重积分与曲线积分

1、第九章重积分与曲线积分教学与考试基本要求：1理解二重积分的概念、几何意义，掌握二重积分的性质;2.会将二重积分化为二次积分，交换积分次序；3 会在直角坐标系和极坐标系下，计算二重积分.9.1二重积分的概念与性质一、主要内容回顾表9.1二重积分的概念与性质设f(x,y)在有界闭区域D内有界将D任意分成n个小闭区域i(i1,2,n),任取(i, in)i(i 1,2,n)作i 1f ( i， i )i定义记maxi直径,若limi n0nf( i, i) i有确定的值i 1,则称该值为f(x, y)在区域D上的二重积分，记为f(x, y)d ,即Df (x, y)d = limDnf ( i， i

2、 )i .i 1当 f(x, y) 0, f(x, y)dn表示以区域D为底，曲面zf(x, y)为顶的曲顶几何意义柱体的体积当f (x, y) 1时，f(x,y)d =区域D的面积D存在性右f (x, y)在有界区域 D上连续贝yf (x, y)d 存在D运f (x, y) g(x, y)df (x, y)dg(x, y)d算DDD性kf (x, y)dkf(x,y)d质DD性质可加性设D D1 D2,则Df (x, y)d = f(x, y)dD1f(x,y)dD2有序右在区域 D 上，f (x, y) g(x, y),则f (x, y)dg(x, y)d及估DD值性若在区域D上,mr(x

3、, y) M ,贝U mf(x,y)dM .D中值 定理若f(x,y)在有界闭区域 D上连续，是D的面积，则存在(，) f (x, y)d = f (,).DD,使二、本节基本考试题型及配套例题 题型1.利用二重积分的几何意义确定下列积分的值(R X2 y2)d ，其中 D:x2 y2 R2;D(2) . R2x2y2d ，其中 D :x2 y2 R2.D解曲顶柱体的底为圆盘 x2 y2 R2,顶是下半圆锥面z R X2 y2 ,故曲顶柱体为 一底面及高均为 R的圆锥体,所以(R X2 y2)dDR3.(2)曲顶柱体的底为圆盘x2 y2 R2,顶是下半球面z , R x2 y2 ,故曲顶柱体是

4、以为半径的半球体，所以R3.题型2.利用二重积分的性质估计下列积分的值(1) (x y)d ，其中 D :0 x 1,0 y 1 .D(2) (x2 4y2 5)d ,其中 D ： x2y242 .D解(1)在区域 D:0 x 1,0 y 1 内，有 0 x y 2, 所以0 (x y)d 2.D在区域D:x2 y242内,有52 2x2 4y252 24(x2y2)521,所以220(x24y25)d81D三、习题选解(习题9 -1)1.用二重积分表示下列曲顶柱体的体积,并用不等式组表示曲顶柱体在xoy坐标面上的底.(1)由平面-上231,x 0, y 0,z 0所围成的立体 V ;4(2)

5、由椭圆抛物面z 2 (4x2 y2)及平面z 0所围成的立体V .解(1) V12 4y6Xdxdy因为-z 1与xoy平面的交线为-123423x 则此曲顶柱体在 xoy坐标面上的底 D为：0 x 2; 0 y 3(1).2(2) V (2 4x y )dxdyD因为椭圆抛物面 z 2 (4 x2 y2)与xoy平面的交线为椭圆 4x2 y2 2则此椭圆抛物面在 xoy坐标面上的底 D为：4x2 y2 2 .2 .利用二重积分性质比较(x y)2d与 (x y)3d的大小，其中 D由x轴、y轴及DDx y 1围成.解因为当点(x, y) D时，有(x y)2 (x y)3所以(x y)2d

6、(x y)3d .DD3 .利用二重积分的几何意义，不经计算，直接给出下列二重积分的值：(1) d , D: x2 y21 ；D(2) ,R2 x2 y2d , D:x2 y2 R2 .D解因为 d ，而D: x2 y21表示半径为1的圆，D2所以1从而 d .D(2)根据二重积分的几何意义，R2 x2 y2d , (D :x2 y2 R2)表示半径为R的半球的体积.R3 .3所以 ,R2 x2 y2 dD9.2二重积分的计算一、主要内容回顾表9.1二重积分的计算法直若区域D为X型,即a x b(1)D:角1(x) y2(x)坐标则f (x, y)db=dx2(X)f (x,y)dy系Da1(

