三维设计高考数学大一轮复习讲义备考基础查清热点命题悟通函数导数及其应用理苏教版

1、第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1函数映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函

2、数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法3分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数3

3、误把分段函数理解为几种函数组成试一试1(2013·苏锡常镇一调)已知常数t是负实数，则函数f(x)的定义域是_解析：因为f(x)，则(x3t)(x4t)0.又t<0，所以x3t，4t答案：3t，4t2(2013·扬州期末)已知函数f(x)则f(f(0)_.解析：因为f(0)301，所以f(f(0)f(1)log210.答案：0求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已

4、知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)练一练1设g(x)2x3，g(x2)f(x)，则f(x)等于_解析：f(x)g(x2)2(x2)32x7.答案：2x72若f(x)x2bxc，且f(1)0，f(3)0，则f(x)_.解析：由题意得解得f(x)x24x3.答案：x24x3考点一函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是_(填写序号)yx1与yy与yy4lg x与y2lg x2ylg x2与ylg答案：2以下给出的同组函数中，是

5、否表示同一函数？为什么？(1)f1：y；f2：y1.(2)f1：yf2：xx11<x<2x2y123(3)f1：y2x；f2：如图所示解：(1)不同函数f1(x)的定义域为xR|x0，f2(x)的定义域为R.(2)同一函数x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式(3)同一函数理由同(2)备课札记类题通法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数考点二函数的定义

6、域问题函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分.归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一求给定函数解析式的定义域1(1)(2013·山东高考改编)函数f(x)的定义域为_(2)(2013·安徽高考)函数yln的定义域为_解析：(1)由题意，自变量x应满足解得，3<x0.(2)要使函数有意义，需即即解得0<x1，所以定义域为(0,1答案：(1)(3,0(2)(0,1角度二已知f(x)的定义域，求f(g(x)的定义域2已知函数f(

7、x)的定义域是1,1，求f(log2x)的定义域解：函数f(x)的定义域是1,1，1log2x1，x2.故f(log2x)的定义域为.备课札记角度三已知定义域确定参数问题3(2014·合肥模拟)若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x22axa10对xR恒成立，即2x22axa1，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案：1,0类题通法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)若已知函数f(x)的定义

8、域为a，b，则函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出考点三求函数的解析式典例(1)已知fx2，求f(x)的解析式(2)已知flg x，求f(x)的解析式(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)(4)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，求函数f(x)的解析式解(1)由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22(x2或x2)(2)令1t得x，代入得f(t)lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x>1)(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由

9、f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x(xR)(4)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x，得2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)，得f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)备课札记类题通法求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；(3)配凑法；(4)解方程组法针对训练1已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：设t1，则x(t1)2(t1)；代入原式有f(t)(t1)

10、22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21(11)，即f(x)x21(x1)2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，c1，故f(x)x22x1.考点四分段函数典例(2011·江苏高考)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析当a>0时，1a<1,1a>1.这时f(1a)2(1a)a2a，

11、f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a<0时，1a>1,1a<1，这时f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a.由f(1a)f(1a)得1a23a，解得a.综上可知，a的值为.答案备课札记类题通法分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论针对训

12、练设函数f(x)若f(x)>4，则x的取值范围是_解析：当x<1时，由f(x)>4，得2x>4，即x<2；当x1时，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<2，由于x1，所以x>2.综上可得x<2或x>2.答案：(，2)(2，)课堂练通考点1(2013·南京一模)函数y的定义域是_解析：由2xx20得0x2，故函数的定义域为0,2答案：0,22(2013·苏北四市二调)若函数f(x)则函数yf(f(x)的值域是_解析：当x<0时，f(x)2x(0,1)，故yf(f(x)2f(x)；当x>0

13、时，f(x)2x(1,0)，故yf(f(x)2f(x)，从而原函数的值域为.答案：3函数y(x1)0ln(x)的定义域为_解析：由题意知，x(，1)(1,0)答案：(，1)(1,0)4已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)_.解析：由f(1)f(2)0，得所以故f(x)x23x2.所以f(1)(1)2326.答案：65已知f(x)x21，g(x)(1)求f(g(2)与g(f(2)；(2)求f(g(x)与g(f(x)的表达式解：(1)g(2)1，f(g(2)f(1)0；f(2)3，g(f(2)g(3)2.(2)当x>0时，f(g(x)f(x1)(x1)21x22x；当x&

