2012各地高考数学试题汇编—圆锥曲线

1、1.（安徽9）.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若；则的面积为_.2.（安徽20）.如图，分别是椭圆 的左，右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点；（I）若点的坐标为；求椭圆的方程；（II）证明：直线与椭圆只有一个交点。3.(北京12)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则OAF的面积为_.4.(北京19)已知曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于

2、点，求证：，三点共线.5.(福建8).双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于_.6.(福建19).如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（）求椭圆的方程。（）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。7.(广东20).在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为；（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积;若不

3、存在，请说明理由。A1 A2 yB2 B1AO BCDF1 F2 x8.(湖北14)如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（）双曲线的离心率；（）菱形的面积与矩形的面积的比值.9.(湖北21)设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点.是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.10.

4、(湖南5). 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为_11.(湖南21).在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（）求曲线C1的方程；（）设P(x0,y0)（y0±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.12.（江苏8)在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为_ 13.(江苏19)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左

5、、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（I）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值14(江西 13).椭圆（ab0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为_.15(江西20).已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足.（1） 求曲线C的方程；（2）动点Q（x0，y0）（-2x02）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t0），使得l与PA，PB都

6、不相交，交点分别为D,E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。17(辽宁20). 如图，椭圆，动圆.点分别为的左、右顶点，与相交于四点（1）求直线与直线交点的轨迹方程；（2）设动圆与相交于四点，其中，.若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值18(全国卷大纲版3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为_.19(全国卷大纲版8)已知为双曲线的左右焦点，点在上，则_.20(全国卷大纲版21)已知抛物线与圆 有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。（1）求；（2）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。21(山东10）.已知椭圆

7、的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为_.21(山东21）.在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为（）求抛物线的方程；（）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值22(陕西13). 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米23(陕西19). 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率（

8、1）求椭圆的方程；（2） 设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，求直线的方程24(上海22)在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积； （2）设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：OPOQ； （3）设椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.25(四川8).已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则_.26(四川15).椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_.27(四川21).如图，动点到两定点、

9、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。28(天津12）.己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则_.29(天津19）设椭圆的左、右顶点分别为，点P在椭圆上且异于两点，为坐标原点.（）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；（）若，证明：直线的斜率满足.30(新课4）.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为_.31(新课标8）.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为_.32(新课标20）.设抛物线的焦

10、点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。33(浙江8)如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b0)的左右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若|MF2|F1F2|，则C的离心率是_.34(浙江21)如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程35(重庆14)

11、.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=.36(重庆20). 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形。（）求该椭圆的离心率和标准方程； （）过做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程1.（安徽9）【解析】设及；则点到准线的距离为得：又的面积为2.（安徽20）【解析】（I）点代入得：又由得：既椭圆的方程为（II）设；则得：过点与椭圆相切的直线斜率得：直线与椭圆只有一个交点。3.（北京12）【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此【答案】4.

12、（北京19）解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：由韦达定理得：，设，方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证。5.（福建8）.考点：双曲线的定义。难度：中。分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。解答：抛物线的焦点为。双曲线中，。双曲线渐近线方程为。所以焦点到渐近线的距离。6.（福建19）.考点：三角恒等变换。难度：难。解答：（）设则的周长为椭圆的方程为（）由对称性可知设与直线（*）（*）对恒成立，得 7.（广东20）.【解析】（1）设由，所以设是椭圆上任意一点

13、，则，所以当时，当时，有最大值，可得，所以当时，不合题意故椭圆的方程为：（2）中，当且仅当时，有最大值，时，点到直线的距离为又，此时点8.（湖北14）考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.难易度：解析：（）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，由三角形的面积公式知，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出（）设,很显然知道,因此.在中求得故；菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.9.（湖北21）解：（）如图1，设，则由，可得，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线

14、的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. （）解法1：如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，于是由韦达定理可得，即.因为点H在直线QN上，所以.于是，. 而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 图2 图3 图1O D xyAM第21题解答图解法2：如图2、3，设，则，因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于，

