求前n项和的几种方法

1、求前n项和的几种方法求数列前N项和的方法1.公式法(1)等差数列前n项和：特别的，当前n项的个数为奇数时，S2k i (2k 1)gak i ,即前n项和为中间项乘以项数。这个公.一 I式在很多时候可以简化运算。(2)等比数列前n项和: q=1 时，Sn na1ai 1 qq 1, Sn ,特别要注意对公比的讨论1 q(3)其他公式较常见公式:c n .1C n . 211、Snk-n(n 1)2、Snk-n(n 1)(2n 1)k 12k 161o3、Sn k3 f(n 1)2 k 12xn 的前n项和.一S-的最大值.(n 32)Sn 1例 1已知 log3X 1-,求 x x2 x3lo

2、g 2 3例 2设 Sn=1+2+3+ +n , n C N*,求 f (n)2 .错位相减法这种方法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn 的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1例4求数歹I2,当与，与，前n项的和.2 2 22练习:求：Sn=1+5x+9x 2+ -3)xn-1 +(4n答案：当 x=1 时，Sn=1+5+9+ 4n-3 ) =2n+2n当 xwl 时，Sn= 11-x4x(T-xm)t=x+1- (4n-3 ) xn3 .倒序相加法求和这是推导等差数列的前n

3、项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把 它与原数列相加，就可以得到n个（为an）.例 5求sin21sin2 2 sin23sin2 88 sin289 的值4 .分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、I 归二 /1等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.111例6求数列的刖n项和：1 1,- 4,二 7, ，fy 3n 2,a a a11 11练习：求数列1W/?，“户，?？的前n项和。5 .裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合，使之能消去

4、一些项，最终达到求和的目的 .通项分解（裂项）如:(1)anf(n 1)f(n) (2)sin 1tan(ncosn cos(n 1)1) tann(6) an1n(n 1)(4) an_2(2n)(2n 1)(2n1)1 1( 12 2n2n11)n(n 1)( n2)2 n(n 1)1(n 1)(n2)1n 2n(n 1)12n2(n 1) n 1 n(n 1)2n12n 1(n 1)2n，则Sn1(n 1)2n 1例9求数歹!j尸，1.2.2的前n项和.例10在数列an中,an，又b1an an 1求数歹U bn的前n项的和.例11求证:coslcos0 coslcosl cos2一 、

5、1解：设S cos0 cos11cos1 cos22 /cos88 cos89 sin 11cos88 cos89sin1cosn cos(n 1)tan(n 1) tan n (裂项).S cos0 cos11cos1 cos 21(tan 1 tan 0 ) (tan 2 sin 1(裂项求和)cos88 cos89tan1 ) (tan 3 tan 2 ) tan 89tan 88 =(tan 89tan 0 ) = -1 cot1 = cos；1sin 1sin 1sin 1原等式成立1111练习：求3 15 35 63之和6 .合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时, 可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn .例 12求 cos1 +cos2 +cos3 + +cos178 +cos179 的值例14在各项均为正数的等比数列中，若 a5a6 9,求log3a log3a2log3a10的值.1I7.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的 规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 15求 1 11 111111 1 之和.n个1练习：求5, 55, 555 ,，的前n项和以上一个7种方法虽然各有其特点，