设 P1 为 1 上一点，且 PB AB ,由(1)知，PB=15,此时 P (-13, 9);当/ OBP90 时，在 /XPEB 中，PB 印 15.由上可知，d>15.再讨论点Q勺位置.由(2)知，要使得QQ15,点QR有位于点C勺右侧，才能符合规划要求.当Q/=15时，设Q (a, 9),由 AQ J(a 4)2 (9 3)2 15(a 4),得 a=4 3扬，所以 Q(4 3/21, 9),此时，线段QAt所有点到点O勺距离均不小于圆 O勺半径.综上，当P (-13, 9) , Q (4 3历，9)时，d最小，此时P, Q两点间的距离PQ 4 3.21 (

22、13) 17 3、21.因此，d最小时，P, Q两点间的距离为17 3俯 (百米).19,本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分 16分.解：(1)因为 a b c,所以 f(x) (x a)(x b)(x c) (x a)3.因为f (4) 8 ,所以(4 a)3 8 ,解得a 2.(2)因为b c ,所以 f (x) (x a)(x b)2 x3 (a 2b)x2 b(2a b)x ab2,2a b一. 2a b从而 f'(x) 3(x b) x 2-ab .令 f'(x) 0 ,得 x b或 x 刍一b .332

23、a b 因为a,b,2ab,都在集合 3,1,3中，且a b,32a b所以 2a_b 1,a 3,b3.3此时 f(x) (x 3)(x 3)2, f'(x) 3(x 3)(x 1).令f'(x) 0,得x 3或x 1 .列表如下:x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极小值为f(1) (1 3)(1 3)232 .(3)因为 a 0, c 1 ,所以 f(x) x(x b)(x 1) x3 (b 1)x2 bx,f'(x) 3x2 2(b 1)x b .因为 0 b 1 ,所以 4(b 1)x1b 13x1

24、2(b 1)x1b - 12b (2b 1)2 3 0,则f'(x)有2个不同的零点，设为 X1,x2 K x2由 f'(x) 0,得 xibib2bi32 b2 b 1b(b 1)922 b2 b 1 (b 1)27b(b 1)927 bF3_2b(b 1) 2(b 1) (b 1)272727(.b(b1) 1)3b(b 1)24 .因此M272727解法二：427因为0 b 1 ,所以x1(0,1).当 x (0,1)时，f(x)x(x b)(x 1) x(x 1)2.列表如下:x(,x1)x1x1，x2x2(x2 ,)f'(x)+0一0+f(x)Z极大值极小值Z

25、所以f(x)的极大值M f x1解法.32M f x1x1(b 1)xbx人11i)x(x 1)，x (0,1),则 g(x) 3x 3 (x 1).1令g'(x) 0,得x .列表如下:3x1 (0,3)13G1)g'(x)+0一g(x)Z极大值1. 14所以当X 时，g(X)取得极大值，且是最大值，故g(x)max g - 一3327所以当 x (0,1)时，f (x) g(x) & ,因此 M 272720.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.解：(1)设等比数列

26、an的公比为q,所以ai*0, qw0.a2a4 %a；q4 a1q4a1 1由，得 2，解得1a3 4a2 4a1 0 a1q4alq 4al 0 q 2因此数列an为“ Mh数列”.122c(2)因为,所以bn 0 .Sn bn bn 1n122由b11Sb1 得 1 1 b；，则b22.J - 2 ,得 Snbnbn1Sn bn bn12(b01 bn)当n 2时，由bnSnSn 1 ,得 bnbnbn 12 bn 1 bnbn 1bn2 bnbn 1整理得 bn 1 bn 1 2bn .所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.、一 ,一 *因此，数列bn的通项公式为bn=n n N由

27、知，bk=k, k n .因为数列cn为“M-数列”，设公比为q,所以c=1, q>0.k 1k因为 CkWbkW Ck+1,所以 q k q ,其中 k=1, 2, 3,，m当k=1时，有q>1;ln kri1 In x2-xIn k当k=2, 3,，mf寸，有lnqkIn x设f (x) =一(x 1),则 f'(x) x令f'（x） 0,得*=3.列表如下:因为2ln8 ln966ln3，所以3r r ln3f(k)max f(3) 3取 q3/3,当 k=1, 2,4, 5时,ln kk，lnq ,即 k q , kx(1,e)e(e， +°

28、76;)f'(x)+0一f(x)极大值经检验知qk 1 k也成立.因此所求m勺最大值不小于5.若m£>6,分另1J取 k=3, 6,得3wq3,且 q5w6,从而 q15>243,且 q%216,所以q不存在.因此所求mm勺最大值小于6.综上，所求ml勺最大值为5.数学n （附加题）参考答案21 .【选做题】A.选彳4-2:矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.解：（1）因为A所以A23 13 12 2 2 23312 3112115232221 221 10 6(2)矩阵A的特征多项式为f()令f( ) 0,解得A勺

29、特征值1 1, 2 4.B.选彳4-4:坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分 10分.解：(1)设极点为O在OA小，A (3, 4 ) , B (亚，)，由余弦定理，得 AB=.32 ( .2)2 2 3.2 cos( -), 5 .(2)因为直线l的方程为 sin( -) 3,4则直线l过点(372,-),倾斜角为 3又B(J2,),所以点 即直线l的距离为(3亚 J2) sin(- -) 2.242C.选彳4-5:不等式选讲本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分10分.八，一八，八八一1解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2,解得x<：3，1 一，当0W xw 一时，原不等式可化为 x+1 - 2x>2,即x< - 1,无解; 2,1 一 _当x>一时，原不等式可化为 x+2x-1>2,解得x>1.2 一1 .、一综上，原不等式的解集为 x|x-或x 1.322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求