第八章二元一次方程组(教师版)

1、第八章二元一次方程组8.1二元一次方程组学习目标重点：1 .会判断二元一次方程和二元一次方程组.2.二元一次方程的解和二元一次方程组的解.难点：准确判断一对实数是某个二元一次方程组的解.课前准备,、121 .一元一次方程：像 2x 1 3, x -x等，只含有一个未知数，且未知数的次数都是1,这样的方23程叫作一元一次方程.一元一次方程的一般形式为ax b 0(a 0).2. 一元一次方程的解：使一元一次方程中等号左右两边相等 的未知数的值叫作这个方程的解.3.列方程是解决实际问题的重要方法：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程.课堂导学一、新知探究Point 1二元一次方程的

2、定义(重点)1 .阅读本章P87 “引言”中的问题，如何列一元一次方程？【解】设胜x场，则负(10 x)场.根据题意可列方程 2x (10 x) 16.2 .能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？【解】设这个队胜 x场，负y场，则根据题意，得 x+y=10且2x+ y=16.3 .著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ ”如何列方程？【解】设鸡有x只，兔有y只，根掘题意，得 x+ y=35且2x+4y= 94 .4 .方程 x+ y=10, 2x+ y=16, x+y=35, 2x+ 4y= 94,它们有什么特点？【解】它们都含有两个未

3、知数，并且含有未知数的项的次数都是1.知识总结方程中含有 囱个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程注意(1)任何一个二元一次方程经过整理、化简后都可以化成 ax by c(a、仄c均为常数，且a 0,b 0)的形式.(2)二元一次方程应具备的条件：含有两个未知数，即未知数的系数不能为0;含有未知数的项的次数都是1;方程必须是整式方程.point 2二元一次方程组的定义(重点)把point 1中2和3中的两个方程分别合在一起，写成x y 102x y 16x y 352x 4y 94就组成了一个方程组，每个放方程组中分别含有几个未知数?【解】含有两个未知数，每个含有未

4、知数的项的次数都是1.知识总结(1)定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是并且方程组中的每个方程都是 整式方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.(2)特征：方程组中每个方程经过整理后，都是一次方程:由两个或两个以上的整式方程组成，常用“ ”把这些方程联合在一起；整个方程组中头含有两个未知数.次方程组里一共含有两个未知数,而不是一定要每个方程都含有两个未知数.point 3 二元次方程的解（重点）x 11,能使二兀一次方程2x+ 3y= 4y 2x的等号左右两边的值曳皇，所以y1 , 就叫作二2次方程2x+ 3y=4的一个解.2.下面4组数值中，哪些是.兀次方程2x+y= 10 的

5、解?(1) x y62（2）3（4）【解】把4组值分别代入方程 2x+y=10, （2） （4）能使方程左右两边的值相等,所以（2) (4)是方程2x+ y= 10的解.3.对于二元一次方程2x+ 3y=4,能使其左右两边的值相等的未知数的值有无数对，如2,0,12所以任何一个二元一次方程都有无数组解.知识总结：（1）能使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫作二次方程的解.(2)在次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二次方程有无数多组解，若对未知数的取值附加某些限制条件，则二元一次方程可能有有限组解.注意（1）次方程的每组解都是一对数值，用，的形

6、式表木. b,（2）检验一对值是否为某一个二元一次方程的解，只需将其代入方程中，看是否使方程左右两边的代数 式的值相等即可.point 4次方程组的解（重点）25 .25能时方程组75y 10013x y 1003 x25 一.中的两个方程的左右两边的值相等，所以x 25是方程组y 751003x的解.y 100 2 .你是如何理解组成二元一次方程组的两个方程的公共解的？【解】一般地，使组成二元一次方程组的两个方程都成立的解叫作组成二元一次方程组的两个方程的公共 解.x3.对于二元一次方程组3xy2y11 ，八 有唯一的解，即35x y 11.而对于万程组62x 2y 2211 无解.10共解