7、x)(2)若区域D为Y型，即D :yi(y) x 2(y)贝yf (x, y)d = dy 2"f(x,y)dxDC1(y)极 坐 标 系(1)极点在D外，即D :ri( ) rr2()2()f (x, y)d = df (r cos , r sin )dr ；D“()(2) 极点在D的边界上，即D :0 r r()r ()f (x, y)d = d 0 f (r cos , r sin )dr ；D0 2(3) 极点在D内，即D :0 r r()2r()f (x, y)d =df (r cos , r sin )dr .D对 称 性D 关 于 轴 对 称x(1) 如果对任意一点(x

8、,y) D均有f ( x, y)f (x,y),则f (x, y)dxdy 0;D(2) 如果对任意一点(x, y) D均有f ( x, y) f (x, y),则f (x, y)dxdy 2 f (x, y)dxdy 其中 Di 为 D位于 y 轴右边DD1的那一部分D关 于y 轴 对 称(1) 如果对任意一点(x, y) D均有f (x, y)f (x, y),则f (x, y)dxdy 0;D(2) 如果对任意一点(x, y) D均有f (x, y) f (x, y),则f (x, y)dxdy 2 f (x, y)dxdy 0 其中 D?为 D位于 x 轴上DD2边的那一部分D 关 于

9、 原 占 八、 轴 对 称(1) 如 果对任意一点(x, y) D均有f ( x, y)f (x, y),则f (x, y)dxdy 0;D(2) 如 果对任 意一点(x, y) D均有f ( x, y) f (x, y),则f (x, y)dxdy 2f (x, y) dxdy =2f (x, y)dxdy 0 其中DD1D 2D1为D位于y轴右边的那一部分，d2为D位于x轴上边的那一部分.二、本节基本考试题型及配套例题 题型1.改变下列二次积分的次序22y(1)0dy2 f (x, y)dx；0yeIn xdx1f (x,y)dy;012y23 y0dyf(x, y)dxdyf(x,y)d

10、x0 1 011 -11 x2dx0f (x, y)dy./X解 积分区域见图形9.1,表示成X型区域为于是2 2y0dy2 3皿=4 xdx x f(x, y)dy.02(2)积分区域见图形9.2,表示成Y型区域为eIn x1 e1dx 0f(x，y)dy= 0dy ey f(x,y)dx.(3) 积分区域见图形 9.3,表示成X型区域为0x21 2ydy f(x,y)dx0 02 3 y23 xdy f (x,y)dx= dx x f (x, y)dy .10 02 积分区域D见图形9.4,表示成Y型区域需将区域 D分成D-D?两部分:Di :D2：y 22yy2,1dxo1 x21y21

11、_f(x,y)dy=0dy0 f(x,y)dx2.2y y2+ 1dy 0 f (x,y)dx.题型2.在直角坐标系下计算下列二重积分1.2ydxdy,其中D是由直线x 2, y x与双曲线xy 1所围成的区域.x22.(x2y2)dxdy,其中D是由直线y x, y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域.3.1 y2dxdy,其中 D 是由 y 1x2与y x所围成的区域.解(1)积分区域D见图形9.5.先关于y积分，然后再对x积分,则2ydxdyD X2dx1：4dyx x2(1 y31(3x2x1)dx：('x1 3137)dx(-x26亠12x427649.6.(

12、2)积分区域D见图形 先关于x积分，然后再对y积分,则=(i(3)积分区域D见图形dyy(x2ay2)dxJ 3Xxy2)：ady(2ay22a y13円-a )dy33a2213、ay-y-ay)3aa3aa239.7.3aa2 2 3a (x y )dxdy = aD14a4 .先关于y积分，然后再对x积分,则由对称性有.1 y2dxdy = 2 q2D 2 21 x2予1 x f2dx 、. 1y dyx但这个二次积分不易计算，我们改为先关于x积分，然后再对y积分，则由对称性有y 2dy 1 y dx0 1212dy 1y 1 y2dx0 2匸1 y dxdy = 2 52 0D上 =2

