初中数学二次函数难题汇编及答案解析

1、初中数学二次函数难题汇编及答案解析一、选择题1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(-l, 2)和点N(l, -2),则下列说法错误的 是()A. a+c=OB.无论。取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长 度必大于2C.当函数在XV2时，y随x的增大而减小2D.当-lVmVcVO 时，m+nV a【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可.【详解】解：函数经过点M(-l, 2)和点Ml，-2),Aa - b+c=2, a+b+c= - 2,/ a+c=O, b= - 2,:.R正确；Vc= - a9 b= - 2

2、,.y=axAm+n< ； - 2x - o,AA=4+4a2>0,无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点， 2 X1+X2= , X1X2= - 19 a|X1 - X2I =2 Jl + 与 >2,8正确：二次函数 y=ax2+bx+c(o>0)的对称轴 x=-=-, 2a 。当。>0时，不能判定xV，时，y随x的增大而减小；C错误；l<m<n<0. a>0,.2.m+n<0» >0, a。正确，故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.2.如图，抛物线y=ax2+bx+c

3、 （a。）过点（1, 0）和点（0, -2）,且顶点在第三象限,设P=a-b+c,则P的取值范围是（）C. - 2<P<0D. - l<P<0【答案】A【解析】【分析】【详解】解:二次函数的图象开口向上，a>0.对称轴在y轴的左边，-匕0.，b>0. 2a图象与y轴的交点坐标是（0, -2）,过（1, 0）点，代入得:a+b - 2=0.Aa=2 - b, b=2 - a. Ay=ax2+ （2 - a） x - 2.把 x=-l 代入得：y=a - （2 - a） - 2=2a - 4, Vb>0, Ab=2 - a>0. Aa<2.Va

4、>0, A0<a<2. .0<2a<4. A -4<2a -4<0,艮|J-4VPV0.故选A.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.3.如图，二次函数丁 = 4*!+云+。= 0（。0）的图象与1轴正半轴相交于4、8两点， 与）'轴相交于点C,对称轴为直线x = 2,且OA = OC,则下列结论： abc>0； 9a + 3b+c<0； 0-1；关于工的方程 +bx+c = 0（。0）有一个根为-L,其中正确的结论个数有（）aA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析

5、】由二次图像开口方向、对称轴与y轴的交点可判断出a、b、c的符号，从而可判断；由 图像可知当x=3时，y<0,可判断：由OA=OC,且0AV1,可判断；把-J代入 方程整理得ac2 bc + c=O,结合可判断：从而得出答案.【详解】由图像开门向下，可知aVO,与y轴的交点在x轴的下方，可知cVO,又对称轴方程为x=2, A>0, Ab>0, Aabc>0,故正确;由图像可知当x=3时，y>0, ；9a +2cl3b + c>0,故错误；由图像可知OAV1, .OA=OC, OCV1,即-cVl,故正确；假设方程的一个根为X=- 1,把代入方程，整理得觉2

6、bc + c = O,即方程有一 a a个根为x=-c,由知-c=OA,而当x=OA是方程的根，x=-c是方程的根，即假设 成立，故正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次 函数的相关知识是解答此题的关键.【答案】A【解析】【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0,其顶点坐标为(0, a)与图 形中的顶点坐标不符：若二次函数的图形为第二个，则b=0,根据顶点坐标有a?=3,由抛 物线与x的交点坐标得到x2=-a,所以a=-4,它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把 点(-1, 0)代入解析式得到a-b+a2+b

7、=0,解得a=-l；若二次函数的图形为第四个，把(-2, 0) 和(0, 0)分别代入解析式可计算出a的值.【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0, y=ax，a2,其顶点坐标为(0,a2),而a?。，所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0, y=ax2+a2, a2=3,而当y=0时，x2=-a,所以-a=4, a=-4,所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=-1, y=0,则a-b+a2+b=0,所以a=-l；若二次函数的图形为第四个，令x=0, y=0,则a2+b=0；令x=-2, y=0,则4a-

