成考专升本高数公式大全

1、成考专升本高数公式大全 高等数学公式 (tgx ) =sec2 x (ctgx) - _csc2 x (secx) =secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (ax) -ax In a 1 (log a x) xln a (arcsin x) 1 1_x2 (arccos x) = _ 1 (arctgx)十 (arcctgx)= 1 1 x2 导数公式： 基本积分表: Jtgxdx = I n cosx +C Jctgxdx=ln sinx +C Jsecxdx =l n secx +tgx +C Jcscxdx=ln cscx ctgx +C 1 x arctg C a

2、a 丄 2a C 2a a -x .x = arcsi n， a dx = seS xdx = tgx C cos x dx 2 =csc xdx = -ctgx C sin x secx tgxdx 二 secx C dx J 2,2 a x dx J 2 x -a dx J 2 a -x dx a C cscx ctgxdx 二-cscx C x axdx 旦 C In a shxdx 二 chx C 2 -x chxdx 二 shx C P dx b : 2 .x 二 a 2 2 =ln(x x -a ) C n 2 =sinn xdx 二 cos 0 0 n -11 xdx I n 2

3、 n _ _ 2 _ Jx2 +a2dx =lx2 +a2 + Jn(x+Px2 +a2 )+C 2 2 i _ , _ 2 Nx2 _a2dx=x2 _a2 _乞 2 2 _ i_ 2 2 2. x 2 2 a X a -x dx a -x arcs in C 2 2 a In ln x + lx2 a2 +C 三角函数的有理式积分: 三角函数公式: 诱导公式： 函 数 角A sin cos tg ctg 2 2u 1 -u , x sin x = - 牙,cosx = - 2, u =tg , 1+u 1+u 2 dx 2du 一些初等函数: 两个重要极 限: x . x 双曲正弦：shx

4、 = e 2 X _x 双曲余弦：chx 丄 2 双曲正切:thx 二坐叮 chx e +e arshx 二 ln(x x2 1) archx = ln(x x2 -1) si nx lim x刃x =1 lim (1)x = e = 2.718281828459045. J x arthx =ln 2 1 x 1 -x -a -sin a COs a -tg a -Ctg a 90 a COS a sin a ctg a tg a 90 a COS a -sin a -Ctg a ；-tg a 180 a sin a -COS a -tg a -Ctg a 180 a -sin a -COS

5、 a tg a Ctg a 270 a -COS a -sin a Ctg a tg a 270 + a -COS a sin a -Ctg a ；-tg a 360 a -sin a COS a -tg a -Ctg a 360 + a sin a COS a tg a Ctg a R ot + P a - P sin ： sin ： = 2sin - cos - 2 2 sin （ 二 l：,） =sin_：icosl-：,二 cosrsin : cos （川二 l：,） = cos_：icos sin_：sin : tg： -tg tg（、二 l ）二- - 1+tga tgP 冉 ct

6、ga ctg P +1 ctg（.m）： R a + P a - P sin -sin ： =2 cos -sin - 2 2 cost cos - - 2cos a + P 2 ctg L - ctg - R a + P a -P cos： -cos - - 2sin - sin - 2 2 -和差角公式: -和差化积 公式: a 1+cosa cos二 2 2 1 cos： 1 cosJ sin 二 ctg 一 2 1cos sin J 1 - cost JI arcs in x = - arccosx 2 JI arctgx =arcctgx 2 高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz

7、 )公式: n (uv)八 Wy k=0 = u(n)v nu(Zv uv mn) (n-k %+). uv(n) 2! k! 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：f (b) - f(a)二 f ( )(b-a) 柯西中值定理：如血二山 F(b)-F(a) F& 当 F(x)二 x 时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。 曲率：倍角公式: sin2： -2sin： cos： cos2： =2cos2 ： -1=1_2si n2 匚-cos2 ? -sin2： 2 c ctg a -1 ctg2： 2ctga x - 2tga tg2 1 -tg a sin3： =3sin：-4s

8、in3 ： 3 cos3： = 4cos ： -3cos： tg3： 口 3tga -tga 1-3tg2： -半角公式: 正弦定理: a b c 2sin sin sin C 余弦定理：c2 二 a2 b2 2abcosC a ：1 cosa sin . - 2 . 2 丄:- 1COS_：i 1 -cos： tg sin -： 1 cos 二 -反三角函数性质: 弧微分公式：ds=J1+yQdx,其中 y=tgo( 平均曲率：K =.：从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量；.is： MM 弧长。 直线：K =0; M 点的曲率: Aa JdaL y! As ds ；(T V)3 半径为 a