13、 0 2 y . 1 y2dy 2i2 (1T2y )dy题型3.在极坐标系下计算下列二重积分22y1. (x y ) arctan d ，其中D是由圆周 dxx2y21 ,x2 y24 与直线 yx所围成在第一象限内的区域y2Rx(R 0)所围成的区域2. R2x2y2d ，其中D是由圆周x2D解在极坐标系下，积分区域D见图形9.8，且D: 014，于是r 2(x2D2yy ) arctan dxarctan 凹 r3dr cos3arctan(tan )r d3dr2arctan(tan )d r1(2)在极坐标系下,积分区域D见图形9.9,且D： 20 r Rcos2 ,于是.R2 x2

14、Dy2dd2R cos2' R2r rdrd2r2)Rcos2 2 2 *R r d(R 03Rcos1空 2(R2r2)22_3203122、92 (RRcos )321r32 2R3sin3 d33 0d3 ,.1 313 一R dRR (133-21 32 232=RR sind cos33 03cos2 )2 d= 1r3-R3 °dcos- R3 1 cos2 d cos3030=护( 三、习题选解(习题9 t2).1.把二重积分f(x, y)d 化为二次积分其中积分区域D是:D(1) 由曲线y2 4x与y x围成的区域；(2) 由曲线y x2与y 1围成的区域；(

15、3) 由曲线x、厂寸,x y2围成的区域；(4) 由x y . x , 0 x 1围成的区域.解(1)曲线y2 4x与y x的交点坐标为y24x为0X24yxyi0y2442、尺所以 f (x, y)d dx f(x,y)dy .0 xD(2)曲线y x2与y 1的交点坐标为y x2禺 1 X21y 1y11y2111所以 f (x, y)ddx 2 f (x, y)dy .1xD(3)曲线x 2 y2与x y2的交点坐标为2x21yi1 y21所以 f(x, y)dD1 口dx 2 f (x,y)dy 1 y1Jx(4) f (x,y)d dx f (x,y)dy 0 xD2 .改变下列二次

16、积分的积分次序.(1) I(2) I(3) I(4) Ib xdx f (x, y)dy ;a a10dyy f(x,y)dx ；1 J2xdxf (x, y)dy ；o o2 x 2dx 2 f(x, y)dy 1 xb x解(1) I dx f (x,y)dya aay(2) I1dy0 yyf (x, y)dx1dx ox2 f (x,y)dy xb bdy f (x, y)dx (3) I(4) I1 2x x2dxf(x,y)dyo o310 dy 11f(x,y)dx.2 x 2dx 2 f (x,y)dy1 x10dyyy f(x, y)dxdy4y2f(x,y)dx 3 画出下

17、列二重积分的积分区域并计算:(1) ex yd ， D: x 1， y 1 ；D(2) ()2d , D 由 y x , xy 1 , x 2所围成; D y(3) (x2 y2)d , D： x y 1 ;D(4)叫，D由y x, x 0, y -, y y2围成.解（1）1dx11xe1ydy(2)x 22dy(eI)2e(3)(x2D(4)4.画出下列积分区域后积).D : x2(2)(3)D : 2x解（1）(2)2dx12 .1(x)dx 2()dyyx)dx1dxox(x10(xx1 dxy2)dy4 1(x2y0(1 x)3)dx1 xdx0dy 沁 dx20 ysin ydy2

18、y2 2x ；R2 x2f (x,y)ddf(x,y)d3Td把二重积分,yx围成;sin y? yx dyf （x, y）d化为极坐标系中的二次积分D2cosf (r cos ,r sin )rdr .Rf (r cos ,r sin )rdr .（先积r，10(3) If(x,y)d2f (r cos ,r sin )rdr2cos322o f (r cos ,r sin)rdr .5 .画出下(1)D(2)D(3)D(4)D解( 1)重积分的积分区域ln(1 x2y2)d, D :x2sin x2 y2y arcta n = dxx2(2)(3)(4)ln(1x2D :1x2D : x2

