20132017高考数学真题分类选修44内容

1、第十六章选讲内容第1节极坐标与参数方程（选修4-4）题型160 极坐标方程化直角坐标方程1.(2013安徽理7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）.A. 和 B.和C.和D. 和2.(2013天津理11）已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则.3. (2013重庆理15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于两点，则.4.（2013湖北理16）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为(为参数，)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（为非零数）

2、与若直线经过椭圆的焦点，且与员相切，则椭圆的离心率为5.（2013福建理21）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上（1）求的值及直线的直角坐标方程；（2）圆的参数方程为，试判断直线与圆的位置关系.6.（2014 重庆理 15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径_.7.（2014 天津理 13）在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_.8.（2014 陕西理 15）（坐标系与参数方程选做题）在极

3、坐标系中，点到直线的距离是.9.（2014 湖北理 16）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_.10.（2014 广东理 14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为 .11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（）.A.

4、B. C. D.12.（2014 新课标2理23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.（1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.13.（2015陕西理23）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为(1)写出的直角坐标方程；(2)为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标13.解析（1）由，从而有.(2) ，所以当时，取得最小值，此时点的直角坐标为.14.（2015北京理11）在极

5、坐标中，点到直线的距离为.14.解析极坐标中的点对应直角坐标系中的点为，极坐标方程对应的直角坐标系方程为，根据点到直线的距离公式.15.（2015广东理14）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为15.解析依题已知直线和点可化为直线和点，所以点与直线的距离为：故应填16.（2015湖北理16）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，l与C相交于AB两点，则.16解析因为，所以，所以，即；由消去得.联立方程组，解得或，即，故17.（2015湖南理16（）已知直线（为参数），以坐标原点为极

6、点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.17.解析2. ()等价于. 将，代入式即得曲线的直角坐标方程是. () 将代入，得.设这个方程的两个实根分别为，则由参数的几何意义即知18.（2015江苏21（C）已知圆的极坐标方程为，求圆的半径18.解析由题意得，所以，即，从而，即，故圆的半径为19.（2016北京理11）在极坐标系中，直线圆交于两点，则_.19. 解析解法一：在平面直角坐标系中，题中的直线圆的方程分别是.可得两点的坐标，即为方程组的解，用代入法可求得两点的坐标分别为，所以由两

7、点的距离公式可求得.解法二：直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为.圆心在直线上，因此为圆的直径，所以.20.（2016全国丙卷23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.20. 分析（1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线的参数方程普通方程，利用公式与代入曲线的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点坐标即可.解析（1）的普通方程为，的直角坐标方程

8、为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.21.（2017天津理11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为_.21.解析直线化直角坐标方程为，由，得其直角坐标方程为，即，则圆心到直线的距离，知直线与圆相交，得它们的公共点的个数为.22.（2017北京理11）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为_.22. 解析由，化为普通方程为，即，由圆心为，为，则最小值为1.故选D.23.（2107全国2卷理科22）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

9、（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值23解析（1）设，则由，解得，化直角坐标方程为.（2）联结，易知为正三角形，为定值所以当高最大时，的面积最大，如图所示，过圆心作垂线，交于点，交圆于点，此时最大，.题型161 直角坐标方程化为极坐标方程1.(2013广东理14）已知曲线的参数方程为(为参数)，在点处的切线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为2.(2013安徽理7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）.A. 和 B.和C.和D. 和3.（2014 湖南理 11）在平

10、面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于，两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是_.4.（2014 江西理 11）（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标方程为（）. A.， B. ，C.， D. ，5.（2015全国理23）在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标为，设与的交点为，求的面积.5.解析（1）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为（2）解法一：的直角坐标系方程为，所以的圆心到直线的距离，所

11、以，所以解法二：将代入，得，解得，所以，即由于的半径为1，所以的面积为6.（2016全国甲理23）在直角坐标系中，圆的方程为.（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），与交于两点，求的斜率.6.解析（1）整理圆的方程得，由可知圆的极坐标方程为（2）解法一：将直线的参数方程代入圆:化简得，设两点处的参数分别为，则，所以，解得，的斜率.解法二：设，其中，如图所示，圆心到到的距离，故.题型162 参数方程化普通方程1. (2013重庆理15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相

