圆锥曲线2008年高考题汇编

1、2008年高考数学试题圆锥曲线汇编一、选择题:22Fi、F2,若P为其上一Xy的两个焦点为1.(福建卷11)又曲线 P 笃 1 ( a> 0,b > 0)ab点，且|PF|=2| PFd，则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B. 1,3C.(3,+D. 3,2.（海南卷11）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A.(丄,1) B.(丄,1)44C. (1 ,2) D. (1,2) a1C1a?C2; a1C,a2C2；a1 a23.（湖北卷10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞 向月球，在月

2、球附近一点 P轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以 F为一个焦点的椭圆轨道n绕月飞行， 最终卫星在P点第三次变轨进入以 F为圆心的圆形轨道川绕月飞行， 若用2c1和2c2分别表示椭轨道I和n 的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和n的长轴的长，给出下列式子:其中正确式子的序号是A.B.C.D.4.（湖南卷8）若双曲线2 x2a2y1 (a>0, b>0) 上横坐标为b23a的点到右焦点的距离大2于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)xxx5.（江西卷7）已知Fi、

3、F2是椭圆的两个焦点，满足UULUMF1UULUTMF20的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C1A. (0,1) B . (0, C2.(0,f) D . #,1)226.（辽宁卷10）已知点P是抛物线2x上的一个动点，则点 P到点（0， 2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为A.B. 3D.-27.（全国二9 )设a2x1，则双曲线笃a2y(a 1)21的离心率e的取值范围是（A.（72,2）B.(2,5)D. (2,5)5（山东卷（10）设椭圆C的离心率为 一，焦点在13椭圆C的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为8.X轴上且长轴长为 26.若曲线C

4、2上的点到2(A) 422 y 322y429.（陕西卷8）2双曲线2a倾斜角为30°的直线交双曲线右支于2 y 522y122a 0 , b 0）的左、右焦点分别是F1, F2，过 F1 作M点，若 MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为10.（四川卷12）已知抛物线C : y2 8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K ,点A在C上且AK J2 AF，贝y AFK的面积为（B ）(A) 4(B) 8(C)16(D) 322x11.（天津卷（7）设椭圆刍m2乙12 1n(m0）的右焦点与抛物线8x的焦点相同，离心率为1丄，则此椭圆的方程为22(A) 122匕1162x(B) 一162y1

5、22x(C)48642y- 1(D)2 x642乞14812.（浙江卷7）若双曲线1的两个焦点到一条准线的距离之比为3: 2,则双曲线的离心率是D(A) 3(B)（C）73（D）7513.（浙江卷10）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面ABP的面积为定值，则动点 P的轨迹是B(A)圆（B）椭圆（C） 一条直线（D）两条平行直线内运动，使得X214.（重庆卷（8）已知双曲线 a2y耸 1 (a>0, b>0)b2的一条渐近线为 y=kx（ k> 0）,离心率e=J5k,则双曲线方程为C2(A)笃a2并=14a2(B)笃a2y5a2(D)2x5b2二、填空题:2

6、21的右顶点为 A右焦点为F。过点F平行双曲线的一1. （海南卷14）过双曲线L916条渐近线的直线与双曲线交于点B,则 AFB的面积为32152 22.（湖南卷12）已知椭圆冷爲a2 b21（ 3> b> 0）的右焦点为F,右准线为l,离心率eJ55过顶点A（0, b）作AM l ,垂足为M,则直线FM的斜率等于3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆21（ a b 0）的焦距为2，以o为圆 ba 2设椭圆C: 2¥1（a ba b心，a为半径的圆，过点 一,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=c4.（江西卷15）过抛物线X点C，则该椭圆的离心率e 7.（全国二15）

7、已知F是抛物线C： y2 4x的焦点, 2py（p 0）的焦点F作倾角为30o的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则AFFB25.（全国一 14）已知抛物线y ax 1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为6.（全国一 15）在 ABC 中，AB BC , cosB178 .若以AB为焦点的椭圆经过过F且斜率为1的直线交C于A B两点.设FAFB，贝U FA与FB的比值等于X28.（浙江卷12）已知Fj、F2为椭圆252 1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B9两点若F2A F2B 12，则AB =三、解答题:1.（安徽卷22）.（本小题满分