19、y2)dsi nx2 yD2dy arcta n dxXdx yy2D，并计算:2yy21,x4,y2,x0,y0,y x2d0Rln(1R0ln(12)rdr2r )d(1r2)364o2d-(1 R2)l n(141r sin rdro1rd cosr02 (rcosr1rd cosr)02 (sin1cos1).2rdr11sin cossin cosrdr。伽cos1sin cos112(s incos 1)do9.3二重积分的应用一、主要内容回顾表9.1二重积分的应用几何体 积以区域D为底，曲面z f(x, y)为顶的曲顶柱体的体积为V|f(x,y)d |DIP 应曲设曲面的方程为z

20、 f(x,y),它在xoy平面的投影区域为 D应面则曲面的面积为用面SJ1 fx(x,y)2 fy(x,y)2d积D平设有平面薄片占有 xoy平面区域为D，在点(x,y)处的面密度为(x, y),面(,)为平面薄片重心的坐标，则薄x (x, y)dy (x, y)d片D D的(x, y)d(x, y)d重D D物心理平设有平面薄片占有 xoy平面区域为D，在点(x,y)处的面密度为(x, y),应面则平面薄片关于x轴，y轴，坐标原点的转动惯量分别为用薄片2 2I xy (x, y)d ,I yx (x, y)d的D转2 2Io(x y ) (x,y)d动D惯量、基本考试题型及配套例题题型1 求

21、柱面x2 y2 2ax被x2 y2 z2 4a2所截得部分体积.解 柱面x2 y2 2ax被x2 y2 z2 4a2所截得部分立体如图9 .10所示，根据对称 性，立体的体积为V 44a2 x2 y2dxdyDi12其中 D1(x, y)：x2 y2 2ax且y 0,下面采用极坐标计算在极坐标下Di :02 ， r 2 a cosV 4Di-,4a2 x2y2 dxdy = 4 刁do2acos22<4a2 r2 rdr-(4a22 3r2)32=a3至(1sin3 )d 乡a303题型2求锥面zx2 y2被柱面z22x所割下部分的面积.设锥面z . x2 y2被柱面z22x所割下部分的

22、面积为 A,则A . 1 Zx2 Zy2dxdy.D其中z :. x2 y2 ,区域 D : x22x .于是Zx从而 A 1 zx2zy2 dxdy ='一 2dxdy= 2DD题型 3 求由 y , 2px , x x0(x00) ,y 0所围成的均匀薄片的重心解设均匀薄片的重心的坐标为 ()，占据的区域D则D： y,2py,x Xo, y 0,且xdDdDydDdD三、习题选解Xo2 pxdx xdy0 0x02pxdxdy00x2 pxdxydy0 0Xo2pxdx dy0 0x0x0° . 2 pxdxpxdxx00(习题9 -3)3X0 ,5131.求下列曲面所围

23、成的立体的体积:(1) z 1 x2 y2,z 0 ；4解（1）V(12 x2 y)dD212 10d0(1r )rdr 2(r02V1z 22)d(2)4D(xy12 d8cos小r3dr420(2) z 1(x2y2),x2 y2 8x, z 0.r3)dr96 .x2及直线y x所围成，它在（x, y）处的面密度2 设平面薄片所占的区域D由抛物线y（x, y） Xy，求此薄片的重心.解 设此薄片的重心为（，）,x (x, y)dD(x, y)d3.1dxodxo：x3ydyxx 2 .x2x ydyy (x, y)dD(x,y)d丄48丄3535 ；481dxox 2 22x y dyX

24、35丄543515435-1被三坐标面所割出部分的面积.c解平面方程可以改写为：z.1 fx2f y2 dxdyD 22_c c122dxdya b丄 Ja2b2b2c2aba2c2dxdy4.求由抛物线y x2及直线y 1所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线y 1的14转动惯量.2解 I (y 1) dD1刁12刁 368dx 2(y 1) dy1 x1059.4三重积分一、主要内容回顾表9.1三重积分的概念与性质设f(x,y,z)在有界闭区域内有界.将任意分成n个小有界闭区域，任取(i , i ,ni)Vi (i 1,2,n),作f ( i, i, i) Vi ,记i 1max V直径

25、，若定义nlim0 i 1f( i, i, i) Vi有确定的值，则称该值为f (x,y,z)在区域D上的三重积分，记为nf (x, y, z)dV ,即f (x, y,z)dV = limf ( i, i0 i 1i) V.存在性右f (x,y,z)在有界区域 上连续，则f (x, y, z)dV存在.运f (x, y,z) g(x, y, z)dVf(x, y, z)dVg(x, y, z)dV .算性kf (x, y, z)dV kf(x,y,z)dV .质可设12 ,则加性f(x,y,z)dV =f(x, y, z)dV +f (x, y,z)dV1 2性质(1)若在 区域上，f(x,

