山东省菏泽市2016届高三数学一模试卷理(含解析)

1、2016年山东省荷泽市高考数学一模试卷(理科)、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.复数 z= (i 是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点是1+iA. ( 1 , 1) B. ( 1, -1)C. (- 1 , 1) D.(- 1,-2 .设集合 A=y|y=sinx , x R,集合 B=x|y=lgx,则(?RA)A.(-s ,-1)U(1,+s)B.-1,1 C. (1,+s)1)nB(D. 13已知函数 f ( x)的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出 入阴影区域的豆子数.通过),+m) 100

2、粒豆子，记下落10 次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39,A.1:则较短弧长与较长弧长之比为5.A.6.某校高2 B . 1: 3 C . 1 : 4 D . 1: 5.的展开式中 x3项的系数为 20 ,则B. 2a2+b2的最小值为(C3D41下列四个判断：耘有三(1)班的人和高三(2)班的人数分别是vUa+bb,则这两个班的数学平均分为2从总体中抽取的样本(1 , 2.5 ) , (2, 3.1 ) , (3, 3.6 ) , (4 , 3.9 ) , ( 5 , 4.4 ),则回归直线 y=bx+a 必过点(3 , 3.6 );3已知E服从正态分布 N (1,22),且

3、 p(-1WEW1)=0.3,贝Up(E3)=0.2其中正确的个数有()A. 0 个 B. 1 个 C 2 个 D. 3 个7某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是(m 和 n 某次测试数学平均分分别是a,3线的交点，若点 A 到抛物线 C 的准线的距离为A = B.二 C.D.一10.若函数 f (x) =1+sinx 在区间-k, k (k 0)上的值域为m, n,贝 U m+n=()2X+1A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡上的相应位置11.已知命题 p: ? x R, |1 - x| -

4、 |x - 5|va，若?p 为假命题，则 a 的取值范围 是.40，表示平面区域为 D,已知点 0( 0, 0), A( 1 , 0),3x+y - 60)与双曲线C2:(a0, b0)的一条渐近14.若 x, y 满足不等式组(n)(n)p,则双曲线 C2的离心率等于()7CD4已求得 1，:以上推理，函数 y=ln (x+1)的第 n 阶导数为_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上的相应位置 16.已知函数-viy 一 工十一” .1(I)求 f (x)的最大值；(H)求 f (x)的图象在 y 轴右侧第二个最高点的坐标

5、.17.如图，三棱锥 A- BCD 中，BCD 所在平面互相垂直，且 BC=BD=4 AC=4 二, CD=4;,二二,E, F 分别为 AC, DC 的中点.(I)求证：平面 ABDL 平面 BCD(H)求二面角 E- BF- C 的正弦值.18.某架飞机载有 5 位空降兵空降到 A、B C 三个地点，每位空降兵都要空降到AB、C中任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是，用E表示地点 C 空降人数，求：3(I)地点 A 空降 1 人，地点 B C 各空降 2 人的概率；(n)随机变量E的分布列与期望._ 219. 已知数列bn的前 n 项和：n 2(I)求数列bn的通项公式；(n)设数列

6、an的通项.- - I-Jl,求数列an的前 n 项和 Tn.被椭圆 C 截得的线段长为,.5(I)求椭圆 C 的方程；(n)过原点的直线与椭圆C 交于 A, B 两点(A, B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C 上,且 AD 丄 AB 直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M N 两点.(i )设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1, k2,证明存在常数 入使得 2 入 k2,并求出入的值; (ii )求厶 OMN面积的最大值.21.已知函数 f (x) =ln (x+1) +ae-x(a R).，根据20.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:V3T，直线 y=x+=1 (a

7、b 0)的离心率为5(I)当 a=1 时，求 f (x)的单调区间；(n)若 f (x)不是单调函数，求实数 a 的取值范围.62016 年山东省荷泽市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的1 .复数 z= (i 是虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点是()1+iA. ( 1,1)B. ( 1,- 1)C. ( 1, 1)D. ( 1 , - 1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的代数形式7混合运算化简复数，然后求解即可.99

