中考数学阅读理解题及答案

1、阅读理解题1. (2019 重庆中考A卷22题)道德经中的“道生一，一生二，二生三， 三生万物”道出了自然数的特征.在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某 种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等现 在我们来研究另一种特珠的自然数一一“纯数”.定义：对于自然数n,在计算n+ (n+ 1) + (n + 2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”.例如：32是“纯数”，因为计算32+ 33+ 34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23 + 24+ 25时，个位产生了进位.(1) 判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)

2、求出不大于100的“纯数”的个数.解(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”.理由：当 n = 2019 时，n+ 1= 2020，n + 2 = 2021，个位是9+ 0+ 1 = 10,需要进位， 2019不是“纯数”；当 n= 2020 时，n+ 1 = 2021，n + 2 = 2022，个位是0+ 1 + 2= 3,不需要进位，十位是 2+ 2+ 2= 6,不需要进位，百 位为0+ 0+ 0= 0,不需要进位，千位为2 + 2 + 2 = 6,不需要进位， 2020 是“纯数”.(2)由题意可得，连续的三个自然数个位数字是0,1,2，其他位的数字为0,1,2,3时，不会产 生进

3、位，当这个数是一位自然数时，只能是 0,1,2，共3个，当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1,2,3，个位数字是0,1,2，共9个，当这个数是三位自然数时，只能是 100,由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+ 9+ 1 = 13,即不大于100的 “纯数”有13个.2. 阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说 中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中 也有这种相辅相成的“对子”，如: ( ,5+ 3)( .5-3) = 4,( . 3+ ,2)( , 3- 2) =1,它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一

4、个是 另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：如主=扌技% = ¥，2+肿=1艮边_ 叵心_辺+ +姮_远9 = 21 姮+ 26 + 610+ 1014+ 1941982198 11 药. t (X +x2+ 2019)( y+y2+ 2019) = 2019，口2019 2+ 3二7+ 4 3像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把2- ”32- 3 2+ 3分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化.解决问题：1 1(1)比较大小：&二伍_心(用“” “v”或“_”填空)； 2 2 2 计算.3+ “ 3+ 5 3+ 3,5+ 7,5+ 5打7+ 99

5、' 97 + 97 99；(3)设实数 x,y 满足(x + x2+ 2019)( y + y x + x + 2019=2y + V y + 2019 2019 y py2+ 20192019 + 2019) _2019,求 x + y + 2019 的值.解1二一6 +2二亠士()6 2;'6 2 .'6 + 22 ，1=5+ 3,5+ ,35 ;3_ ；5 3_：5+ 3=y2+ 2019y，' -6+2> 5+ -3，A十>-(2)原式2 3 , 3 丄 5 .、3 3、5 7 * 5 5,79997 97 9999X 97X21 -書=1

6、-y +.y2+2019_2Q19x+,x2+ 2019原式二 26 +30+70+- + 2019x x2+ 20192019_x2+ 2019x， + 得 x + y_0，二 x+ y+ 2019_ 2019.3 阅读材料：在处理分数和分式冋题时，有时由于分子比分母大，或者分 子的次数高于分母的次数，在实际运算中往往难度比较大，这时我们可以考虑逆 用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数 的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明.解:2x x + 3 x x + 1 2 x +

7、 1 + 5 x x+ 12 x + 15+一 x 一 2 +x + 1x + 1x + 1x + 1x + 15x + 1.2x 一 x+ 35这样，分式 x+就拆分成一个整式x-2与一个分式XTR的和的形式.解决问题：2x _+ 6x3（1）将分式:一拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式,x I则结果为22x + 5x 20已知整数x使分式一x -的值为整数，则满足条件的整数x =x 37（3）若关于x的方程2x2 + （1 2a） x + （4 3a） = 0有整数解，求正整数a的 值.4解（1）x+ 7+ x一|解法提示2x + 6X 3x 12x 1 + 8x 1 + 4x

8、 14x 1.故结果为x4x 1.(2)2,4,16 ， 10 解法提示2 22x + 5x 20 2x 6x+ 11x 33+ 13x 3x 32xx 3 + 11 x 3 + 13x 3132x + 11+.x 313要使原式的值为整数，则为整数，故x 2,4,16， 10.x 3 t 2x2+ (1 2a) x+ (4 3a) 0，2 2x + x 2ax+ 4-3a = 0,即(2x+ 3)a = 2x2+ x+ 4,22x + x + 4 7+ 2x + 3 x 1 a=2x + 32x + 37=x -1+ 2x + 3.又 a, x均为整数， 2x + 3是7的约数,x = 5,

9、 或 a= 7. 2x + 3=± 1,± 7,x= 1,a= 5x = 2,x = 2,或或a= 10a = 2又 a为正整数， a = 5或2.4 阅读下列材料：已知实数 m n满足(2卅+ n2 + 1)(2 m+ n2 1) = 80,试求2卅+ n2的值.解：设2吊+ n2= t，则原方程变为(t + 1)( t 1) = 80,整理得t21= 80, t2= 81,二 t = ± 9,因为 2卅+ n2>0,所以 2卅 + n2= 9.上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方 法，在结构较复杂的数和式的运算中， 若把其中某

10、些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.解决问题：(1) 已知实数 x, y 满足(2x2+ 2y2 + 3)(2 x2+ 2y2 3) = 27,求 x2 + y2的值；(2) 若四个连续正整数的积为11880,求这四个连续正整数.解(1)令 2x2 + 2y2=t ,则原方程变为(t + 3)( t 3) = 27,整理得，t2 9= 27,t2= 36.t =± 6.2 2 2 2 2 2/ 2x + 2y >0,二 2x + 2y = 6,二 x + y = 3. 设四个连续正整数为k 1, k, k + 1, k+ 2(k且k为整数).由

11、题得(k 1)k(k + 1)( k + 2) = 11880, (k 1)( k + 2)k(k + 1) = 11880, (k2+ k 2)( k2 + k) = 11880.令 t = k2 + k,则(t 2) t = 11880, t2 2t 11880= 0, t1= 110, t2 = 108(舍去),则 k2 + k = 110,得 ki = 10, k2= 11(舍去).综上，四个连续正整数为9,10,11,12.5. 阅读材料：材料一：对实数a, b,定义T(a, b)的含义为：当avb时，T(a, b)二a+ b； 当 a>b 时，T(a, b) = a b.例如

12、：T(1,3) = 1 + 3 = 4; T(2 , 1) = 2 ( 1) = 3.材料二：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面 的问题：1 + 2+ 3+ 4+-+ 100= ?据说，当其他同学忙于把 100个数逐项相加 时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1 + 100) + (2 + 99) + (50 + 51) = 101X 50= 5050.也可以这样理解：令 S= 1 + 2+ 3+-+ 100，则S= 100+ 99+-+ 3+ 2 + 1 ， + 得 2S= 1 + 100 + 2 + 99 +103+ 98 + 100+ 1 = 10

13、0X (1 +100) = 10100,即s=100X 1 + 1002=5050.解决问题：(1) 已知 x+ y= 10,且 x>y，求 T(5 , x) T(5 , y)的值；对于正数m有T(m+1, 1) = 3,求 T(1 , n+ 99) + T(2 ,99) + T(3 ,99) + T(199 ,99)的值.解 (1) I x + y= 10,且 x>y , x>5 , y v5. T(5 , x) T(5 , y) = (5 + x) (5 y) = x+ y= 10.(2) V m+ 1> 1, m+ 1 ( 1) = 3 ,/ m>0, m=

14、 1 , T(1 , n+ 99) + T(2 ,99) + T(3 , n+ 99) + T(199 ,99)=T(1,100) + T(2,100) + T(3,100) + T(199 , 100)=(1 + 100) + (2 + 100) + (99 + 100) + (100 100) + (101 100) +(199 100)=(1 + 2 + 3+ 199) 100199X 1 + 1992100= 19900- 100= 19800.6. (热点信息)在现今“互联网+ ”的时代，密码与我们的生活已经紧密相 连，密不可分，而诸如“ 123456'、生日等简单密码又容易

15、被破解，因此利用简 单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是：将一个多项式分解因式,如多项式：x3 + x2 4x 4 因式分解的结果为(X + 1)( x + 2)( X 2)，当 X= 15 时，X + 1= 16, X + 2= 17, x2= 13,此时可以得到数字密码161713.(1) 根据上述方法， 当 X= 20， y= 17 时，对于多项式 X2yX2XyX 分解因 式后可以形成哪些数字密码？ (写出三个)(2) 若多项式 X3(m3n)X2nX21 因式分解后，利用本题的方法，当 X= 27时可以得到其中一个密码为 24

16、2834，求 m， n 的值解 (1) X2yX2 XyX= X(XyXy1) = X(X1)( y1) 当 x = 20, y = 17 时，x= 20, x + 1= 21, y + 1= 18.形成的数字密码可以是 202118,211820,182021(其他结果合理即可).(2) 由题意得, x (m 3n)x nx 21 = (x 3)( x1)( x7) , (x 3)( X + 1)( x+ 7) = X3+ 5x2 17X 21,3232 x3+ (m 3n)x2 nx 21 = x3+ 5x2 17x 21.m 3n= 5,m= 56, 解得n= 17,n= 17. m n

17、的值分别是56,17.7已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和， 则称这个数为“和数”， 若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差， 则 称这个数为“谐数” 如果一个数既是“和数”， 又是“谐数”， 则称这个数为“和谐数”.例如 321,v 3= 2+ 1,二 321 是“和数”，t 3 = 22 12,二 321 是 “谐数”， 321是“和谐数”.(1) 证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；(2) 已知 a= 10m+ 4n + 716(0 < me 7,1 < nw3,且 m n 均为正整数)是一个 “和数”，请求出所有 a 的值.解

18、(1)证明：设“谐数”的百位数字为x，十位数字为 y，个位数字为z(1 exe9,0 e ye9,0 ezW9 且 y>z, x, y, z均为整数)，22由题意知 x= y2 z2= (y+ z)( y z) , x+ y+ z= (y+ z)( y z) + y+ z= (y+ z)( y z+ 1) .t y + z, y z的奇偶性相同， y+ z，y z+ 1 必然一奇一偶. (y+z)( yz+ 1)必是偶数.任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数.(2) t 0e me 7,二 2e m+ 2e 9./ 1e ne 3,二 4e4ne 12. 10e4 n+ 6e 1

19、8, a= 10m+ 4n+ 716=7X 100+ (m+ 1) X 10+ (4n+ 6)=7X 100+ (m+ 2) X 10+ (4n+ 6 10)=7X 100+ (m+ 2) X 10+ (4n 4),v a 为“和数”， 7= m+ 2 + 4n 4, 即卩 m+ 4n = 9./ 0< mK7,1 < nw3,且m, n均为正整数，m= 1,m= 5,或 a的值为734或770.n= 2n= 1,8.如果一个正整数 m能写成a2 b2(a, b均为正整数，且ab)，我们b 称这个数为“平方差数”，则a, b为m的一个平方差分解，规定：F(m)=;.a22a+ b=

20、 8,例如：8= 8X 1 = 4X2,由 8= a b = (a+ b)( a b)，可得或a b= 1a+ b = 4 ,a = 3 ,1a b = 2.因为a，b为正整数，解得b = 1 ,所以F(8) = 1.2 2 2 2 2 2 11 1 1 又例如：48= 132 1 12 = 82 42 = 72 12，所以 F(48)=乜或2或7.(1)判断：6 方差数(填“是”或“不是”)，并求F(45)的值； 若s是一个三位数，t是一个两位数，s = 100x + 5 , t = 10y + x(1 < x<4,1 < y< 9, x, y是整数)，且满足s +1

21、是11的倍数，求F(t)的最大 值.解不是2 2根据题意，6= 2X 3= 1X 6,由 6 = a -b= (a+ b)( a b)可得,解法提示a+ b = 3 ,ab=2 或a+ b= 6,a b= 1,因为a, b为正整数，则可判断出6不是平方差数.根据题意，45= 3X 15= 5X 9= 1 X 45,由 45= a b2 = (a+ b)( a b),a+ b= 15,a+ b= 9,a+ b=45 ,可得 a b = 3或 a b= 5或 a b= 1.v a和b都为正整数,a = 9,a= 7,a= 23,解得b = 6或= 2或= 22,2 2 22 f(45) = 3 或

22、 7 或 23. 根据题意，s = 100X + 5, t = 10y+ x, s +1 = 100x + 10y + x + 5.1< x<4,1 < y < 9, x, y 是整数， 100W 100x< 400,10 < 10y < 90,6 < x + 5< 9, 116< s +1 < 499. s +1为11的倍数， s +1最小为11的11倍，最大为11的45倍. 100x末位为0,10y末位为0, x + 5末位为6到9之间的任意一个整数, s +1的末位是6到9之间的任意一个整数.当 x = 1 时，x + 5

23、 = 6, 11X 16= 176,此时 x= 1, y= 7, t = 71.根据题意，71 = 71X 1,由 71 = a2 b2= (a+ b)( a b)，可得a+ b= 71,a b= 1,解得a=36，b= 35, F(t)3536.当 x = 2 时，x + 5= 7, 11X 27= 297,此时 x= 2, y= 9. t = 92.根据题意，92= 92 X 1 = 46 X 2= 23X 4,2 2由 92 = a b = (a + b)( a b),可得a + b = 92,a b= 1a+ b= 46,或 a b= 2a+ b = 23, a b = 4.解得a =

24、 24, b = 22.解得b=7,b = 5a = 5, b= 1,51 F(t) = 7 或 5.11 X 49= 539不符合题意. 综上，F(t)= 36或 12或7或5.35 F(t)的最大值为36.9. (1)问题发现：如图1,在厶ABC中，A吐AC, / BA(= 60°, D为BC边上一点(不与点B, C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE连接EC,则/ ACE的度数是 线段AC, CD CE之间的数量关系是(2) 拓展探究：如图2,在厶ABC中, A吐AC, / BAG90°, D为BC边上一 点(不与点B, C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接EC, 请写出/ ACE的度数及线段AC, CD CE之间的数量关系，并说明理由；(3) 解决问题：如图3,在四边形 ADBC中, Z ABG=Z AC= 45°,/ BD(= 90° .若BD= 3, CD= 5,请直接写出AD的长.解60°AG C CE解法提示由题意，得 ABCffiA ADE均为等边三角形，