8、2b+a2+b=00,由得a=-2,这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a，0)的图象与系数的关系：a>0,开口向上；aVO,开口bb 4tic - it，向下；抛物线的对称轴为直线x=k；顶点坐标为(丁，)：也考查了点在抛物线2a2a 4a上则点的坐标满足抛物线的解析式.5.在抛物线y=a (x - m - 1) 2+c (aO)和直线y= - yx的图象上有三点(xm)、 (x2, m)、 (x3, m),则 X1+X2+X3 的结果是()31A. -m + - B. 0C. 1D. 222【答案】D【解析】

9、【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果.【详解】解：如图，在抛物线y=a (x - m - 1) 2+c (awO)和直线y= -的图象上有三点A(Xi, m)、B (x2, m)、C (x3, m),Vy=a (x - m - 1) 2+c (a。)抛物线的对称轴为直线x=m+l,X, + X.:.-=m+l,2，X2+X3=2m+2,VA (xi, m)在直线 y= - ；x 上，A Xi= - 2m,A Xi+X2+X3= - 2m+2m+2 = 2.【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结 合思想画出函数图形.

10、6.如图，二次函数y = "2+/?x+c的图象如图所示，则一次函数丁 =依+。和反比例函数）=2在同平面直角坐标系中的图象大致是（）【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a, b, c的值取值范围，进而利用一次函数与反比 例函数的性质得出答案.【详解】;二次函数y=ax?+bx+c的图象开口向下,，aVO,;二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，/ c=0,二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴左侧，a, b同号，Ab<0,一次函数y=ax+c,图象经过第二、四象限，反比例函数y=2图象分布在第二、四象限， x故选D.【点睛】此题主要考查了反比例函数

11、、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关 键.7 .定义a, b, c为函数y=ax?+bx+c的特征数，下面给出特征数为2m, 1-m, -1-m的函数 的一些结论，其中不正确的是（）1 QA.当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（，；）3338 .当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于大2C.当mxO时，函数图象经过同一个点D.当m<0时，函数在x>?时，y随x的增大而减小4【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入2m, 1-m, -1-m,求得a, b, c,求得解析式，利用顶点坐标公 式解答即可；B、令函数值为0,求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公

12、式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答.详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为2m, 1 - m, - 1 - m；1 Q1 Q1X2 -A、当m= - 3时，y= - 6x2+4x+2= - 6 （x - - ） 2+-,顶点坐标是（孑，-）：此结论正 确；令 y=0,有 2mx2+ (1 - m) x+ ( - 1 - m) =0,解得：xi=lt12机，3 133|X2-X1| = - + >-,所以当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于三，此结2 2m22论正确；C、当 x=l 时，y

13、=2mx2+ （1 - m） x+ （ - 1 - m） =2m+ （1 - m） + （ - 1 - m） =0 即对任意 m,函数图象都经过点（1, 0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1, 0）,当mM时，函数图象经过同一个点（1, 0）,故当mxO时，函数图象经过x轴上一 个定点此结论正确.D、当mVO时，y=2mx2+ （1 - m） x+ （ - 1 - m）是一个开I I向下的抛物线，其对称轴 是：直线x="二，在对称轴的右边y随X的增大而减小.因为当mVO时， 4m二m 即对称轴在x=?右边，因此函数在x=：右边先递增到对称轴位置， 4 4m 444再

14、递减，此结论错误；根据上面的分析，都是正确的，是错误的.故选D.点睛：考杳二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐 标特征.8 .足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线.不 考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m）与足球被踢出后经过的时间t （单位： s）之间的关系如下表： 下列结论：足球距离地面的最大高度为20m；足球飞行路线的对称轴是直线/ = 5； 足球被踢出9s时落地；足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论 的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】【详解】解：由题意，

15、抛物线的解析式为片曲（x-9）,把（1, 8）代入可得。=-1,:.y= - （f- 4.5） 2+20.25,足球距离地面的最大高度为20.25m,故错误，抛物线的对称轴t=4.5,故正确，f=9时，片0,足球被踢出9s时落地，故正确，飞1.5时，片11.25,故错误，正确的有,故选B.t01234567 h08141820201814 9 .二次函数y=x2+bx的对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程M+bx-t=0 （t为实数）在-1VXV4的范围内有解，则t的取值范围是（）A. 0<t<5B, - 4<t<5C. - 4<t<0D. t>