8、(1 - 1)【解答】解：复数 z=一 =1 - i ,复数的共轭复数在复平面内对应点的坐标1+i (1+i) (1 - i)(1, 1).故选：A.2 .设集合 A=y|y=sinx , x R，集合 B=x|y=lgx，则(？RA)QB ()A.(-s,-1)U(1,+s)B.-1,1 C. (1,+s)D. 1,+s)【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】求出 y=sinx 的值域确定出 A,找出 R 中不属于 A 的部分求出 A 的补集，求出 y=lgx 的定义域确定出 B,找出 A 补集与 B 的公共部分即可求出所求的集合.【解答】 解：由集合 A 中的函数 y=sinx , x

9、R,得到 y - 1, 1,-A= - 1, 1,?RA=(-m,-1)U(1,+s),由集合 B 中的函数 y=lgx，得到 x 0 ,.B=(0,+m),则(？RA)QB=(1,+m).故选 C3.已知函数 f ( x)的部分图象如图所示，向图中的矩形区域随机投出100 粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过 10 次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39 ,【考点】 定积分在求面积中的应用；几何概型.8【分析】利用阴影部分与矩形的面积比等于落入阴影部分的豆子数与所有豆子数的比，由此求出阴影部分的面积【解答】解：由题意设阴影部分的面积为S,则：=，所以 s=；3 100100故

10、选：D.4.圆（x - 1）2+y2=1 被直线 1.分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A. 1: 2 B. 1: 3 C. 1: 4 D. 1: 5【考点】 直线与圆的位置关系.【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长的圆心角的关系，答案可得.【解答】 解：圆（x- 1）2+y2=1 的圆心为（1, 0）到直线 x - y=0 的距离为 =，圆的V1+37 2半径为：1,弦长为2飞；乎（_/ =较短弧长与较长弧长之比为故选：A.5.若|二工的展开式中A. 1B. 2C. 3D.【考点】二项式定理的应用.【

11、分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，再由条件得到方程，求出r=3，进而得到 ab=1，再由重要不等式 a2+b2 2ab，即可得到最小值.【解答】解：上.的展开式的通项公式为lr+1=I：- ._ =fF *由于 x3项的系数为 20,则 12 - 3r=3 ,解得，r=3,即有 .- 1I =20,即有 ab=1,则 a +b 2ab=2,当且仅当 a=b，取得最小值 2.故选 B.6.下列四个判断：1某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是 m 和 n,某次测试数学平均分分别是a,a+hb,则这两个班的数学平均分为.;2从总体中抽取的样本（1 , 2.5 ） , （2, 3.

12、1 ） , （3 , 3.6 ） , （4 , 3.9 ） , （ 5 , 4.4 ）,则回归直 线 y=bx+a 必过点（3 , 3.6 ）;二.小扇形的圆心角为：120,1： 2.x3项的系数为 20,则 a2+b2的最小值为（）493已知E服从正态分布 N (1,22),且 p(-1WEW1)=0.3，贝Up(E3)=0.2其中正确的个数有()A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【考点】命题的真假判断与应用.【分析】根据加权平均数的公式知不正确，根据线性回归方程过样本中心点知不正确，根据随机变量E服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P( E3).【解

13、答】 解：当某校高三一班和高三二班的人数分别是m, n,某次测试数学平均分分别是 a, b，则这两个班的数学平均分为丄H,故不正确；itH-n2；=3, & =3.5，根据回归直线 y=bx+a 必过样本中心点，得到必过(3, 3.5 ),故不正确；3随机变量E服从正态分布(1, 22), 正态曲线的对称轴是 x=1,/ P(-1w E w1)=0.3, P (E 3) =P (E0)与双曲线 C2: - (a0, b0)的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C 的准线的距离为 p,则双曲线 C2的离心率等于()I 1A.：B.：C. J D.:【考点】双曲线的简单性质./a2 1【分析】先

14、根据条件求出店 A 的坐标，再结合点 A 到抛物线 C 的准线的距离为 p;得到 =,b2再代入离心率计算公式即可得到答案.【解答】 解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x,故A(亦坠)冬冬 故(谀，以養、点 A 到抛物线 C 的准线的距离为 p,11故选：C.10.若函数 f (x) =1+sinx 在区间-k, k (k 0)上的值域为m, n,贝 U m+n=()2Z+1A. 0 B. 1C. 2D. 4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法.时1【分析】 本题可以先构造奇函数 g (x) =+sinx - 1,由于奇函数图象的对称性，得到2X+1函数值域的对称，再对应研究函数f ( X