14、lt;0时，f(g(x)f(2x)(2x)21x24x3.所以f(g(x)同理可得g(f(x)课下提升考能第组：全员必做题1已知集合A0,8，集合B0,4，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是_(填写序号)f：xyxf：xyxf：xyxf：xyx解析：按照对应关系f：xyx，对中某些元素(如x8)，中不存在元素与之对应答案：2(2014·南昌模拟测试)函数f(x)的定义域是_解析：由题意得解得x>且x1.答案：x|x>且x13(2014·温州高三第一次适应性测试)设函数f(x)，那么f(2 013)_.解析：根据题意，当x5时，f(x)f(x5)，f(2

15、 013)f(3)，而当0x<5时，f(x)x3，f(3)3327.答案：274(2014·连云港期末)已知函数f(x)则使ff(x)2成立的实数x的集合为_解析：当x0,1时，f(f(x)f(2)2成立；当x0,1时，f(f(x)f(x)x，要使f(f(x)2成立，只需x2，综上所述，实数x的集合为x|0x1或x2答案：0,125根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有4<A，且30.联

16、立解得c60，A16.答案：60,166设函数f(x)满足f(x)1flog2x，则f(2)_.解析：由已知得f1f·log22，则f，则f(x)1·log2x，故f(2)1·log22.答案：7已知函数f(x)若f(f(1)>3a2，则a的取值范围是_解析：由题知，f(1)213，f(f(1)f(3)326a，若f(f(1)>3a2，则96a>3a2，即a22a3<0，解得1<a<3.答案：(1,3)8有以下判断：(1)f(x)与g(x)表示同一个函数(2)f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数(3)若f(x)|x1

17、|x|，则f0.其中正确判断的序号是_解析：对于(1)，函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一函数；对于(3)，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是(2)答案：(2)9设函数f(x)若f(a)f(1)2，则a_.解析：若a0，则12，解得a1；若a<0，则12，解得a1.故a±1.答案：±110二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.则f(x)_.解析：设二次函数f(x)ax2bxc(a0)f(0

18、)1，c1.把f(x)的表达式代入f(x1)f(x)2x，有a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x.2axab2x.a1，b1.f(x)x2x1.答案：x2x1第组：重点选做题1.具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是_(填序号)解析：对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.答案：2若函数f(x)，则(1)_.(2)f(3)f(4)f(2 012)fff_.解析：(1)f(x)f0，1(x±1)，1.(2)又f(3

19、)f0，f(4)f0，f(2 012)f0，f(3)f(4)f(2 012)ff0.答案：(1)1(2)03(2013·苏北四市一检)定义在R上的函数f(x)满足f(mn2)f(m)2f(n)2，m，nR，且f(1)0，则f(2 014)_.解析：令mn0，得f(002)f(0)2f(0)2，所以f(0)0；令m0，n1，得f(012)f(0)2f(1)2，由于f(1)0，所以f(1)；令mx，n1，得f(x12)f(x)2f(1)2，所以f(x1)f(x)2×2，即f(x1)f(x)，这说明数列f(x)(xZ)是首项为，公差为的等差数列，所以f(2 014)(2 0141

20、)×1 007.答案：1 0074规定t为不超过t的最大整数，例如12.612，3.54，对任意实数x，令f1(x)4x，g(x)4x4x，进一步令f2(x)f1g(x)(1)若x，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)1，f2(x)3同时满足，求x的取值范围解：(1)x时，4x，f1(x)1.g(x).f2(x)f1g(x)f133.(2)f1(x)4x1，g(x)4x1，f2(x)f1(4x1)16x43.x<.故x的取值范围为.第二节函数的单调性与最值1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1<x2，则有

21、：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)>f(x2)2单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区

22、间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比试一试1(2013·苏锡常镇二调)函数f(x)2xlog2x(x1,2)的值域为_解析：因为y2x，ylog2x在定义域内均为增函数，所以y2xlog2x在1,2上单调递增，故f(x)2,5答案：2,52函数f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f(4)8.答案：1,4

23、81判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求

24、出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域练一练1(2013·南京第一学期调研)命题甲：函数f(x)是奇函数，乙：函数f(x)在定义域上是增函数对于函数：(1)f(x)；(2)f(x)tan x；(3)f(x)x|x|；(4)f(x)能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是_解析：(1)(2)不满足在定义域上是增函数，(3)(4)满足，且(3)(4)是奇函数答案：(3)(4)2函数f(x)在区间2,3上的最大值是_，最小值是_答案：考点一求函数的单调区间1.函数f(x)log5(2x1)的单调增区间

