《命题及其关系》教案3(新人教A版选修2-1)

1、主备人授课人授课日期课题命题及其关系课型新授教学目标：理解充要条件的概念掌握判断命题条件的充要性的方法，把充要条件的思想自觉地运用到解题之中.教学重点：命题条件的充要性的正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序教学手段：多媒体教学过程备课札记一、创设情境由上节内容可知，一个命题条件的充分性和必要性可分为四类：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件（充要条件）；既小充分也不必要条件。问题1:探讨下列生活中名言名句的逻辑关系.（1）水滴后穿（2）骄兵必败（3）有志者事克成（4）头发长，见识短 （5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛（7）兔子尾巴长不了 （8）不到长城非好汉 （9）春回

2、大地，万物复苏 （10）海内存知己（11）蜡炬成灰泪始干 （12）玉不琢，不成器说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰所在所难免，作为教师，只耍学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”，教师可以根据自己班级的情况选讲其中的部分.二、活动尝试命数学中有很多可逆的命题，如（1）若a是无理数，则a+5是无理 数；（2）若 a>b,则 a+c>b+c;（3）右一元一次方程 ax2+bx+c=0有两个不等的实根，则判别式 A>0.这些可逆的命题，反映在逻辑关系上就是

3、命题的条件具后允要性。本节课我们主要来研究命题中既充分又必要的条件问题。三、师生探究问题2：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1) p： x>2, q： x>1;(2) p： x>1,q : x>2;(3) p： x>0 ,y>0 , q： x+y<0;(4) p： x=0, y=0, q： x2+y2=0.解：(1) < x>2= x>1,p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2) ; x>1=x>2,但x>2= x>1 ,p是q的必要条件，q是p的充分条 件.(3) x>0 ,y&

4、gt;0 =x+y<0 , x+y<0 士吠>0 ,y>0 ,，p 不是 q 的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.(4) . x=0 , y=0= x2+y2=0,p是q的充分条件，q是p的必要条件； 又x2+y2=0= x=0 , y=0,q是p的充分条件，p是q的必要条件.在问题中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我 们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件 .下面我们用数学语言来 表述这个概念.四、数学理论1 .相关的概念如果既有p= q,又有q= p,就记作pu q。我们就说，p和q互为的充 要条。说明：符

5、号“ U ”叫做等价符号.“pu q”表示“ pn q且pu q”；也 表示“p等价于q” .“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当” 表示“充分”，“仅当”表示“必要”.2 .充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推出结论， 从结论推出条件(方法有：直接证法或间接证法)； 确定条件是结论的什么条件.、充要性包含：充分性 pn q,必要性qn p这两个方面，缺一不可。 五、巩固运用例1:两条不重合的直线11、12(共同前提).li与I2的斜率分别为 I、k2, 且ki=k2是li / I

6、2的什么条件？延伸：如何改变命题的条件(或结论),使命题的条件是结论的充要条件呢？把命题的结论改为“ li /12,且11、12都有斜率”即可.例 2:设 A= x I -2 <x< a, B= y | y=2x+3,x A, M= Z | Z=x2,x £ A. 求使2B的充要条件是什么？解：A= x I -2 < x< a ,M= Z | Z=x2,x £ A.B= y I y=2x+3,x C A = y | -1 <y<2a+3.当-2 wav0 时，M= Z|a&Zw4.当 0WaW2时，M= Z | 0WZW4.当 a

7、>2 时，M= Z | 0<Z< a2.当-2Wa<2 时，MB= 4<2a+3,即1WaW2;2当 a>2 时，MQBu a2w2a+3,即 2vaW3.一一,、一，1综上可知，所求的充要条件为waw 3.22- 例3:求证头系数一兀二次万程x + px+q =0有两个异方根的充要条件是q ：二0.解析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里 的条件和结论各是什么。证明：(1)先证充分性- - q <0.，方程 x2 + px +q =0的 = p2 -4q >02，万程x + px+q =0有两个不相等的实根，设其为x1

8、，x2。2- xx2=q<0，万程x + px+q = 0有两个异方头根(2)再证必要性,方程x2 +px+q =0有两个异号实根，设其为x1, x2x< x2 <0 x/ x2 =qq <0由(1) (2)原命题得证。评析 注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化 六、回顾反思本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果gq且q=p,则p是q的充要条件.七、课后练习1. "

9、;xy > 0"是x+y | = | x | + | y I ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. "An B=A'是人=8的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在卜列电路图中，闭合开关 A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示,开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示,开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示,开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；4 .抛物线y=ax2+bx+c (a丰0)的对称轴为x=2的充要条件是5.判断

10、下列各题中条件是结论的什么条件:(1)条件 (2)条件6.已知全集 为何值时.A： ax2+ax+1 >0 的解集为 R,结论 B： 0vav4;p : A£B,结论 q : AU B=B.R, A= x | | x-3 | >6, B= x | | x | > a,a N.当 aA是B的充分而不必要条件;A是B的必要而不充分条件;A是B的充要条件.八、参考答案：4.5.A2. B3.图(1):充分但不必要条件；图(2):必要但不充分条件;图(3):充要条件；图(4):既不充分也不必要条件.4a+b=0解：(1) .=a2-4a <0,即 0<a<

11、 4，当 0vav4 时，ax2+ax+1 >0恒成立.故A.而当a=0时，ax2+ax+1>0恒成立，A分B.故A为B的必要不充分条件.(2)A£B=> AU B=B,而当A=B时，AU B=B,即q今p 二. p为q的充分不必要条件.6.使p >4时，“4x+p<0"是"x2-x-2 >0”的充分条件，不存在实数p,"4x+p< 0"是"x2-x-2 > 0”的必要条件.思考题：试寻求关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.解法1:关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根0 方程在(0,1)至 02,-c2 2m 4n >0m 4n >0,0 < -m <12<m<02<m<0内有实根u<2 u (.f(0)>0n>00<n<1f(1)>01+m + n>0 J+m + n>0解法2: