线代习题解答

1、第三章 行列式习题3.1a100C1b100d1(1) D4 =a20b200C20d23-1-6.用定义计算行列式ai,bj,Cj,di = 0,i =1,2解：设D4 = aij仅则D4中第1行的非0元为a“ = a1,a13 = b，故h = 1,3同法可求：j2 =2,4; J3 =1,3; j4 =2,4 j1, j2, j3, j4 可组成四个4 元排列 1 2 3 4 , 1 4 3 2 , 3 2 1 4 , 3 4 1 2 ,其代数和即为故D4中相应的非0项有4项，分别为acbzd?, -adgc?, -biGazd?, dd1a2C2D4 的值，整理后得 D4 = &

2、;1匕2 -Cd 2 - C2 d1 .1解：由行列式的定义'(-1)皿"知冋2 llgMlOn仅当jl, j2,ll),jn分别取2, 3,n-1,n,1 时，对应项不为零，其余各项都为零Dn =(-1)皿2 叫1启2 llbnj =(-1)(23 叫風3 1叽 =(-1)(nJ1)1 2|n =(-1)(2)n!习题3.2-3-3-1cos2_：i2cos :-sincos2 :cos2 :sincos 2cos2sin3.2-2.证明2a2 -2cos2 a-sin2 acos2 a2 sin左=cos2 P2 si np2 cosp2 sincos2 '<

3、;2 -si nV2 cosV2 sin2.2aabb2a a +b 2b=(a b)3111证明：a -abab -b2b2证明:左 G - C2a ba b2bc2七001=(a -b)3 =右x-10III000x-1III00+h+FhF+h1hfaF0 00IIIx-1an an 4an -2IIIa2a1+ x证明:按取后 仃展开，得-10III00x-1III00左=/ 八n十= an(-1)0x4i00III-1000IIIx-1-3-0acos2:-cos2:-2 sinapci - 03cos2 :cos2 :2 sin =07cos2cos22 sin1a(a _b)b(

4、 a _ b)/ 1 、2a ba -ba -b= (a-b)1 1n丄n4丄n_2丄丄.二 xaixa2xan jx anx00-100IHIH0000_i_/ 八n七+ anJ(T)ii11hiV+卜k000IH-10000IHx-13-2IIIIII=an( _1)an dx( _，1)an _2x1)川 a2Xn'(-1)2n(x ajxn(-1)2nx00III00x-10III000x0III000x-1III00.+to11+ill+a2(-1)2ndi141+I-4H000川-10000llix000IIIx-1000III0-1-1000xn 3an _2( /)II

5、IIII二 anan jx anx2 川.a2Xn= - qx"xn 二右3=2-3 .计算下列行列式的最后一行（(1)X a 川a11川111 HI1a x 川aa x HI a0 x-a |(|0+PR1+FFF¥4t= (x + (n - 1)a)+J+4+4n+= (x + ( n1)a)FF44ri-+ha a 川xa a III x00 III x-a二(x -a)n'x (n - 1)an a(a-1 JIII(a-n)n11III1n -1/八 n -1IIIn 4aa 1IIIa-na(a -1)(a-n )n（n 十）+i+= (T) 2+I-F

6、4aa -1川a nnJ anJ(a-1)nJIII (a-n)11III1n an(a-1)川(a-n)n.行（n+1 ）行依次欠与第n,n-1,2,1行交换，经过n次交换；再将新的行列式（最后Dn 1即原来的n行）依次换到第二行，经过n-1次交换；。最后一共经过-3-3-3n (n -1). 2八呼次换行。使原行列式化为范德蒙德行列式)n(n 1)n(n 1)= (-1)F 冷 - j - a-i 丄(-1) 丨【(i - j)= JU (j -i)0 空:j m0岂：i <n0勺:：:j <nanD2na dCidibn|按Cl展开anan Ja bg didnbn0dn00

7、dn (2n_1)0an -1丄/ 八2n卅-+(-1)Cna biC di0bnbn0FdnD 2(n)CnB D2(n)dn J0 2nd.=(and n - Cnbn)D2(n4)Q pdi -Gdi亠= (ad -Gb)i il迪xy0 .00xyIII00y0III000xy .000xIII00xym00a.BnJDn =+ii=x1444卜卜hF+ y，(T)4411i1riq000 .xy00IIIxy00111y0y00 .0xn00III0xn 00inxy(4 ) 解：按第一列展开行列式 Dn，得3-4-3-=x xny (-1)n1 yxn (-1)n1 yn(5)当