15、)的值域，得到本题结论.【解答】 解：记 g (X) = +sinx - 1,2S+ 1二 g (- x) =- -:2 +12 )=一 ，严2.1 g (- x) +g (x) =+sinx - 1+一 厂门二-1=0,2X+11+2X g (- x) =- g ( x).函数 g (x)在奇函数，函数 g (x)的图象关于原点对称，函数 g (x)在区间-k, k ( k 0)上的最大值记为 a, (a 0),则 g (x)在区间-k, k (k 0)上的最小值为-a,aw -+sinx-K a,2X+12卅1a+2w -+sinx+1wa+2,2X+1-a+2wf(x) wa+2,双曲线

16、C2的离心率12函数 f (x) =1+ +sinx 在区间-k, k (k0)上的值域为m, n,2X+1 m=- a+2, n=a+2, m+n=4.故选 D.二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填在答题卡上的相应位置11.已知命题 p: ? x R, |1 - x| - |x - 5|va，若?p 为假命题，则 a 的取值范围是(4,+8).【考点】函数恒成立问题.【分析】利用全称命题的否定是特称命题，判断全称命题是证明题，求解即可.【解答】 解：命题 p： ? x R, |1 - x| - |x - 5|va，若？ p 为假命题，可知全称命题是证明题，即

17、：? x R, |1 - x| - |x - 5|va 恒成立，因为，|1 - x| - |x - 5|w4,所以 a4. 则 a 的取值范围是(4, +8).13故答案为：(4,+R).12.a, b, c 分别是 ABC 角 A, B, C 的对边， ABC 的面积为 二，且:- ?. -r：1：-，则 c= 2或.二.【考点】正弦定理.【分析】由已知利用三角形面积公式可求a，利用同角三角函数基本关系式可求cosC 的值,利用余弦定理即可解得 c 的值.13如图表示的是求首项为-41,公差为 2 的等差数列前 n 项和的最小值的程序框图，如果a=a+2a 0 .【考点】程序框图.【分析】由

18、程序设计意图可知，处应求通项，有a=a+2,又由此数列首项为负数，公差为正数，求前 n 项和的最小值只需累加至最后一个非正项即可，从而可求处可填写：a0.【解答】解：由程序设计意图可知，S 表示此等差数列an前 n 项和，故处应该填写 a=a+2, 又因为此数列首项为负数， 公差为正数，求前 n 项和的最小值只需累加至最后一个非正项即 可，故处可填写：a 0.故答案为：a 0. cosC= !-2-1厂恳利用余弦定理c2=a2+b2- 2abcosC,可得：c=W、J：-丨二 J ,一 【解答】解:TiL.1 ,SAAB(=打：: =,_ absinC=_ 二.二.，解得 a=2；，解得：c=

19、2 或-.故答案为：2 或二.(填写一个不给分)14f3x- 4014若 x, y 满足不等式组，yl，表示平面区域为 D,已知点 0(0, 0), A( 1 , 0),3x+y - 60【解答】 解：作出不等式组.yl所对应的可行域 D (如图 MNP,3/+y- 60由题意可得口 1= (1, 0),设M(x,y)，则ij=(x, y),兀 I 可-止貳|可化为x=入厂.,15.若函数 y=f (x)的导数 y =f(x)仍是 x 的函数，就把 y =f(x)的导数 y =f(x)叫做函数 y=f (x)二阶导数，记做 y(2)=f(2)(x).同样函数 y=f (x)的 n- 1 阶导数

20、 的导数叫做 y=f(x)的 n 阶导数，表示 y(n)=f(n)(x).在求 y=ln (x+1 )的 n 阶导数时，以上推理，函数 y=ln (x+1)的第 n 阶导数为【考点】导数的运算.【分析】作出可行域，由题意和数量积的运算可得则入=2k=二-取最小值, y5已求得，根据16【分析】根据导数的计算和归纳推理即可求出答案.17【解答】 解：求 y=ln (x+1 )的 n 阶导数时，已求得15+r二_打二_吒(x+1)2 J(x+1)3，(x+1)4，根据以上推理，函数 y=ln(x+1)的第 n 阶导数为:!： ：1(l+x)n故答案为：(n)_ / _ . n-1Di7_(l+x)