15、即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 10.（湖南5）.【答案】-=1.【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，即.又，C的方程为-=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.11.（湖南21）.【解析】（）解法1 ：设M的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为.解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（）当点P在直线上运动

16、时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是整理得设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故由得设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以同理可得于是由，三式得.所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.1

17、2.（江苏8）【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。，即，解得。13.（江苏19）【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。（2）根据已知条件，用待定系数法求解。【答案】解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。（2）由（1）得，又设、的方程分别为，。同理，。（i）由得，。解得=2。注意到，。直线的斜率为。（ii）证明：，即。由点在椭圆上知，。同理。由得，。是定值。14（江西 13）【答案】【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.利用

18、椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，.又已知，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.15（江西20）. 解：（1）依题意可得，由已知得，化简得曲线C的方程：（2）假设存在点P（0，t）（t<0）满足条件，则直线PA的方程是，直线PB的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为它与y轴的交点为，由于，因此当时，存在，使得，即l与直线PA平行，故当时不符合题意当

19、时，所以l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组，解得D，E的横坐标分别是则，又，有，又于是对任意，要使QAB与PDE的面积之比是常数，只需t满足，解得t=-1，此时QAB与PDE的面积之比为2，故存在t=-1，使QAB与PDE的面积之比是常数2。16（辽宁15）【命题意图】本题主要考查抛物线的切线与两直线的交点，是中档题.【解析】，所以以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立两方程的17（辽宁20）. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.【解析】设，又知，则直线的方程为直线的方程为由得由点在椭圆上

20、，故可得，从而有，代入得6分（2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，因为点均在椭圆上，所以由，知，所以。从而，因而为定值18（全国卷大纲版3）答案【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程。【解析】因为，由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县，所以。故答案为19（全国卷大纲版8）答案【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由题意可知，设，则，故，利用余弦定理可得。20（全国卷大纲版21

21、）【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。解：（1）设，对求导得，故直线的斜率，当时，不合题意，所心圆心为，的斜率由知，即，解得，故所以（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为即若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得求解可得抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为得，将代入得，故所以到直线的距离为。【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切

22、线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。21（山东10）答案：双曲线的渐近线的方程为，设直线与椭圆在第一象限的交点坐标为，且由已知，代入椭圆方程有，又，解得，方程为。解析：双曲线x²-y²1的渐近线方程为，代入可得，则，又由可得，则，于是。椭圆方程为。21（山东21）解：（）依题线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标，又到抛物线准线的距离为，所以. 所以为所求.（）假设存在点，又，设，.变形为因为直线为抛物线的切线，故，解得，即，.又取中点，由垂径定理知，所以，所以存在，.（）依题，圆心，圆的半径，圆心到直线的距离为，所以，.又联立，设，则有，. 所以，.于

23、是，记，所以在，上单增，所以当，取得最小值，所以当时，取得最小值.22（陕西13）. 【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），设l与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（-2，-2），B（2，-2）设抛物线的解析式为，则有，抛物线的解析式为水位下降1米，则y=-3，此时有或此时水面宽为米。23（陕西19）. 【解析】（）由已知可设椭圆的方程为，其离心率为，故，则，故椭圆的方程为（）解法一两点的坐标分别为，由及（）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，将代入中，得，所以，又由，得，即，解得，故直线的方程为或解法二两点的坐标分别为，由

24、及（）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，又由，得，将代入中，得，即，解得，故直线的方程为或24（上海22）解（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：. 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. 解方程组，得. 所以所求三角形的面积1为. （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，即. 由，得.设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.又2，所以，故OPOQ. （3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.由，得，所以.同理. 设O到直线MN的距离为d

25、，因为，所以，即d=.综上，O到直线MN的距离是定值. 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题25（四川8）.答案解析设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=, 点评本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).26(四川15). 答案 解析根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又点评本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.27(四川21).解析（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,.当MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3）当MBA90°时；x2.由MBA=2MAB,有tanMBA=,即化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）(II)由方程消去y，可得。（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设所以解得，m>1,且m2设Q、R的坐标分