8、n =1 时，U =a, b当n =2时,D2d-d a2 3a1 - b2 a2da1 at b2 b1 d -b2 a2 a2 -鸟 b1 a2 -b.印32七2 七2务32=-b2a132a32=(ai - a2)(bi - b2)当n _3时习题3.33-3-1利用伴随矩阵求下列矩阵逆阵(1)cos° A _sin-sin 二 cos日_4 z . A存在。A 1 cost , A 12 二 sin , A 21 = sin , A 22 二 coscos sincos-sin 日 cos 日，sin°-sin Icos-cos sin 二 -s in°

9、cos 日-3-12-1(2 )B = 34-2.5-41 J3-5q - b1a1- b2 1II a1 - bn印a _ b?川a1 -bnbia1 - b2 INa1a? b+a2_b21II a2_bn4a2ta? _ bz+川a2hbi+a2 - b2 III卜a2 - bn4+K _b1an_b21II an1_bnan+an川1an+biFan b2 III1an bnDna1*2III1a1 d111 a11aIIIa1a2*2IIITn1a2 _ b2HIa2 -bnc bC11a2IHa2-0+01卜F卜Fi =2,3,.n1卜卜an-b2III-bn1an bIII an

10、 bn1anIIIan-0解：detB=12-1100_2 1 一 .34-23-21=2二其逆矩阵存在1465-415146血=14,A1=-4?A12 =-13,A13=；2,A21 =2,A22 =6,20 11_ -210 I*B=-1365B-=-13/231/2P214-167-1A31 =0, A32 二 -1,A33 二 -2,a b，其中ad-b0 Lc d解：a b=adbe 式 0 c d.逆矩阵存在.又Ai =d,A2_1a b1 d-b故 |=c d _ ad -be -c a3-3-2设矩阵A二51求AB , A,B18 7解: A10 -r16，.A = 0 ,

11、A 存在.由A3-1所以A23 _ 1又；|BH0.B存在，且B=丄J6 "，故B-116-2 4 一3-3-3 .设a为可逆矩阵，证明（A*） J =（AJ）*6 66 -8 416电*1I *I I1证明：、A可逆，” AO且逆矩阵为A ， , A* A = |AI二A = A A由于A式0 , A，可逆且（A）（A°）* = A，I_4*1可得（A）打A A另一方面，由 A*（A丁二 AA" A"-3-3-6由矩阵可逆定义知，A可逆，且(A*)=(A)*3-3-4 .设 Ak =0，证明：(I - A)J = I A A?川 Ak证明：若AB =1

12、，则B = A二(I A)(l A A? 川 AkJL) =1 A A? 川 Ak，一 A A? 一川 Ak一 Akk.,=I - A I -原式得证3-3-5设方阵A满足A? - A -21 =0 ,证明A及A 2I都可逆，并求AJ,(A 2I )一1? 1解：A -A-2I =0= A -A=2I= A(A-1)=21= A (A-1)=1 2显然A可逆且AJ1(I)；A可逆 A = 02 2 2 2且 A A21 =0n A =A + 2I， A =|a =|A + 2I 式 02 2 1 1即 A 2I 可逆，由 A 21 二A 二(A)=(A 21)，于是由 A2 -A-21 =0得

13、，(A 2I)(A _3I) 4I 二0二(A 21 )(A -31 ) =-411=(A 2I)U(A-3I)(A 21)' J(3I - A)43-3-6.用克拉姆法则解方程组(1)2x1 x22x1必_X2-X3 =1 x2 = -1X3解:2 1-13001 02 1 02-10=3-1 11-111 -1 1=3D-31 1-14002 1 -13 4-11 0=-11 0=4D2 =2-10=2 -13-113-11131D1-1-3-3-7D33-3-7解:-14200 2 02 02 1-1 =0 1 -1=31 -11-133-131-1-6D2x2 :问取何值时,-

14、113(1 _ )旳 _2x2 4x3DX32禺(3 - ) x2 x3 = 0x1 x2(1 - )x3 = 01-23 -11- 12D有非零解?-2=(3 - )(1 - )(3 - ) 4 -(7 - 2 )(1- ) 2=(3- )7-4'2 - (7-2 ) = (3- )( 一2)即(3 - -20 =0时，有非0解 =0,，=3 或，=2 时，有非习题3.43-4-1求矩阵的秩与标准形矩阵2-38(1)2 12-2123121一2412 -_2r1 r2 -2r1 r3.7-3-382 一卫_|21001-202 斗亠|003卫032 】,01 % % 一 I。10 0