21、n三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上的相应位置16.已知函数f y I : : ：|S(I)求 f (X)的最大值；(H)求 f (x )的图象在 y 轴右侧第二个最高点的坐标.【考点】 三角函数中的恒等变换应用；函数 y=Asin 仏 x+)的图象变换.【分析】(I)根据三角恒等变换化简 f (x) J-sin (2x -弓)从而求出 f (x )的最大值即可;(n)根据函数的表达式得到匚二，令 k=i，得y，从而得到满足条件的点的坐标.【解答】解:(I)由已知，有f(x)=cos x?(-sin x+ cos x)J2x+

22、s in x?cos x -cos2x+22怂4驚=sin 2x -(1+cos 2x ) +44心 41亦in=sin 2x cos 2x= sin (2x-),423,i所以 f ( x)的最大值为 ；2兀兀/严、(n)令 2x-.=；：厂二得,令 k=1，得所以 f (x)的图象在 y 轴右侧第二个最高点的坐标是17.如图，三棱锥 A- BCD 中，BCD 所在平面互相垂直，且 BC=BD=4 AC=4 二,CD=4.l；，, E, F 分别为 AC, DC 的中点.1819(I)求证：平面 ABDL 平面 BCD(H)求二面角 E- BF- C 的正弦值.【考点】二面角的平面角及求法；

23、平面与平面垂直的判定.【分析】(I)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABDL 平面 BCD(H)建立空间坐标系求出平面的法向量利用向量法即可求二面角E- BF- C 的正弦值.或者根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解.【解答】(I )证明 由 BC=4 AC 二 4，/ ACB=45 , 显然，AC=AB+BC,所以/ ABC=90，即 AB! BC.又平面 ABCL 平面 BCD 平面 AB6 平面 BCD=BC AB?平面 ABC 所以 AB 丄平面 BCD 又 AB?平面ABD 所以平面 ABDL 平面 BCD(H)(方法一)由 BC=BD F 分别为 DC

24、 的中点,知BF丄 DC 由 ex*,知 匚，知牛萼 所以/ FBC=60，则/ DBC=120，如图，以点 B 为坐标原点，以平面 DBC 内与 BC 垂直的直线为 x 轴，以 BC 为 y 轴，以 BA 为 z 轴建立空间坐标系；则 B( 0,0, 0),A( 0 ,0,4), C( 0,4,0 ),E( 0,2, 2) , D(2 伍* 2, 0),F(體，1, 0),显然平面 CBF 的一个法向量为 =(0 , 0 , 1),T十丽二0匸=(x , y , z),由 * T 一npBE=0得其中一个=(二,-1 , 1), 因此 sin 0 二二-，即二面角 E- BF- C 的正弦值

25、为 二.77(方法二)连接 BF,由 BC=BD F 分别为 DC 的中点，知 BF 丄 DC,如图，在平面 ABC 内，过 E 作 EG 丄 BC,垂足为 G 贝 U G 是 BC 的中点，且 EGL 平面 BCD 在平面设平面BEF 的设二面角 E- BF- C 的大小为0,则 |cos0|=|cos |=|20DBC 内，过 G 作 GH 丄 BF,垂足为 H,连接 EHA / -由 EGL 平面 BCD 知 EGL BF, 又 EH1 BF, EGH EH=E EG EH?平面 EHG所以 BF 丄平面 EHG 所以/ EHG 是二面角 E- BF- C 的平面角.I )由 GHL B

26、F, BFLDC 贝UGH/ FC,则6 是厶 ABC 的中位线，所以 EG=,2y易知日 6 是厶 BFC 的中位线，所以 HG= “：，所以匸=：一 -= .i,sin/即二面角 E- BF- C 的正弦值为二一.7I18某架飞机载有 5 位空降兵空降到 A、B C 三个地点，每位空降兵都要空降到A、B、C中任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是-,用E表示地点 C 空降人数，求：y(I)地点 A 空降 1 人 ,地点 B C 各空降 2 人的概率；(n)随机变量E的分布列与期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.【分析】(I )先求出基本事件的总数，再求出

27、“地点 A 空降 1 人，地点 B、C 各空降 2 人” 包含的基本事件个数，由此能求出所求事件的概率.(II )由题意知随机变量EB (5, ),由此能求出随机变量E的分布列和数学期望.7ZSA3【解答】解：(I )基本事件的总数为 35个，“地点 A 空降 1 人，地点 B、C 各空降 2 人”包含的基本事件为|,所以所求事件的概率为：3581(II )由题意知随机变量EB (5,寺)，随机变量E的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5,P仁=0)=匕，P(E=1)P(E =2)，21P(E=3)=.,；，=4)=，P(E=5)=: 叮八所以随机变量E的分布列为:E012345P

28、8010f243|243|2431243243根据二项分布得数学期望丄-19.已知数列bn的前 n 项和._ 二D十2(I)求数列bn的通项公式；(H)设数列an的通项-;.+ ：:!：,求数列an的前 n 项和 Tn.【考点】 数列的求和；数列递推式.【分析】(I)利用递推关系即可得出；(II ). - j- I -jl= (3n- 2) ?2n+ (- 1)n?2n.设数列 (3n- 2) ?2n的前 n项和为代，利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出；再利用等比数列的前n 项和公式即可得出.【解答】解：(I )数列bn的前 n 项和E二也上卫，二 bi=Bi-厂1=1 ；n

29、 92当 n 2 时，bn-Bn- Bn-件丄亠-1 =3n- 2,当 n-1 时也成立.2 2bn-3 n 2.(II ) 齐 1I 7 - (3n- 2) ?2n+ (- 1)n?2n.设数列 (3n- 2) ?2n的前 n 项和为 An,则 A-2+4X22+7X23+(3n-2)?2n,2An-22+4X23+(3n-5)?2n+(3n-2)?2n+1,22- An=2+3 ( 22+23+2n)-( 3n- 2) ?2n+1=- 4 -( 3n - 2) ?2n+1= (5- 2-13n)?2n+1-10, A= (3n-5)?2n+1+10.数列an的前 n 项和 Tn= (3n

30、- 5) ?2n+1+10_ 1 -( - 2)n.3标，把 AB 和 AD 的斜率都用 A 的坐标表示，写出直线 AD 的方程，和椭圆方程联立后利用根 与系数关系得到 AD 横纵坐标的和，方程，取 y=0 得到 M 点坐标，由两点求斜率得到 AM 的斜率，由两直线斜率的关系得到 值；(ii )由 BD 方程求出 N 点坐标，结合(i )中求得的 M 的坐标得到 OMN 勺面积，然后结合 椭圆方程利用基本不等式求最值.椭圆 C 的方程可化为 x2+4y2将y=x 代入可得：，,因此二,解得 a=2.255则 b=1.椭圆 C 的方程为.-数列(-1)曲的前n项和=1 -( - 2)n.20.在

31、平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C:2 2+=1 (a b 0)的离心率为a2b2广(直线 y=x被椭圆 C 截得的线段长为W105(I)求椭圆 C 的方程；(n)过原点的直线与椭圆且 AD 丄 AB 直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M N 两点.(i )设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1, k2,证明存在常数 入使得 2 入 k2,并求出入的值; (ii )求厶 OMN面积的最大值.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(I)由椭圆离心率得到 a, 的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，(n) (i)设出 A,D 的坐标分别为(C 交于 A, B 两点(A, B 不是椭圆才 C

32、 的顶点).点 D 在椭圆 C 上,b 的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点 则 a的值可求，进一步得到 b 的值，则椭圆方程可求； xi, yi)(Xiyi0) , ( X2, y2),用 A 的坐标表示 B 的坐求出 AD 中点坐标，则 BD 斜率可求，再写出 BD 所在直线 入的【解答】解：(I)由题意知,二上一_ 一丄，则 a2=4b2.! 2=a .23(n) (i )设 A(X1,yj(xy丰0),D(X2,肘,则 B (- X1, y1).24直线 AB 的斜率.,他X |又 AB 丄 AD 直线 AD 的斜率AD y 设 AD 方程为 y=kx+m,由题意知 kz0, m 0.当且仅当.I 时等号成立.2 1129 OMN 面积的最大值为 .联立9，得（1+4k2）x2+8kmx+4nm-4=0.l+4k2因此.：，一：L i 工v ：+ 二口一2 IDl+4k2令 y=0,得 x=3xi，即 M( 3xi, 0).因此存在常数使得结论成立.(ii )直线 BD 方程为:-T14 x !133令 x=0,得一 了.，即 N (: 一 .-.).由(i )知 M(3xi, 0),可得 OMN 勺面积为 S=工- =丁丨厂迂.叮厂亍由题意可得直线 BD 的方程为2521.已知函数 f (x) =ln (x+1) +aex(a R)