7、,叫作二次方程组的解. x有无数组解:对于方程组 x知识总结一般地，使二元一次方程组的两个方程的左、右两边的值都相等的未知数的值，即方程组中各个方程的注意：(1)求方程组的解时，原方程组中的每个方程至少用到一次.(2)对于给定的一个二元一次方程组的解的情况可能是有唯一的一个解、有无数个解、无解.(3)检验一组值是不是某个方程组的解，应将其代入到方程组的每个方程当中，只有这组值满足方程组 中的所有方程，才能说这组值是方程组的解.若发现其不满足这个方程组中的某一个方程，就说它不是该 穷程组的解.二、典例精讲22【例1】万程x+3y+5=0,xy + 5x=0,一 y 1 0,x y 4 0中，二元

8、一次方程有(A) x个.A. 1 B. 2C. 3 D. 4【例2】指出下列方程组中，哪些是二元一次方程组？说明理由.(1)x y 10 x y 22x y 16(3)(4)x 2y 3 0x 5【解】方程组(1) (2) (4)都是二元次方程组，因为它们都是由几个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，符合二元一次方程组的定义；例3已知二元一次方程 3x- 4y =5.(1)把方程写成用含 x的式子表示y的形式.(2)写出方程的5个解.(3)不是次方程组，因为它含有三个未知数.【解】将3x4y=5 移项,一.一 3x 54y=3x- 5.系数化为1,得y48. 2元元解二元一次方程组课时1

9、代入消元法学习目标重点：会用代人法解二元一次方程组难点：灵活运用代人法的技巧.课前准备1 ,解一元一次方程的一般步骤：夫分母、夫括号、移项、合并同类项、系数化为1 .2 .二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.3 .把下列各式写成用含 x的式子表示y的形式(1) 2x-y=3; (2) 3x+ y1 = 0; (3) 5x-6y= 12.【解】(1) y=2x3. y=13x 5x 12 目口 5 c(3) y ，即 y -x 2 .66课堂导学一、新知探究Point 1 消元思想阅读教材P91 “思考”，完成下列问题：1 .篮球联赛中，每场比赛

10、都要分出胜负， 每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次,x y 222x y 40想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少?(1)在这个问题中，设胜 x场，负y场，可列方程组(2)如果只设一个未知数(设胜 x场)，那么这个问题也可以列一元一次方程2x+ ( 22 x) = 40来解.(3)观察上面所列的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？ 【解】二元一次方程组可以转化为一元一次方程.知识总结(1)解二元一次方程组的基本思想是消元，即化多元为一元.(2)二元一次方程组中有两个未知数，如果 消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们 熟悉的一元一次

11、方程.我们就可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数，这种将未知数的个数由多 化少、逐一解决的思想，叫作 消元思想.x y 3,3x 8y 14=14.解得 x=2.point 2代入消元法(重点)1.利用消消元思想解方程组【解】由得y=x-3. 把代入，得3x- 8 (x 3) 把x= 2代人，得y= - 1 .x= 2.所以原方程组的解是x 2, y 12.李明和妈妈买了 18元的苹果和梨共 5千克，1千克苹果售价4元，1千克梨售价3元，李明和妈妈 买苹果和梨各多少千克？【解】设买苹果x千克，买梨y千克.列方程组为x y 5,4x 3y 18.由，得y=5-x把代入，得4x+ 3 (5

12、x) =18.解一元一次方程，得 x=3 .把x=3代人，得y=2.所以方程组的解为x 3,y 2.答：李明和妈妈买苹果和梨各 3千克和2千克.知识总结(1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得达个二元一次方程组的解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法.(2)代入消元法解方程组的步骤：选一个系数比较简单的方程，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数，变形为y=ax+b (或x = ay+ b);将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；将求得的未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未

13、知数的值；把求得的两个未知数的值用“”联立起来，就是方程组的解.注意：若方程组中未知数的系数不为1或-1, 一般选择未知数系数的绝对值较小的方程变形，这样便于进行计算.二、典例精讲【例1】将二元一次方程 5x+ y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y= 5x+ 3 ;化成用含有y的式 子表示x的形式是x= y 3 .5【例2】用代入法解方程疝一4x 9y 8,2x 3y 1.1 1） 2x 3y 16, x 4y 13;【解】（1） x 5，（2） y 2.课时2加减消元法学习目标重点：1.学会用加减法解二元一次方程组.2 .列方程组利用加减法解方程组.难点：怎样将方程组化成某个未知数系数绝