15、 0 -0 014一4 46-60 00 00 03-8_4-21 12-1心2"r11-18-73嘴21413 一(2)1010_12-112-110-105r3七r4十20-21010弋15r200-31015 一0020 一01C3 + C21 00 1b 0卫0010为标准形10011/2-1/2-2CTC3_Ct01-1/2-21/20001-6001-600001 _1 100010 一12 1101_ 1120100卫01000010000101000为标准型。秩为2_1-10121_1-1012 11-10121201102丄21177211 >021-1-44

16、卡_ 3孔021-1-431004040-3-2*000-1620-12一-040-3_6 一-0000V 一1齐r3(4)1 .44 4易知，秩为4。3-4-2 答：在秩为r的矩阵中，有等于零的r -1阶子式，没有等于零的r阶-3-3-9子式，没有不等于零的r 1阶子式3-4-3 .证明：任何秩为r的矩阵均可表示为r个秩为1的矩阵之和。j0 00001 亠00000 1000a0 -.0a0 +03 000一且第r行）B 二证：设A为m Xn矩阵,R（A）=r。故A必与矩阵B等价。即m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q 使得 A=PBQ。川01III 00 0 III 010 1川0+川+00HI

17、000in0IIIinIH00IH1III川IH010III0（第r行）=En - E22Err_0III其中EH（i =1.2.37）是m Xi矩阵，仅第i行第i列的元素为1,其余元素全都为0.A-PBQ =P(En E22 III Err)Q=PE11Q PE22Q III PErrQ 二 B1 B2 山 Br其中Bi =PEHQ（i =1.27）,又；P.Q均可逆.且初等变换不改变矩阵的秩,二有R(B) = R(PEiiQ) = R(EiJ =1(i =1.2|j|r)证毕-3-3-103-4-4 .证明：等价矩阵有相同的标准型矩阵 证：设A, B为等价矩阵，则A经过有限次初等行变换可换

18、为初等列变换可化为标准型.故等价矩阵有相同的标准型矩阵解：法一：初等变换法11415问，取何值时A的秩最小?1311415100110501001105 -01 11T00 15人0 1 一人 5 人I0010001000110115- (% -5)则当，_0或，-5时,r(A)二3,当 -0且 =5时，r(A)二 4-当，=0或，=3时，秩最小。法二：定义法B。再经过有限次-3-3-11从而A, B分别经过有限次初等行变换可换为相同的行最简型,:在A中取1,2,4行的一个三阶子式r(A)_ 3.第五章又：A =100011131110k010X0扎150z15当，=0或，=5时，A=0,即卩

19、（A）乞 3.秩二3为最n维向量空间5-1-1. 解:a-b = a+(-b) = (1,1,0)习题5.1T+(0,-1,-1)T=(1,0,-1)3a+2b-c=3a+2b+(-c)=(3,3,0)T+(0,2,2) T+(-3,-4,0)T = (0,1,2)5-1-2.解：3(a 1-a)+2(a2+a) = 5(a 3+a) 3a计2a2+(-3+2)a = 5a3+5a3a 1+2a2+(-a)=5a 3+5a3a 1+2a2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 33a 1+2a2+(-5)a 3 =6al3a1+2a2+(-5)a 3616a61 1

20、5a1+ a2+(-)a3 = a2 31=(2,5,1,3)T,a 2=(10,1,5,10),a 3=(4,1,-1,1)6T代入1 15a = a计a2+(-)a 32 36可得:a=(1,2,3,4)5-1-3.(1)V1是向量空间.由（0,0,0)V1 知 V非空.设a=(x 1,x 2,xJ 三 V1,b=(y 1,y 2,y np= V,贝卩有 X1+X2+Xn=0, y1+y2+yn=0.因为(X1+y1)+(x 2+y2)+ +(x n+yn)= (x 1+X2+xn)+( y 1+y2+yn)=0所以a+b=(x1+y1,x 2+y2,，Xn+yn)三 V1.对于 k R,