9、 的圆: K =1 a 定积分的近似计算: b 矩形法：f(x) a b 梯形法：f(x) a b 抛物线法：f (x) b - a z 、 (yo % yn J n 罟如。yn)山 b - a a Fyo yn) 2(y2 y4 m3 5 定积分应用相关公式: 引力：F 二为引力系数 r b 函数的平均值：y f (x)dx b a a 均方根: /-a b .f2(t)dt a 空间解析几何和向量代数: 5 空间 2 点的距离：d = M rM? =(X2 xj2 +(y2 yj2 + (z2 zj2 向量在轴上的投影：p 门uAB = AB cos , 是 AB 与 u 轴的夹角。 Pr

10、 ju (ar a2) = Pr jar Pr ja2 a b =|a b cos 日=axbx +ayby +azbz,是一个数量 , 两向量之间的夹角： axbx+ayby pbz cos 二 2 2 2 /, 2 ,2 ,2 a* ay az bx by bz k az, c = a b sin 0 例：线速度: bz 代表平行六面体的体积 平面的方程： 1、 点法式:A（x-x。）B（y -y。）C（z-z。）=0,其中 n 二A,B,C, “。仏 2、 一 般方程：Ax By Cz D = 0 3、 截距世方程：x y a b c 平面外任意一点到该平 面的距离：dAxo +By+C

11、zo十D JA2+B2+C2 x = x0 + mt 空间直线的方程：_ = = =t,其中 s =m,n, p;参数方程：y = y0 + nt m n p 、z= % + pt 二次曲面： 2 2 2 1、 椭球面:务与务=1 a b c 2 2 2、 抛物面：冬匕二乙（p,q 同号） P 2 q 八 3、 双曲面： 2 2 2 单叶双曲面：务占-令=1 a b c 2 2 2 双叶双曲面：生=1（马鞍面） i j c =a xb = ax ay bx by ax 向量的混合积: abc = (a b) c = bx Cx ay by Cy az bz uab，ccosa,a 为锐角时,

12、Cz a2 b2 c2多元函数微分法及应用 .x .u .x : v : x 当 u =u(x, y), v =v(x,y)时， 隐函数的求导公式: 隐函数方程组:F（x，y，u，v） .G（x, y,u,v）=0 cF cF j/(F，G) = c(u,v) du 瓦 Fu Fv cG cG Gu Gv .:u : v Z fz u ；:u ：u 全微分： dz = dx + dy du = dx+dy +dz ex dy x dy cz 全微分的近似计算： z dz二fx(x,y). ：x f y(x, y) y 多元复合函数的求导法： dz ；z dt ；:u .:z Z 二 fu(t)

13、,v(t) Z 二 fu(x, y),v(x,y) .u .z :v .t v .t :z ；:u jz ；v 二 -r 4*- 隐函数F（x，y）=0,齐卡 隐函数 F(x, y,z) -0, ex Fx Fz 2 雪(上)+上(_匕)包 dx ；：x Fy jy Fy dx :z Fy y Fz :u 1 - ：(F,G) :v 1 二 - .x J ：(x,v) :x J -：u ：(F,G) :v 丄 :y J ：(y,v) :y J ：(F,G) :：(u,x) f(F,G) ：(u,y) du .:u ；:u , dx dy :x ；y dv dx dy dx dy 微分法在几何上

14、的应用: x = （t） 空间曲线二（t）在点 M （x0, y0,z0）处的切线方程: z = ； （t） 在点 M 处的法平面方程： （to）（x-X。）宀（to）（y - y。）亠心（to）（z-z。）= 0 若空间曲线方程为：F（x, y,z）=,则切向量 T= Fy Fz , Fz Fx , Fx Fy G（x, y,z）=0 Gy Gz Gz Gx Gx Gy 曲面 F（x,y,z）=。上一点 MdsysZ。）,贝 V： 1、 过此点的法向量：n 二Fx（x。，。疔丫伽小卫）。） 2、 过此点的切平面方程:Fx（x。，丫。忆。）&-X。） Fy（x。，y,z）（y - y。

15、）Fz（x。，丫。-z。）二。 x -x。 y _ y。 z _ z。 Fx（x。，y。，z。） Fy（x。，y,z。） FzEyz。） 向导数与梯度： 函数z二f （x, y）在一点p（x, y）沿任一方向I的方向导数为：丄二丄cos - sin cl ex cy 其中为x轴到方向I的转角。 .、f : f 函数z = f（x,y）在一点 p（x, y）的梯度：gradf （x,y） i j ex by f 它与方向导数的关系是：一二gradf （x,y） e 其中e=cosi sin 寸，为I方向上的 a 单位向量。 .丄是gradf （x, y）在l上的投影。 .:l 多元函数的极值及其

16、求法： 设 fx（x。, y。）= fy（x。, y。）=0,令：fxx（x。，y。）= A, fxy（x。，y。）= B, fyy（X0,y）=C AC-B2皿寸,;人 7（3。）为极大值 小。,&。，y0）为极小值 贝V： AC-B2 V。时， 无极值 AC-B2=。时, 不确定 L 重积分及其应用：X _ X。_ y _ y _ z _ Z0 飞（t。）J （t。） 3、过此点的法线方程: iif (x, y)dxdy f (rcos v,r s in v)rdrd v D D 柱面坐标和球面坐标: x =rcosB 柱面坐标：* y=rsin, |7 f (x, y, z)dx

17、dydz = JJJF (r,T,z)rdrd Tdz, z=z 5 Q 其中： F (r, v, z)二 f (r cosv,r sin),z) x = rsin : cos 球面坐标：* y=rsi n si n 日, dv=rd rsin dO，dr=r2si n drd d 日 z = r cos 2 二 二 r(：，T 曲线积分:1+M+ 1 s ) dxdy 曲面 z 二 f (x, y)的面积 A = D JJxP(x, y)dcr 平面薄片的重心：x =匹=丄 (x, y)d 匚 D 平面薄片的转动惯量： 对于 x 轴 lx = y2(x, y)d 二, M .y(x,y)d

18、匚 y 且“ M |7 P(x, y)dcr D 对于 y 轴 Iy = x2(x,y)d 二 D D 平面薄片(位于 xoy 平面)对 z 轴上质点 M(0,0,a),(a 0)的引力：F =Fx, Fy, Fz,其中: (x,y)xdc Fz=-fa. 3 D (x2 y2 a2) Fx = f . D(x2 (x, y) xd c (x,y)yd 二 3， y2 a2尸 3， D (x2 y2 a2尸 HI f (x, y, z)dxdydz ： 111 F(r, ：)r2si n :drd :d)- d- F(r, ：)r2si n :dr Q Q 1 重心：x x?dv, M五 转动

19、惯量：Ix二(y2 1 y;?dv, M 门 z2”dv, I y 0 0 0 1 z - zdv, M门 ! (x2 - z2 ) ?dv, Q 其中 M = x = ?dv Q (x2 y2)dv Q 第一类曲线积分(对弧 设 f (x, y)在 L 上连续，L 的参数方程为：丿 长的曲线积分)： HI 心)，则: P _ .f(x,y)dsf(t)(t) ： 2(tr- 2(t)dt (:- L ： P) 特殊情况：* x = t T(t) 10 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)： 设L的参数方程为/“ ： 片屮(t) P P(x, y)dx Q(x, y)dyP (t), - (t)

20、(t) Q(t)卜(t)dt L 两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy二(Pcost nQcos 一：)ds其中和：分别为 L L L上积分起止点处切向量的方向角。 :P : Q )dxdy = - Pdx Qdy格林公式：(一 y L D x 当 p = _y,Q=x,即：2 一兰=2 时，得到 D 的面积：A二 dxdy =1 xdy - ydx ex cy D 2 L 平面上曲线积分与路径无关的条件： 1 G是一个单连通区域； 2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且卫=。注意奇点，女口 (0,0),应 ex cy 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 二元函数的全

21、微分求积： 在2 = -P时，Pdx Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中: .x ；:y (x,y) u(x, y)二 P(x,y)dx Q(x,y)dy,通常设 xo =y0 =0 (x,yo) 曲面积分： 对面积的曲面积分：JJ f (x,y,z)ds = JJ f x, y, z(x, y) J +z：(x, y) +z：(x, y)dxdy 丈 Dxy 对坐标的曲面积分:IIP(X, y,z)dydz Q(x,y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中： Z R(x,y,z)dxdy ： IIRX, y, z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号； Z Dxy

22、 P(x,y,z)dydz 二 Px(y,z), y,zdydz,取曲面的前侧时取正 号； 二： Dyz .Q(x,y,z)dzdx二 Qx, y(乙x),zdzdx,取曲面的右侧时取正 号。 :二 Dzx 两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy= (Pcos： Qcos： Rcos )ds Z Z 高斯公式:格林公式：(卫 D泳 :P )dxdy = : Pdx Qdy :y L 11 iii（ ）dv 二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 11 （P cos一 ：Qcos ： Rcos ）ds x 织辽 、 、 高斯公式的物理意义 通量与散度： 散度：di = 二2