25、是_解析：要使ylog5(2x1)有意义，则2x1>0，即x>，而ylog5u为(0，)上的增函数，当x>时，u2x1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：2函数yx|1x|的单调增区间为_解析：yx|1x|作出该函数的图像如图所示由图像可知，该函数的单调增区间是(，1答案：(，13设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，函数fk(x)的单调递增区间为_解析：由f(x)>，得1<x<1.由f(x)，得x1或x1.所以f(x)故f(x)的单调递增区间为(，1)答案：(，1)备课札记类题通法求

26、函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即(1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法考点二函数单调性的判断典例试讨论函数f(x)x(k>0)的单调性解法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，)内任取x1，x2，令x1<x2，那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).因为0<x1<x2，所以x2x1>0，x1x2>0.故当x1，x2(，)时，f(x1)<f(x2)，即函数在(，)上单调递增当x1，x2(0，)时，f(x1)>f(x2)，即函数在(0，)上单调递减考虑到函数f(x)x(k>0)是奇函数

27、，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(，)上单调递增，在(，0)上单调递减综上，函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减法二：f(x)1.令f(x)>0得x2>k，即x(，)或x(，)，故函数的单调增区间为(，)和(，)令f(x)<0得x2<k，即x(，0)或x(0，)，故函数的单调减区间为(，0)和(0，)故函数f(x)在(，)和(，)上单调递增，在(，0)和(0，)上单调递减备课札记类题通法1利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确针对训练判

28、断函数g(x)在 (1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1<x2，则g(x1)g(x2)，由于1<x1<x2，所以x1x2<0，(x11)(x21)>0，因此g(x1)g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)故g(x)在(1，)上是增函数考点三函数单调性的应用角度一求函数的值域或最值1已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x>0时，f(x)<0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解：(1)证明：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)

29、f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1>x2，则x1x2>0，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当x>0时，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)因此f(x)在R上是减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.备课札记角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1

30、(1,2)，x2(2，)，则f(x1)_f(x2)(填“>”或“<”)解析：函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)<f(2)0，当x2(2，)时，f(x2)>f(2)0，即f(x1)<0，f(x2)>0.答案：<角度三解函数不等式3已知函数f(x)则不等式f(a24)>f(3a)的解集为_解析：作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)>f(3a)，可得a24<3a，整理得a23a4<0，即(a1)(a4)<0，解得1<a<

31、4，所以不等式的解集为(1,4)答案：(1,4)角度四求参数的取值范围或值4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是 .答案：类题通法1含“f”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x)>f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于填空题能数形

32、结合的尽量用图像法求解课堂练通考点1(2013·无锡期末)已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：令max1，则函数ylog2(ax1)在(1,2)上单调递增等价于max1在(1,2)上单调递增，且ax1>0在(1,2)上恒成立，所以即a1.答案：1，)2函数f(x)|x2|x的单调减区间是_解析：由于f(x)|x2|x结合图像可知函数的单调减区间是1,2答案：1,23已知函数f(x)为R上的减函数，若m<n，则f(m)_f(n)(填“>”或“<”)；若f<f(1)，则实数x的取值范围是_解析：由题意知f(m)&g

33、t;f(n)；>1，即|x|<1，且x0.故1<x<1且x0.答案：>(1,0)(0,1)4函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_解析：由于yx在R上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.答案：35函数f(x)在区间(2，)上是递增的，求实数a的取值范围解：f(x)a.任取x1，x2(2，)，且x1<x2，则f(x1)f(x2).函数f(x)在区间(2，)上是递增的，f(x1)f(x2)<0.x2x1>0，x12>0，x22>0，12a<

34、;0，a>，即实数a的取值范围是.课下提升考能第组：全员必做题1(2013·苏北四市三调)已知函数f(x)为奇函数，则ab_.解析：当x>0时，x<0，由题意得f(x)f(x)，所以x2xax2bx，从而a1，b1，ab0.答案：02若函数f(x)4x2mx5在2，)上递增，在(，2上递减，则f(1)_.解析：依题意，知函数图像的对称轴为x2，即m16，从而f(x)4x216x5，f(1)416525.答案：253.定义新运算：当ab时，aba；当a<b时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_解析：由已知得当2x1时，f(x)x2

35、，当1<x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.答案：64若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是_解析：函数f(x)x22ax在区间1,2上是减函数，a1.又函数g(x)在区间1,2上也是减函数，a>0.a的取值范围是(0,1答案：(0,15(2014·苏中三市、宿迁调研)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)xex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为_解析：由f(x)是奇函数得f(ln 6)f(ln 6)(ln 6)eln 6ln 6.答案