21、有kx1 + kX2+kXn=k(X 1+X2 +Xn) = 0所以ka=( kx1,kx 2,kx n)- V1.因此V1是向量空间.V 2不是向量空间.因为取a=(1, X2,xn)三V ,b=(1, y2,yn)三V2，但a+b=(2,X2+y2,x n+yn) V2.因此V2不是向量空间.-3-3-12习题5.25-2-1. 求向量b关于向量组ai,a2,a3,a4的线性组合表达式:(1)解：11110、(1000-1)(aa2,a3,a4, b)=11102初等彳r变换1010011100000102<1000一1丿<0001一2丿因此向量b关于向量组ai, a2 ,a3

22、, a4的线性组合表达式为:b _&1 a? ' 2a§ - 2a .解:(1112-31000-2、(a1 , a2 , 3|3,a4 ,b )=12121初等行变换；01004110020010-93101丿<00012丿因此向量b关于向量组a1,a2,a3,a4的线性组合表达式为:b = -2a4a2 -9a3 2a45-2-2 . (1)解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数由推论2知a1,a2,a3,a4线性相关.(2)解111、11-P11-r(a1a2 a3 )=126T015T01533<022<004因为R a1 a2 a3

23、=3 所以a1,a2,a3线性无关.解-3-3-13<iii、广iii、ii、(aia2a3 )=2-4 i4T0-6i2T0i-2<3i7丿<0-24<000因为R ai a2a3】=2：3 , 所以&月2,直线性相关解ri-ii、5-ii、q-ii、a2 a3 )=-i03T0-i4T0-i4Ji-2>23J205>因为R a1 a2 a3 =3, 所以a1,a2, a3线性无关5-2-3. 证明：假设有常数 ki,k 2,k 使 k ibi+k2b2+k3b3=0又由于Qb2a2, b3 = q a2 a3于是可得k1a1 k2(a-i a2)

24、 k3(a1 a2 a3) =0即(ki+k2+k3)a i+ (k 2+k3)a 2+k3a3=0ki :=0k2 :-0k3 :=0因为ai,a2,as线性无关，所以有kik2k3 = 0*k2 +k3 =0解得i k 0因此向量组bi,b 2,b3线性无关5-2-4.设存在常数 ki,k2,k 3,k 4使 k ibi+k2b2+k3b3+k4b4=0因为 b i=ai+a2, b 2= a 2+a3, b 3=a3+a4, b4= a 4+ai于是可得：k i (a i+a2)+k2(a2+a3)+k 3(a3+a4)+k4(a4+aJ=0整理得：(ki+k4)ai+ (k 2+ki)

25、a 2+(k 2+k3)a 3+(k 3+k4)a 4=0,(下用两种方法解)法一： 因为ai,a 2,a 3,a4为同维向量，贝U(i).当向量组 ai,a 2,a 3,a 4线性无关时，k i+k4=0, k 2+ki=0, k2+k3=0, k3+k4=0,-3-3-i4k +k4 =010 0 11 ki + k? = 0110 0J 12，方程组的系数行列式k2 +k3 =00 110k3 +k4 =00 0 11二0所以方程组有非零解方程组b i ,b 2,b 3,b 4线性相关。因此 当向量组ai,a2,a 3,a 4线性相关时,ki+k4,k2+ki, k2+k3, k3+k4

26、至少存 在 一个不为0，不防设k计k4二0，那么ki,k 4至少有一个不为零。因此5-2-5.kl,k2,k3,k4不全为0,于是可得bl,b2,b3,b4线性相关。 . 证明：(法一)A 二 a!,a2, ,am，则有R(A)乞 R(B)因为向量组 a!，am线性无关，则 R(A)=m，所以有R(B)_m 而B是n行m列矩阵，所以R( B)乞m综上知R(B)二m，所以向量组R，,bm线性无关。(法二) 假如 向量组bi,b2,b m线性相关.即存在不全为0的常ki,k 2,k m 使:k由题意不妨设aa则相应地，ib 计k2b2+kmbm=0a i=(aii,a 12,a ir),2=(a2

27、i,a 22,a 2r),5m=(a mi, a m2, ,a mr)b i=(a ii,a 12,a ir ,a ir+i,a in),b2=(a 2i,a 22,a 2r ,a 2r+i , a 2n),bn=(a mi,a m2,a mr,a mr+i, a ml)由 k ibi + k2b2+kmbm=0可得:i aii+k2a2i+ +kmami=01 ai2+k2a22+km：=0-3-3-15iair+k2a2r +kmamr =0kiair+l+k2a2r+l+knamr+1 =0k1 ain+k2a2n +kmamr=0去前面r个分量可得:k I(a 11,a 12, ，a

28、1r) + k 2(a 21,a 22, ,a 2r)+ +km(a m1,a m2 ,a mr)=o即kia计 k2a2+kmam=0由假设知ki,k 2,k m不全为0，因此ai,a 2,am线性相关， 此与ai,a 2,a m线性无关相矛盾，结论得证.习题5.35-3-1 . (1)解：对矩阵进行初等行变换为257575Z531 174394 5394 5332 20132134 t4825 31 171 21313432531 171 20 10 043320该矩阵的秩为3,矩阵的第1,2,3列是它的列向量组的一个极大无关组-1002110011_101T0001001110 一1该矩

29、阵的秩为4,因此矩阵的第1,2,3,45-3-2 . (1)解:以a1 ,a 2,a 3为列作矩阵 A1 411141 12 -1-30-9-5A=TT1-5-40_9-53 -6-7018一 10 _(2)解：对矩阵进行初等行变换为02 1100211-10T111010001-1-2 _02 _ 1 _列是它的列向量组的一个极大无关组141|o-9-5000.000 一该矩阵的秩为2,它的一个极大无关组为 a1,a 2-3-3-161 0 0(2) 解：以a1,a 2,a 3为列作矩阵A= 1003一该矩阵为下三角矩阵，其A = 0，因此该矩阵的秩为3,它的一个极大无关组为向量组本身(3)

30、 解:11221、广11221、广11221 '0215-1T0215-1T0215-1203-130-2-1-5100000104-10-222J0-22一2以ai,a 2,a 3,a4,a 5为列作矩阵A,-1-2-2矩阵A的秩为3,矩阵A的第1,2,3列构成它的一个极大无关组,5-3-3证明:(法一)设 A： a1, a2, ,as ；B ： bi, b2, , bt，且 R( A) = R( B) = rC ： a1 , a2 ,asbb,bt向量组C能被A表示，而A也能被C表示所以R(C) =R(A) = r =R(B)取向量组B的极大无关组为：q ,见,，b它也是向量组 C

31、的极大无关组，所以向量组C能由向量组bi ,bi / ,bi线性表示，所以向量组C能由向量组B线性表12r示，所以向量组 A能由向量组B线性表示，加上题设条件，所以向量组A与向量组B等价。(法二)设向量组 B和A的秩均为r,且设它们的一个极大无关组分别为(b1,b2,br),(a1,a2,ar).则由极大无关组的性质可知：一个向量组的所有向量都可由它的一个极大-3-3-17无关组的向量线性表示因此要证明向量组A与B等价，只证明ai,a2,a r可由bi,b2,br线性表示即可.因为B可由A线性表示，不妨设bi =ciiai+ci2a2 ciab2=c2iai+C22a2+C2abr= Cria

32、i + cr2 32 +Crr a不妨设存在常数 kl,k2,k r使klb 计k2b2 +krbr=0于是可得：(klCll+k2C2l +krGl )ai+(klCl2+k2C22+krbr2)a 2+(k lClr+k2C2r+krbrr )a r = 0由ai,a2,ar线性无关可得：klCll+k2C2l+krCr1 =0klCl2+k2C22+krbr2=0lClr + k2C2r+krbrr=0把k1,k2,kr当作未知数，当ki,k2,kr只有0解，当且仅当k1,k 2,k r只有0解时，b1,b 2,b r线性无关Cj 式 0 (i=1,r,j=1,2,r),即C=C11C1

33、2C1rC21C22C2r即矩阵C的秩为r,存在逆矩阵C-1.设C_1 =rC12C1 rFC22C2rFCr2Crr一_Cr 1又因为C -1-3-3-18因此有：aaaibi1= C|i bi+ G2 b2+ Gr br2= C21 b1+ C22 b2+ + C2r brar= cri b1+ cr2 b2+ crr br也即说明，ai,a2,ar可由bi,b2,b r线性表示，因此结论成立.证明：必要性. 若a是任一 n维向量，由于n+i个n维向量ai,a2,an ,a必线性 相关，而 ai,a2,an线性无关，故 a必可由ai,a 2,an线性表示. 充分性.因为任一 n维向量都能由

34、ai,a 2, - ,a n线性表示，则特别地 n维单位坐标向量ei,e2,e n都能由ai,a 2,a n线性表示，因此，ai,a2,a n与ei,e 2,e n是等价的向 量组，故a i,a2,an的秩为n,即它们线性无关.5-3-8.证明： 因为R?=L(e i,e 2,e 3), e i,e 2,e 3表示单位坐标向量，所以只须证明ai ,a 2,a 3可由 ei,e 2,e 3线L(e i,e 2,e 3)= L(a i,a 2,a 3).即证 ei,e 2,e 3与 ai,a 2,a 3等价.显然,性表示，因而只须证明因为ai ,a2,0as)= (e, e2, e3 ) i

35、9;iiil0ii0i且i0i =2i0一ii0因此矩阵0 i ii 0 i为可逆矩阵，其逆矩阵为'i i 0 一-3-3-i9ei,e 2,e 3可由ai,a 2,a 3线性表示即可ei ,e2 ,e3 = ai ,a2,丄21| 2112212这说明ei,e 2,e 3可由ai,a 2,a 3线性表示，因此L(a i,a 2,a 3) = R5-3-9 . 证明：（法一）i i 0 0、(i|Td 0 i i 丿ei-i00、(i 0 iIti i丿卫 -i i们(i0 i i、|Ti 丿 Q i -i i 丿因为z2<0-ii3-i3、(2022、(i0iItIti 丿,0

36、i-ii 丿,0i-ii-i/ T aT与 02丿b；有相同的行最简形矩阵,并且矩阵经过有限次初等行变换得到的新矩阵的行向量组与原来矩阵的行向量组等价，所以向量组aT,aT与向量bT,bT等价，即向量组 ai,a 2与向量组bi,b 2等价。 （法 二）（'b i,b»能由（ai,a2）线性表示.设('b i,b 2)= (ak3k4可解得:2 0 -i i-i ii 0"kik313-i0 i*2k4 一3-i.0 i _卜k31=；-i 11企k4 -3-1一这说明 （'b i,b 2）能由（a i,a 2）线性表示.（2） （a i,a2）能（

37、'b i,b2）由线性表示.-3-3-20二1 11-11由(1)可知：(b 1,b2)= (a 1,a2) 'i3 J3_1=-2 H0_1匸也即是矩阵 |一11 1有可逆矩阵，可求得其逆矩阵为2 23一131.22 一因此有 (a i,a2)= ('b i,b2)|3 23 I：2 2也即(a i,a 2)能('b i,b 2)由线性表示.由(1),(2) 可知:L(ai,a2)=L('b i,b2)5-3-10. 解：设存在常数 k1,k 2, k 3 ,使 k1a计k2a2+k3a3=0k12k2 3k3=0即< +k2 +k3= 0、3k

38、2 +2k3= 0可解得：k1=k2=k3=0因此 a 1,a 2,a 3线性无关，即a1,a 2,a 3为R3的一个基.设向量b1=l £1+1282+13a3,b2=14a+l5a2+l6a3.即(l 1 ,l 2,13)，(l 4,l5,l6)分别为b1,b 2在基a1,a 2,a 3下的坐标.也即是:h 2I2 3I3* -h +2 +33J +2打5l4 2l5 3l6 二-90 和 t-l4 +l5 +丨6=-87J 3l5 +2l6= -13卩1可分别解得：彳l2J32l4=33和15=- 3一1 = -2因而b1,b 2在基a1,a 2,a 3下的坐标分别为(2,3,

39、-1)和(3,-3,-2).5-3-11. 解： V的维数为n-1维，取V中n-1个向量e2=(0,1,0,0),e3=(0, 0,1 ,，0),en= (0,0,0,，1).易证e2,e 3,，e n线性无关.对任意x=(0,x 2,x 3,x n)有 x=x2e2+X3e3+Xnen ,-3-3-21因此，e 2,e 3,e n为V的一个基.习题5.45-4-1.解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下2-11131 t01一34_卫0112-1 1 12 111t 012212 卫0于是可得:取X4= 1,可得线性方程组的一个基础解系为:'43-3431因此可得线性方程组的通解为：=k , k R.(2)解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下_121-11-121-11-120-1136-1-3T00-40T0010'510 1_5一-00-40 一-0000 一于是可得:x4 -2x20/ 、取八2=，可得线性方程组的一个基础解系为区41-3-3-224X4x1=3X23x4X3=4X43J2'广1、1匸2 =000因此可得线性方程组的通解为：=kl l+k2 2, k 1,k2R.(3) 解：齐次线性方程组的系数矩阵的行变换如下3-151-24-7