26、 y, z) g(x,y,z),则有序f (x, y,z)dVg(x, y, z)dV .及估值性(2) 若在区域上 ，m f(x, y,z)M , 则.mVf (x, y,z)dV MV .中值若f (x, y, z)在有闭界区域上连续,V是 的体积,则存在定理(,),使f (x, y,z)dV = f ( , , )V .15在直角设 在xoy平面的投影区域为 Dxy,表示为(x, y)Dxy:,则Z1(x, y) z Z2(x,y)坐标系下的计算Z2 (x, y)f (x, y,z)dV =dxdvf(x, y,z)dz.z)(x,y)Dxy二、本节基本考试题型及配套例题 题型1.填空题

27、43f (x, y, z)dV = a .32.设是一个以a为底圆半径高为h的圆锥体f (x,y,z)dV - a2h.31. 设是一个以a为半径的球体，则zdxdydz=11 x 1 x y1dx dy zdz = 00 0 211 xdx (1o o2x y) dy24(1(1x)4y)124xdx1o(1x)3dx题型2.在直角坐标系下计算下列三重积分.1.2 2 2(x y z )dxdydz,其中：0 x 1,0y1,0 z 1.2.zdxdydz,其中为三个坐标面及平面 xyz 1所围成闭区域解1 由对称性2 2(x y21112z )dxdydz = dx dy (x 0 0 0

28、2yz2)dz三、习题选解（习题9 -4）y 1,0 z 1 .在点（x,y,z）处的密度为1 .设有一物体，占有空间区域：0 x 1,0（x, y, z） x y z，求该物体的质量.dxdydz (x y z)dxdydz111dx dy (x y z)dz00032 .162 .利用直角坐标计算三重积分：(1)xy2z3dV，其中为长方体：0 z 3,0 y 2,0 x 1 ;sin(x y z)dV，其中为由三个坐标面与平面X y Z i所围成的立体.解( 1)xy2z3dV2 x13y_24 z3"2"0304012 23 3xdx y dy z dz 00 02

29、7 .(2)sin(x y z)dV2dx 20 0xdy2 %in(xz)dz22 (1 sin x)dx0x222 dx 2 cos(x y)dy0 09.5曲线积分、主要内容回顾表9.1曲线积分的概念与计算设f(x, y)在光滑曲线L内有界.将L任意分成n个小弧段Li (i 1,2, ,n),任取n(i, i)Li(i 1,2,n),作f( i, i) Li 记i 1max Li,右1 i n对疋nlimf( i, i) Li有确定的值，则称该值为f(x,y)在曲线L上的曲线积分，记为弧义0 i 1长的f (x, y)dL ,即卩L曲线nf(x,y)dL = limf( i, i) Li

30、.L0 i 1积 分(1) L【f(x,y)g(x,y)dL L f (x, y)dL l g(x, y)dL ;性(2) kf (x, y)dL k f (x,y)dL ;质LL(3)f (x, y)dLf (x, y)dLf (x, y)dL .L1 L2L1L117计 算 方 法x(t)(1)若曲线L的方程为L:3, t , (t), (t)具有连续的导数,y(t)f(x, y)在曲线L上连续,则L f(x,y)dL= f( (t), (t)用(t)2(t)2dt .若曲线L的方程为y (x), a x b ,则Lf(X,y)dL= ag (x)Ji(x)2dx.设P(x,y),Q(x,

31、y)在xoy平面从起点 A到终点B光滑有向曲线 L内有界在L上沿L的方向依次任意插入 n 1个分点A M 0(x0, yo), Mi(xi,yi), , Mn(xn,yn) B将L分成n个个小弧段M i iM j(i i,2, n),任取(j, i) M i iM i ,记xixi xi i,yiyi yi i (ji,2,n) ,max Mi iM i 的弧长,若i i n-疋nlimp( i, i) xi, limQ( i, i)0 i iyi有确定的值，则称前一个极限值为 P(x, y)对坐义标沿有向曲线L上对坐标x的曲线积分，记为 P(x, y)dx ,即的曲nP(x, y)dx =