16、 - 4【答案】B【解析】【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程W+bx-tnO的解可以看成二次函 数y=x2-4x与直线y=t的交点，-1VxV4时-4yV5,进而求解；【详解】解：对称轴为直线x=2,:.b= - 4,Ay=x2 - 4x,关于X的一元二次方程x2+bx -t=O的解可以看成二次函数y=x2 -4x与直线y=t的交点，:. l<x<4,二次函数y的取值为-4yV5,:.-4<t<5；故选：B.【点睛】本题考杳二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数 与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键.10

17、 .如图是二次函数y = M+bx + c的图象，有下面四个结论：4c>0；c 4 > 0,其中正确的结论是（）C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a>0,根据对称轴x = 2>。得到b<o,根据抛物线与y轴 2cl的交点在X轴下方得到cvO,所以由?c>0； x = T时，由图像可知此时y >0,所以a-b + c>0；由对称轴工=可得2 + 3/? = 0；当x=2时，由图像可知此时2a 3y>0,即4o + 2h + c>0，将2。= 一3/?代入可得c-4/?>0.【详解】根据抛物线开口方向得到。&

18、gt;0,根据对称轴工=-±>。得到b<o,根据抛物线与y 2a轴的交点在X轴下方得到c<0,所以abc>0,故正确.x 二 -l时，由图像可知此时y>0,即4一+ c>0,故正确.由对称轴1=一=，可得2i + 3b = 0,所以2。+3b>0错误，故错误；当x = 2时，由图像可知此时>>0,即4i + 2h+c>0,将中2a + 3 = 0变形为2。= 36,代入可得c4>0,故正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。11 .已知二次函数y=ax2+bx+c的

19、图像如图所示，则下列结论正确的个数有（） c>0；4acV0：ab+c>0：当x> 1时，y随x的增大而减小.【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后 根据抛物线与x轴交点及x=-l时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判 断.【详解】解：由图象可知，aVO, c>0,故正确；抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0,故 错误;当x=-l时，y>0,即a-b+c>0,故正确；由图象可知，图象开口向下，对称轴x>-l,在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而在对 称轴左侧和-1

20、之间，是y随x的增大而减小，故错误.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当 a>0时，抛物线向上开I；当aVO时，抛物线向下开口； 一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在 y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0, c）.抛物线与x轴交点 个数由判别式确定：=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线 与x轴有1个交点；=b2-4acV0时，抛物线与x轴没有交点.12 .已知二次函数y =2以3。（。工0）,关

21、于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（）A.该图象的顶点坐标为（1,4。）B.该图象与x轴的交点为（一1,0）,（3,0）C.若该图象经过点（2,5）,则一定经过点（4.5）D.当x>l时，>随工的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】解：y=a （x2-2x-3）=a （x-3） （x+1）令 y=0,A x=3 或 x=-l, 抛物线与x轴的交点坐标为（3, 0）与（-1, 0）,故B成立； 抛物线的对称轴为:x=l,令 x=l 代入 y=ax2-2ax-3a, /.y=a-2a-3a=-4a,，顶点坐标为（1, -4a）,

22、故A成立；由于点（-2, 5）与（4, 5）关于直线x=l对称， 若该图象经过点（-2, 5）,则一定经过点（4, 5）,故C成立；当x>l, a>0时，y随着x的增大而增大，当x>l, aVO时，y随着x的增大而减少，故 D不一定成立；故选：D.【点睛】本题考杳二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型.13 .如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=；x刻画，下列结论错误的是（）B.C.D.小球距0点水平距离超过4米呈下降趋势小球落地点距O点水平距离为7米当小球抛出高度达到7.5m时，

23、小球距。点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数 性质判断8；求出当=7.5时，x的值，判定£).【详解】解：1 、y = 一一1一+ 4x21 y = -x2解得，8=0Jl=°x2 = 77 , y,= .- 27-：7=1 ： 2, AA 2正确:小球落地点距。点水平距离为7米，C正确;/ 1 、y = 4%厂.2= -i(x-4)2 + 8,则抛物线的对称轴为x = 4,.当x4时，)随工的增大而减小，即小球距。点水平距离超过4米呈下降趋势，B正 确，当y = 7.5时，7.5 = 4%