12、交于两点，则.2.(2013湖南理9）在平面直角坐标系中，若过椭圆，（为参数）的右顶点，则常数.3.（2013湖北理16）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为(为参数，)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（为非零数）与若直线经过椭圆的焦点，且与员相切，则椭圆的离心率为4.(2013福建理21）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上（1）求的值及直线的直角坐标方程；（2）圆的参数方程为，试判断直线与圆的位置关系.5.（2014 新课标1理23）（

13、本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.6.（2014 江苏理 21）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），直线与抛物线相交于，两点，求线段的长7.（2014 福建理 21）B.（本小题满分7分）选修44：极坐标与参数方程已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为常数）.（1）求直线和圆的普通方程；（2）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.8.（2014 重庆理 15）已知直

14、线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径_.9.（2014 湖北理 16）（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_.10.（2014 北京理3）曲线（为参数）的对称中心（）.A.在直线上 B.在直线上C.在直线上 D.在直线上11.（2014 安徽理 4）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长

15、为（）.A. B. C. D.12.（2015重庆理15）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的交点的极坐标为_.12.解析由直线的参数方程为参数），得直线方程为由，得，故联立式，式，解得交点坐标为，所以交点的极坐标为13.（2015全国23）在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，（1）求与交点的直角坐标；（2）若与相交于点A，与相交于点B，求的最大值.13.分析（1）将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立即可求解；. （2）先确定曲线的极坐标方程，进一步求出点

16、的极坐标为，点的极坐标为，由此可得：解析（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为：联立解得或所以与交点的直角坐标为和（2）曲线的极坐标方程为，其中因此得到极坐标为，的极坐标为所以，当时，取得最大值，最大值为命题意图考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，并能求出距离的最值.14.（2015福建理21（2）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为(1)求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；(2)设圆心到直线的距离等于2，求的值14.分析本小题主要考查极坐标与直角坐标系的互化、圆的参

17、数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解析（1）消去参数，得到圆的普通方程为由，得，所以直线的直角坐标方程为（2）依题意，圆心到直线的距离等于2，即，解得15.（2016江苏21 C）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长15.解析解法一（求点）：直线方程化为普通方程为，椭圆方程化为普通方程为，联立，解得或，因此解法二（弦长）：直线方程化为普通方程为，椭圆方程化为普通方程为，不妨设，联立得，消得，恒成立，故，所以解法三（几何意义）：椭圆方程化为普通方程为，直线恒过点，该点在椭圆上，将直线的参数方程代入椭圆的普通方程，得，整

18、理得，故，因此16.（2017江苏21 C）在平面坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值16.解析直线的普通方程为因为点在曲线上，设，从而点到直线的距离，当时，因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值为17.（2017全国1卷理科22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到的距离的最大值为，求.17.解析（1）当时，直线的方程为，曲线的标准方程为.联立方程，解得或，则与交点坐标是和.（2）直线一般式方程为，设曲线上点则点到的距离，其中依题意得，解得

19、或.18.（2017全国3卷理科22）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径18解析将参数方程转化为一般方程，消可得，即点的轨迹方程为.将极坐标方程转化为一般方程，联立，解得.由，解得，即的极半径是题型163 普通方程化参数方程暂无1. (2013陕西理15C）C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆的参数方程为. 2. (2013全国新课标卷理23）选修44；坐标系与参数方程已知动点都在曲线（为参数）上，

20、对应参数分别为与（），为的中点.（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.3.(2013辽宁理23）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（1）求与交点的极坐标；（2）设为的圆心，为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为（为参数），求的值.4.（2014 新课标1理23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.5.（2014 辽宁理

21、 23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线.（1）写出的参数方程；（2）设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.题型164 参数方程与极坐标方程的互化1.（2013江西理15）(1)（坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为2.（2016全国乙理23）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）说明是哪一种曲