23、 ,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div、.： 0,则为消失 ex cy cz 通量：！! A n ds = An ds = （Pcosx 11 Q cos ： Rcos ）ds， z z z 因此，高斯公式又可写 成： divAdv二1 Ands Q Z 斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系: 向量场A沿有向闭曲线-的环流量：Pdx Qdy Rdz二-A tds r r 常数项级数: 等差数列：+2+3k +n = 2 调和级数：1 - -是发散的 2 3 n cR cQ )dzd(- -)dxdy =q Pdx + Qdy十 e ex 6 r dydz dzdx dxdy co

24、sot cosP cos? e - -r r c - ex dz s ex dz P Q R P Q R 关的条件： cR cQ cP cR cQ cP cy cz dz 1 ex ex 询 空间曲线积分与路径无 Rdz 上式左端又可写成：口 .(琶-马 dydz (兰 X :y :z z 旋度：rotA二 i :x P k -.:ZR J-:yQ 等比数列：+q+q2中+q2 =口- 1 -q (n 1)n 级数审敛法:12 1正项级数的审敛法 根植审敛法(柯西判 别法)： Sd时，级数收敛 设：P =limyur,贝时，级数发散 J P=1时，不确定 2、比值审敛法： 9 1时，级数发散

25、P=1时，不确定 3、定义法: sn -U| u2亠亠un;limsn存在，贝叫攵敛；否则发 散 n_ 交错级数 5 -出U3 (或【2-出,Un 0)的审敛法 - 莱布尼兹定理： 如果交错级数满足imu =0,那么级数收敛且其和SW5,其余项rn的绝对值| rnUn* H n 绝对收敛与条件收敛: (1) 5 U2亠亠 Un,其中 Un为任意实数; (2) 5 +吐| +出| + +Un + 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数; 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 调和级数：1发散，而 a dL 收敛； n n p 二 1 时发散 p1 时收敛 幂级

26、数:设: 13 求收敛半径的方法：设 an 1 lim n* a 其中 a 函数展开成幂级数: 函数展开成泰勒级数：f(X)= f(X0)(X-X0) f 凹(X-X0)2 一 (x-x0)n 2! n! 余项：Rn二 x0 =0 时即为麦克劳林公式： f(x)二 f(0) f (O)x X2 Xn 2! n! 一些函数展开成幂级数: (1 x)m =1 mx X X 2! n! 3 5 2n 1 sinx=xZ N (1)2 (：x ：) (-1 ： x ： 1) 欧拉公式： ix e cosx i sinx 三角级数： ix 丄 -ix e +e cosx = 2 ix -Jx e e s

27、in x = 14 2 3 n ,/|x 1 时，收敛于 1 +x +x +x + +x + L 1 X |x _1 时，发散 对于级数a亠 a/ - a2x2亠 亠 anxn亠 ，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全 R 时发散，其中 R 称为收敛半径。 x = R 时不定 数轴上都收敛，则必存 an .勺是(3)的系数，则 0 时，RJ P 0 时，Rz： -:时，R = 0 (n 1) / f ()(X _X0)n 1 f(x)可以展开成泰勒级数的 (n +1)! 充要条件是：lim Rn = 0 n :. 辺 a0 乂 f (t) = A0 Ansin(n t n) (an cosnx

28、 bn sin nx) n 4 2 n 4 其中， a0 二 aAo，an 二 An sin n, bn 二 An cos n， ，t = x。 正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2x sin nx,cosnx 任意两个不同项的乘积 在-二，二 上的积分=0。 傅立叶级数: a f (x) 0 二(an cos nx bn s inn x), 周期 =2 二 2 n 二 1K an = f f (x) cosnxdx (n = 0,1,2) 其中 f 1 江 bn = f f (x)sinnxdx (n= 1,2,3) -J 周期为2l的周期函数的傅立叶级数:1 32 1

29、1 + 2 -(相加) 6 2 TT -(相减) 12 2 a二 S 二一 f (x)sin 31 0 2 b =0, a f(x)cosnxdx 31 0 n =1,2,3 f (x) =、bn sin nx 是奇函数 a n =0,1,2 f (x) 0 an cos nx 是偶函数 2 15 62 1 1 1 2 2 ,2 2 3 4 32 42 正弦级数: 余弦级数: f (x)二匹、(an cosn-X bn sin 丄), 周期 二 21 2 n4 l l 1 nnx a* =- f (x)cos - dx (n= 0,1,2”) I l 其中 丫 1 1 n 双 bn =- Jf(x)sindx (n= 1,2,3) .I 丄 I 微分方程的相关概念: 一阶微分方程：y = f(x,y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)d