24、一；/,整理得/一8工+15 = 0,解得， = 3, & = 5 ,当小球抛出高度达到7.5加时，小球水平距O点水平距离为或5"，D错误，符合题 意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的一坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数 的性质是解题的关键.14 .如图，在边长为4的正方形A6C0中，动点尸从A点出发，以每秒1个单位长度的 速度沿A6向8点运动，同时动点。从6点出发，以每秒2个单位长度的速度沿fC。方向运动，当夕运动到8点时，P、。点同时停止运动.设夕点运动的时间为 t秒，&4尸。的面积为S,则表示S与之间的函数关系的图象大致是（）【答案】D

25、【解析】【分析】本题应分两段进行解答，点P在AB上运动，点Q在BC上运动；点P在AB上运动, 点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式，即可判断得出答案.【详解】解：当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，此时，AP = f, BQ = 2ts APO = -t-2t = r,函数图象为抛物线；当点P在AB上运动，点Q在BC上运动时，此时，AP = t, AP。底边AP上的高保持不变S"P0 = 144 = 2f ,函数图象为一次函数；故选：D.【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S与1之间的函数关系是解此题的关 键.15 .已知抛物线y=M+ （2a+l） x+M

26、-a,则抛物线的顶点不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得.【详解】抛物线y=x2+ （2a+l） x+a2 - a的顶点的横坐标为：x= - - = -a- y ,加小七二4（标。） （2。+ 1、1纵坐标为：y= _1L_ = - 2a - 丁，443，抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y=2x+,4抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.16 .已知二次函数y=o/+bx+c的图象如图所示，那么

27、下列结论中正确的是（）A. ac>0B. b>0C. a+c<0D. a+b+c=O【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】A.由图象可知：aVO, c>0,.acVO,故人错误；B,由对称轴可知：x=VO,2abVO,故8错误；C.由对称轴可知：x=- = - 1, 2a:.b = 2a,；x=l 时，y=O,:.a+b+c=O,，c= - 3a,A a+c=a - 3a= - 20>O,故 C 错误；故选D.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.17 .平移抛物线= V得到抛物线使

28、得抛物线的顶点关于原点对称的点仍在抛物线77上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线Z：的是（）A.B.C.D.向右平移1个单位,向左平移1个单位,3向左平移；个单位,2向左平移3个单位,再向下平移2个单位再向下平移2个单位9再向下平移一个单位 2再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可.【详解】 解：由A选项可得/为：y = （x l尸一 2,则顶点为（1, -2）,顶点（1,-2）关于原点的对称点为（-1, 2）, 当x=-l时，y=2,则对称点在该函数图像上，故A选项不符合题意;由B选项可得/为：y = （x

29、+l）、2,则顶点为（-1, -2）,顶点（-1,-2）关于原点的对称点为（1, 2）, 当X = 1时，y = 2,则对称点在该函数图像上，故B选项不符合题意：39由c选项可得I；为：y = （x+-）2-,393939则顶点为（-2,顶点-）关于原点的对称点为（士，一）， 22222239当x=；y时，y=一，则对称点在该函数图像上，故C选项不符合题意： 22由D选项可得为：y = （x + 3）29,则顶点为（-3, -9）,顶点（-3, -9）关于原点的对称点为（3, 9）,当x=3时，y=27工9,则对称点不在该函数图像上，故D选项符合题意； 故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图像

30、的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减''是解决本题 的关键.18.如图1,在aABC中，N8 = 90。，ZC=30°,动点、P从点、B开始沿边BA、AC向点、C以 恒定的速度移动，动点Q从点8开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点 C,设A8PQ的面积为y （cm?）.运动时间为* （s） , y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3： JT，根据x=2, y=6jr，确定P、Q运动的速度，即可求解.【详解】解：设八8=a, ZC= 30°,则 4c=2a, 8C=JJa,设P、Q同时到达的时间为丁, 则点P的速度为半，点Q的速度为半，故点P、Q的速度比为3：故设点P、Q的速度分别为：3v、由图2知，当x=2时，y=6g此时点P到达点4的位置，即4B=2x3v=6v,BQ=2x y/3 v=2 y/3 v,y= ABxBQ= 'x6vx2yf3 V=6y/3 f 解得:v=l,故点P、Q的速度分别为：3, AB=6v=6 = a, 则 4c=12, 8c=6百，如图当点P在AC的中点时,PC=6,此时点P运动的距离为48+AP=12,需要的时间为12+3=4,则 BQ=A=4G