14、对值相等的方程组；根据等量关系正确列出方程组，并解方程组.课前准备1 .解二元一次方程组的基本思路是什么？【解】消元，即把二元转化为一元.2 .用代人法解方程组的步骤是什么？【解】略，课堂导学一、新知探究Point 1加减消元法（重点）2x 3y 15x 3y 8.1 .方程组 y ，中x的系数特点是相理，两式相减可以消去未知数x;方程组 y ，中，y2x 5y 27x 3y 4的系数特点是互为相反数，两式相加可以消去未知数V,这两个方程组用 加减法解比较方便.2 .如果用加减法可以直接消去方程组申的某一个未知数，则方程中必有一个未知数的系数的 绝对值相等.x4y63 .二元一次方程 x 4V

15、 6, 消去未知数y的方法是+，得关于x的方程2x=18 ;消去未知数x x 4y 12;的方法是一，得关于y的方程8y= 6;用加法消去未知数是因为未知数y的系数互为 相反数：用减法消去未知数是因为未知数x的系数相等.2x 3y 12 4 .解方程组3,时，可以式两边同乘3,式两边同乘2 ，将x项的系数化为相等，用减3x 4y 17;法消去未知数x;还可以式两边同乘4,式两边同乘3 ,将y项的系数化为互为相反数，用加法消去 未知数y.5.用加减法解二元一次方程组x 2y 3,x y 6【解】一，得一3y=3,解得y= - 1.把y=1代入，得x+2x （1） =3,解得x= 5x 5.所以方

16、程组的解是 , y 1.知识总结（1）加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫作加减消元法，简称如减法.（2）加减消元法的步骤：将原方程组的两个方程化为一个未知数的系数相反或相等的两个方程;把这两个方程相加或相减,消去一个未知数；解得到的一元一次方程； 将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求另一个未知数的值;确定原方程的解.注意:若两个方程中同一个未知数的系数的绝对值不相等，则应选最小公倍数较小的一组系数，求出它们 的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组

17、系数的绝对值相等，再加减消元.point 2选择适当的方法消元（重点）4x 3y 5 -y 2x 4 一已知方程组y 'y ,其中方程组采用加法消元法解比较简单，方程组采用代入4x 6y 14. 3x 5y 0.消元法解比较简单.用代胜和加减法解方程组4x 8y 12,3x 2y 5.【解】方法一（代人法）：由得y= 竺”. 2把代入，得 4x+ 4 （3x 5） =12,解得x= 2.把x=2代入，得y=-, 2x 2,所以方程组的解是1y 2.方法二（加减法）：+x4,得16x= 32,解得x = 2.把x= 2代入，得6- 2y=5,解得y= 1 .2所以方程组的解是2, - 2

18、知识总结代入消元法 和加减消元法 是二元一次程组的两种解法,它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程,只是消元的方法不同.在用消元法解二元一次方程组时，应根据题目特点，选取适当的方法消元.一般首 先考虑加减消元法，再考虑代入消元法，对一些结构较为特殊的方程组，还可以采用整体代入消元法，设铺助元、构造新方程等方法来解方程组.注意(1)当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，用代入法比较简单.(2)若方程组中未知数的系数为1或一1,选择系数为1或一1的方程进行变形，再用代入消元法比较简便.(3)当方程组中的两个方程有某个来知数的系数相同或互为相反数时，用加减消元法比较简便.(4)若

19、两个方程中同一个未知数的系数成倍数关系，可利用等式的性质将其转化为系数相等或互为相反 数的类型，再用加减消元法消元.二、典例精讲【例1】解方程组(1)3x 5y 4,2x 5y 1.(2)3x 2y 1, x 3y 4.(3)x”0.3x 0.4 y 1.6.【解】(1)x 0,y 4.1,1 (2)5.【例2】以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？ 【解】绳长48尺，井深11尺.疑难突破难点巧解方程组解题技巧 解二元一次方程组除了代入消元法和加减消元法外，还有一些特殊的方法，如整体代入消元, 设辅助元、构造新方程等方法，解题时应先认真观察方程组的特点