36、：ln 66已知函数f(x)(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a_.解析：由反比例函数的性质知函数f(x)(a>0，x>0)在上单调递增，所以即解得a.答案：7设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：g(x)如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)8使函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故在(3，)上是增函数又函数y2，使其在(3，)上是增函数，故4k<0，得k<4.答案：(，4)9已知f(x)(xa)(1)若a

37、2，试证明f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1<x2<2，则f(x1)f(x2).(x12)(x22)>0，x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)任设1<x1<x2，则f(x1)f(x2).a>0，x2x1>0，要使f(x1)f(x2)>0，只需(x1a)(x2a)>0恒成立，a1.综上所述知0<a1.10已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x>1时，f(x)<

38、0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解：(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，f(9)2.f(x)在2,9上的最小值

39、为2.第组：重点选做题1(2013·南通二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x3,5时，f(x)2|x4|.下列不等关系：f<f；f(sin l)>f(cos l)；f<f；f(cos 2)>f(sin 2)其中正确的是_(填序号)解析：当x1,1时，x43,5，从而f(x)f(x4)2|x|，因为sin<cos ，所以f>f；因为sin l>cos l，所以f(sin l)<f(cos l)；因为<，所以f>f；因为|cos 2|<|sin 2|，所以f(cos 2)>f(sin 2)综上所

40、述，正确的是.答案：2若函数f(x)|logax|(0<a<1)在区间(a,3a1)上单调递减，则实数a的取值范围是_解析：由于f(x)|logax|(0<a<1)的递减区间是(0,1，所以有0<a<3a11，解得<a.答案：第三节函数的奇偶性及周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零

41、常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，f(x0)f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的试一试

42、1(2013·南通三模)对于定义在R上的函数f(x)，给出三个命题：若f(2)f(2)，则f(x)为偶函数；若f(2)f(2)，则f(x)不是偶函数；若f(2)f(2)，则f(x)一定不是奇函数其中正确命题的序号为_解析：根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x，若f(x)f(x)，则f(x)是偶函数从而命题错误，命题正确；对于常数函数，命题错误答案：2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_解析：f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.答案：1判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法：(2)图像法：2

43、周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.(a>0)练一练已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f，且f(1)2，则f(2 014)_.解析：f(x)f，f(x3)fff(x)f(x)是以3为周期的周期函数则f(2 014)f(671×31)f(1)2.答案：2考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x±1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1

44、)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)关于原点对称，又当x>0时，f(x)x2x，则当x<0时，x>0，故f(x)x2xf(x)；当x<0时，f(x)x2x，则当x>0时，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函

45、数是偶函数备课札记类题通法判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇.考点二函数奇偶性的应用典例(1)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.(2)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)<0的实数m的取值范围解析(1)yf(x)x2是奇函数，且x1时，y2，当x1时，y2

46、，即f(1)(1)22，得f(1)3，所以g(1)f(1)21.(2)f(x)的定义域为2,2，解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)<f(1m2)f(m21)1m>m21，即2<m<1.综合可知，1m<1.备课札记本例(2)中条件在区间2,0上“递减”变为“递增”，试想m的范围改变吗？若改变，求m的取值范围.解：改变f(x)为奇函数且在2,0上递增，f(x)在2,2上递增m21>1m.即m>1或m<2.由例(2)知1<m.故m的取值范围为(1，类题通法应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1

47、)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性针对训练1已知函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是_解析：yf(x)是R上的偶函数，且在(

48、，0上是减函数，函数yf(x)在0，)上是增函数当a>0时，由f(a)f(2)可得a2，当a<0时，由f(a)f(2)f(2)，可得a2.所以实数a的取值范围是(，22，)答案：(，22，)2(2013·苏北四市期中)已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f(2)1，若f(xa)1对x1,1恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由题意得2xa2对x1,1恒成立，即2xa2x对x1,1恒成立当x1,1时，(2x)max2(1)1，(2x)min211，所以实数a的取值范围是1,1答案：1,1考点三函数的周期性及其应用典例已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x3)，且当3x<1时，f(x)(x2)2，当1x<3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 014)_.解析对任意xR，都有f(x3)，f(x6)f(x33)f(x)，f(x)是以6为周期的周期函数，当3x<1时，f(x)(x2)2，当1x<3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(