32、limP( i , i ) xi 线L0 i i积分后一个极限值称为Q (x, y)沿有向曲线即nL上对坐标y的曲线积分，记为Q(x, y)dy ,Q(x,y)dy = limL0 i iQ( i , i ) yi 性(i)P(x, y)dx Q(x, y)dyP(x, y)dx Q(x, y)dyP(x.y)dx Q(x, y)dy .L2 L2LiL2质(2) LP(x, y)dx Q(x,y)dyLP(x,y)dx Q(x, y)dy .18计 算 方 法x(t)(1)若有向曲线L AB的方程为,t对应起点A, t对应起点B,y (t)当t由单调地变到时,相应曲线上点从 A变到B, f

33、(x,y)在有向曲线L上连续，则P(x, y)dx Q(x, y)dy= P (t), (t)(t) Q (t),(t) (t)dt .L若有向曲线 L AB的方程为 y(x), x a对应起点 A, x b对应起点B, f(x, y)在有向曲线L上连续，则bP(x, y)dx Q(x, y)dy= P(x, (x) Q(x, (x) (x)dx .La(3)若有向曲线 L AB的方程为x (y), y c对应起点A, y d对应起点B, f(x, y)在有向曲线L上连续，则dP(x,y)dx Q(x, y)dy= P( (y), y) (y) Q( (y), y)dy .Lc二、本节基本考试

34、题型及配套例题题型1.填空题1设xoy平面曲线弧L上每一点(x, y)的线密度为 (x, y)，则曲线弧L的质量为l (x, y)dL .曲线弧L的重心坐标xLx (x, y)dLL y (x, y)dLL (x,y)dL(x, y)dL=a31 3 2sin t costdt = a3 s in2t2la322. Ly2dL =a2(t2cost) . a2 (1 cost)2( asin t)2dta2(12 cost) . a2(1 cost)22(asint)2dt= 8a3202sin5 dt 16a3 si n42 0-d cos 二216a3(1 cos22)2 d cos22

35、3 t cos -3 21cos5i 252256 3a153.(x2 y2)dx= 2L0(X2 x4)dxJix55615X4将L化为参数方程：ya costasint , 0，则dxasin tdt.dy a costdt ,于是(x y)dx (x y)dyLX22 a(cost sint)( asint) a(cost sint)acostdta2（习题9三、习题选解1.计算下列曲线积分:-5)(1)(2)边界;(3)(2)2dt 20l（x y）dL,其中L为连接（1,0）与（。两点的直线段;?eWdL ,其中L为圆周x2 y2a2，直线y x及x轴在第一象限中所围图形的x2yzd

36、L ,l(x y)dLe dL其中 是点A（1,0,2）与点B（3,2,1）间的直线段.1 厂1dx0-2 .2a e J 2dx0eaa2 sin20a2 cos2 deX .1 0dx020a aaaae e ae 2 ae 2(e1).44(3)直线的方程为:x 1 2t即 y 2t( 1 t 0)z 2 t2则 x1 2yzdL0 (1 2t)2( 2t)(21t) 4 4 1dt(2)Xdyydxxdyloaydxxdy ydxlab(3)xdyLydx20dy2Rsin ( Rsin ) Rcos Rcos d004326(4t4 4t5 7t11. 2t)dt11065 2 .计

37、算对坐标的曲线积分.(1) Jx2 y2)dx (x2 y2)dy，其中L是抛物线y2 8x从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;(2) Lxdy ydx，其中L是从点(0,0)到点(1,0)，再从点(1,0)到点(1,2)的折线；(3)xdyLydx，其中L为圆周xRcos,yRsi n上由0到-的一段弧2解(1)(x2Ly2)dx (x2 y2)dy2(x208x)(x218x) 2x 2dx2 R2 (cos2sin2 )d 0 .0复习题九1.填空题(1)dA ；D(2)11 yIdyf(x, y)；0 0222a2e x y dde r rdr0 0D(1 ea2)21x3dsCx31124x dx 0 .2选择题:(1)(C)(B)(xDy2)dd22cos 亠r3dr0(C)r2 sincos