22、线，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.2.解析（1）将化为直角坐标方程为，从而可知其表示圆令，代入得极坐标方程（2）将，化为直角坐标方程为，两式相减可得它们的公共弦所在直线为.又公共点都在上，故的方程即为公共弦.又为，即为，从而可知第2节不等式选讲（选修4-5）题型165 含绝对值的不等式1.（2013江西理15）(2)（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为2.(2013福建理21）设不等式的解集为，且.（1）求的值；（2）求函数的最小值.3.（2014 重庆理 16）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_.4.（2014

23、湖南理 13）若关于的不等式的解集为，则_.5.（2014 江西理 11）（1）（不等式选做题）对任意，的最小值为（）. A. B. C. D.6.（2014 陕西理 15）（不等式选做题）设，且，则的最小值为.7.（2014 新课标2理24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）证明：；（2）若，求的取值范围.8.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，记的解集为，的解集为.（1）求；（2）当时，证明：.9.（2014 福建理 21）（本小题满分7分）选修45：不等式选讲已知定义在上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证

24、：.10.（2015重庆理16）若函数的最小值为5，则实数_.10.解析当时，端点值为（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；如图所示：由图易知：，解得（舍）或，所以当时，端点值为 .（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；如图所示：由图易知：，解得（舍）或，即.当时，与题意不符，舍.综上所述：或.11.（2015陕西理24）已知关于的不等式的解集为(1)求实数，的值；(2)求的最大值11.解析（1）由所以解得.（2），所以，即的最大值为4，当时取等号.12.（2015山东理5）不等式的解集是( )A.BCD12.解析令，则，所以原不等式同解于如下三个不等式组的解集的并集： ；，解得：，解

25、得：；解得：综上所述，原不等式的解集为故选A评注本题也可数形结合，而快捷的方法则是取特殊值验证13.（2015全国24）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.13.解析（1）当时，即当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得综上所述，当时，的解集为（2），如图所示，函数的图像与轴所围成三角形的三个顶点为，即，解得，所以的取值范围是14. ( 2015福建理21（3）)已知，函数的最小值为4(1)求的值;(2)求的最小值14.分析本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化

26、思想解析（1）因为，当且仅当时，等号成立又，所以，所以的最小值为又已知的最小值为4，所以当时，化简得，解得，故；当时，化简得，解得，故故不等式的解集为.15.(2015江苏21（D）)解不等式15. 解析当时，化简得，解得，故；当时，化简得，解得，故故不等式的解集为16.（2016上海理1）设，则不等式的解集为16.解析由题意，即，则解集为故填17.（2016全国甲理24（1）已知函数，为不等式的解集.求；17. 解析（1）当时，所以；当时，恒成立；当时，所以综上可得，18.（2016全国乙理24）已知函数.（1）在如图所示的图形中，画出的图像；（2）求不等式的解集.18. 解析由题意得其图像

27、如图所示.（2）当时，解得或，故；当时，解得或，故或；当时，解得或，故或综上所述，该不等式的解集为评注或者可以由图形观察大致结果，但不能替代解题过程19.（2016全国丙卷24）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数当时，求的取值范围.19.解析（1）当时，.解不等式，得.因此，的解集为. （2）当时，得，所以当时，等价于. 当时，等价于，无解；当时，等价于，解得.所以的取值范围是.20.（2017全国1卷理科23）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.20.解析（1）当时，为开口向下，对称轴为的二次函数，当时，令，即，解得.当时，令，即，解得当时，令，即，解得综上所述，的解集为（2）依题意得在上恒成立，即在恒成立，则只需，解得故取值范围是21.（2017全国3卷理科23）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围21解析（1）可等价为.由，可得当时显然不满足题意； 当时，解得； 当时，恒成立.综上，的解集为.不等式等价于，令，则的解集非空只需要.而.当时，；当时，； 当时，.综上所述，故.题型166 不等式的证明1. (2013全国新课标卷理22）选修45；不等式选讲设均为正数，且，证明：（1）；（2）.2.（2014 新课标1理24）（本小题满分