20、，然后运用恰当的方法解题.【例3】解方程组:x 2(2x 3y) 8, 2x 3y 2.【分析】观察方程组特点可发现方程和中均含有2x+3y项，可将其视为一个整体， 将方程整体代入到方程中进行计算.【解】把代人，得 x+2x2 = 8,解得x=4.把x= 4代人，得8+ 3y=2,解得y= - 2.一 一、一. .x 4所以原方程组的解为x 4,y 2.点拨：解方程组时，应首先观察题目特点，切不可盲目化简或消元.8.3实际问题与二元一次方程组学习目标重点：正确找出问题中的两个等量关系，并根据题意列二元一次方程组.难点：正确找出问题中的两个等量关系，并根据题意列二元一次方程组.课前准备列一元一次

21、方程解应用题的一般步骤：(1) 此，弄清题意及题目中的数量关系；(2)设未知数，可直接设元，也可间接设元；(3)列方程,根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程;(4)解所列的方程 并检验解的正确性;(5)写出答案可简记为一审、二设、三列、四解、五答.课堂导学一、新知探究Point 1列方程组解应用题(重点)1.阅读教材P99 “探究1”，完成下列问题.(1)题中有哪些已知量？哪些未知量？【解】已知量：原有 30头大牛，15头小牛，且这些牛1天约用饲料675 kg,还知道一周后又购进 12头大 牛和5头小牛，这时42头大牛和20头小牛l天约需饲料940 kg.未知量：1头大牛和1头小牛1天约

22、需饲料各多少？(2)题中等量关系有哪些？【解】30头大牛1天所需饲料+ 15头小牛1天所需饲料=675 kg;42头大牛1天所需饲料+ 20头小牛1天所需饲料=940 kg.(3)如何解这个应用题？【解】设平均每头大牛和每头小牛1天各约需饲料xkg和ykg,根据题意列方程，得30x 15y 675,解这个方程组，得42x 20 y 420.20, 5.答：每头大牛1天约需饲料20kg,每头小牛1天约需饲料5kg.因此，饲料员李大叔对大牛的食量估计较 准确，对小牛的食量估计偏高.2.阅读教材P99 “探究2”，完成探究问题：(1) “甲、乙两种作物的单位面积产量比是1: 2”是什么意思？【解】若

23、甲种作物单位产量是n,则乙种作物单位产量是2a.(2) “甲、乙两种作物的总产量比为3:4”是什么意思？【解】种植甲种作物的总产量：种植乙种作物的总产量=3:4.(3)题中有哪些等量关系？【解】等量关系有种植甲种作物的面积+种植乙种作物的面积=总面积；种植甲种作物的总产量：种植乙种作物的总产量=3(4)图8 31, 一种种植方案为甲、乙两种作物的种植区域分别2为长方形 AEFD和BCFE.此时设 AE = xm. BE=ym.根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组E x y 200,解这个方程组，得x 120,也4 100x 3 2 100y.y 80.图 8一3_过长方形土地的长边上离

24、一端约120 m处，把这块土地分为两块长方形土地.较大的一块土地种里种作物.较小的一块土地种 乙种作物.(5)你还能设计其他的种植方案吗？试试看.【解】如图8 31',设DE = x, EA=y,过点E作BC的垂线,垂足为点F,根据题意列方程组，得x y 100,4 200x 3 2 200 y.200c曰 x解得 y60,40.所以此题还可以把长方形的宽分为两部分，成为两个长方形，使较大的一块土地种甲种作物，较小的一块土地种乙种作物.3.阅读教材P100 “探究3”，完成下列问题.(1)销售款与什么有关？原料费与什么有关？【解】销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关.(2)设制成

25、xt产品，购买yt原料.根据题中的数量关系填下表产品上t原料y t合计公路运费/元L 5x20xL SxlOv1.5(20K+10y)铁路运费/元L2xll0xL2xl20vL2(110x+120v)价值/元8 000 x1 OOOy(3)题目所求数值是 产品销售款 (原料费+运输费)为此需先解出 产品重(x)与原料重(v) .由上表可列方程组1.5(20x 10 y) 15000,1.2(110x 120y) 97200.曰 x解得 y300,400所以8 000x-(1000y+ 15 000+97 200) =1 887 800.因比，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 8

26、00 元.知识总结(1) 列方程组解应用题的步骤 ：审题，弄清题意及题目中的数量关系；设未知数；列方程组， 根据题目中的相等关系列出方程组；解所列方程组，并检验解得正确性与实际意义；写出答 案，可简记为审、设、歹h解、答.(2) 拓展：设未知数时，一般采用直接设元法，但根据题目特点也可采用间接设元法.point 2列方程组解应用题的常见类型及数量关系(重点)1 .李明同学早上骑白行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分.他骑自行车的平均速度是250米/分，步行的平均速度是 80米/分，他家离学校的距离是2 900米.如果他骑车和步行的时间分别为x分，y分，那么列列出的方程组是x

27、y 15, 250x 80y 2900.2 . 一个三位数，各数位上的数字之和为13,十位上的数字比个位上的数字大2.如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99,求这个三位数.【解】这个三位数是 364.3 . 一张方桌由一张桌面和四根桌腿做成，已知1立方米木料可做桌面 50个或桌腿300根，现有5立方米木料，恰好能做桌子多少张？【解】能做成桌子150张.4 .古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由 A, B两个工程队先后接力完成.A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天.求A, B两工程队分 别整治河道多少

28、米？【解】A工程队整治河道 60米，B工程队整治河道120米知识总结列方程组解虚用题的常见类型及数量关系：(1)行程问题：路程=速度X时间；(2)数字问题：两位数=十位数字X 10+个位数字；三位数=百位数字X 100+十位数字X 10+个位数字；(3)销售问题：销售额=销售单价X销售数量，利润=售价一进价；列方程组解应用题的常见类型及数量关系：(4)工程问题：工作总量=工作效率X工作时间；(5)顺、逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度一水流速度；(6)利率问题：利息=本金X利率X期数；(7)产品配套问题：A产品加工总量与 B产品加工总量成比例.二、典例精讲【例1】一列快

29、车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒，求两车的速度.【解】快车的速度为 55米/秒，慢车的速度为 33米/秒.【例2】某商场购进商品后，加价 40%作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定甲、乙两种商品分别以七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品，共付款399元.已知这两种商品原售价之和为 490元，问甲、 乙两种商品的进价分别是多少元？【解】甲、乙两种商品的进价分别是150元、200元.8. 4 二元一次方程组的解法学习目标重点：月代入法或加减法解三元一次方程组.难点：根据具体问题中的数量关系列出三元一次方程组解决简

30、单的实际问题.课前准备1 .二元一次方程组的概念是什么？2 .解二元一次方程组的基本方法有哪几种？它们的实质是什么？【解】略.课堂导学一、新知探究Point 1三与一次方程组的概念(重点)1 .阅读教材P103第2自然段的内容，解决下列问题,题目中有三个未知量，有三个等量关系.如果设把三个等量关系列出的方程组合在一起写成1元、2元和5元的纸币分别为 x张、y张和z张，则可以x y z 12, x 2y 5z 22, x 4y.x y 1,(1) 2y z 2, (2)3y 6;x 2, 2y 3, (3) x z 1;a b c 12, 2a b c 3, (4)a b c 2;5a 2b 3

31、,5a 2c 7.3 .观察以下几个方程组，看看它们有什么共同点?【解】略.知识总结1,并且方程组中的每个方程都是方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是 整式方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.注意：（1）三元一次方程组需要满足的条件：是整式方程；含有三个未知数；含有未知数的项的次 数都是1 .三个条件缺一不可.（2）三元一次方程组中的每个方程不一定都是三元一次方程，但整个方程组中必须含有三个未知数.point 2三元一次方程组的解法（重点）1 .如何解三元一次方程组：x y z 12,x 2y 5z 22,x 4y.对于这个方程组，消哪个元比较方便？理由是什么？【解】消去未知数 x比较方便，理由：直接把分别代人就可以消去未知数z,得到一个二元一次方程组.2 .请你试着解1中的方程组.【解】将代人，得4yy z 12,即5y z12,解这个方程组，得y2,4y2y 5z 22,6y 5z22,z2,把y = 2代人，得x= 8. x= 8.x 8,所以原方程组的解是y 2,z 2.3 .在解1中的方程组时，你用的是什么消元方法？你还有什么方法？试着解一下.【解】用的是代人消元法，还有加减消元法.用加减消元法解这个方程组：x5，得4x+3y= 38.x 4y -x 8.与组成方程组y,解这个方程组，得 ,4x 3y 38.y 2.x 8.把