8、13 分）0）过点m（J2,1），且着焦点为 只（72,0）(I)求椭圆C的方程;(n)当过点p(4,1)的动直线I与椭圆C相交与两不同点 A, B时,在线段AB上取点Q，I uuu gQB解(1)由题意：c2uuu 满足APuuur uuuAQ g PBJ，证明：点Q总在某定直线上2 a c21a21 ，解得a24,b22，所求椭圆方程为2y- 12(2)方法设点Q、由题设知P，于是从而又点b2uuuAP2X11B 的坐标分别为(X, y),(X1, y1),( X2, y2)。uuu AP uur-PBgUUU,PBuuur,AQ , QB均不为零，记uuuQ四点共线，从而uuuAPuuu

9、 uuur PB, AQ2 2X22A、B在椭圆2X1，则uuuQBX1X21X1X214x，L LC上，即22y14,L L(1) + ( 2)x 2 并结合(3),即点Q(x, y)总在定直线2x y方法二(1)设点 Q(x, y), A(知 yj, B(X2,y2)，uuuuuuPAPBuuuuurAQQB且又P,A,Q,B四点共线，可设uuu PA* y21* y212 2y2222X2 2y2得4s2y 4由题设,4,L L (4)uuuuuuruuuuuaPA , PB , AQ , QB均不为零。uuuuur AQ,PBuuurBQ( 0, 1),于是(1)X2由于 A(x, y

10、j, B(X2, y2)在椭圆C上，将(1),(2 )分别代入C的方程x2 2y24,整理得(x2 2y24)4(2 x y2)14 0(x2 2y24)4(2x y2)14 0(4)-(3)8(2xy 2)0,.2x即点Q(x,y)总在定直线2x y 20上2. (北京卷19).(本小题共14 分)BD所在直线的斜率为1.已知菱形ABCD的顶点A C在椭圆x2 3y24上，对角线(I)当直线BD过点(0,1)时，求直线 AC的方程;(n)当 ABC 60o时1求菱形 ABCD面积的最大值.解：(I)由题意得直线 BD的方程为y X 1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC BD .于是可设直线

11、AC的方程为y因为A,所以则x1所以3y24得 4x2 6nxx nC在椭圆上,12n2 640,解得C两点坐标分别为3nX2 71 X1X23n24(X1i y1),(x2.3n2441 y1y2)1X1n 1y2X2n .所以AC的中点坐标为mi4 4由四边形ABCD为菱形可知,点所以n3n 1,解得n2.44所以直线AC的方程为yX42，即3n n在直线y X 1上, 4（n）因为四边形 ABCD为菱形，且ABC60°,所以 |AB| |BC| |CA .所以菱形ABCD的面积S.2AC .2由（I）可得I AC(XiX2)2(yiy2)23n216所以s务3n216)所以当n

12、 0时，菱形ABCD的面积取得最大值 価.3. （福建卷21）（本小题满分12分）2如图、椭圆a2OJ与 1（afbf0）的一个焦点是 F b（1，0），O为坐标原点.（I）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成 正三角形，求椭圆的方程；（n）设过点F的直线I交椭圆于A、B两点.若直线I2 2 2绕点F任意转动，值有oA lOB paB，求a的取值范围.本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.解法一：（I ）设M N为短轴的两个三等分点，因为 MNf为正三角形，所以OF匹 |MN|,2即 v51 V51 V5=

13、fv解得Za2 b214,因此，椭圆方程为2y- 1.3n )设 A(X1,y1),B(X2,y2).i ）当直线AB与X轴重合时，OA2 因此，恒有QAii）当直线AB不与X轴重合时,OB2 2a2, AB2OB4a2(a2AB2.1)，设直线AB的方程为：X my 1,代入2 X 2 a整理得(a2 b2m2)y2 2b2myb22-2a b0,所以y12b2my2厂帝畑b22" az 2a br22 b m因为恒有oA2ULU ULU 即 OAQBX1X2yiy2OBAB2，所以（N，yi）ax2，y2）X1X2(myi 1)(my21) yiy2AOBl为钝角.y1y2 0恒

14、成立.2(m 1)丫2 m(y1 y) 1(m2 1)(b2 a2b2)"2 22b m 彳2- 1a b m2旦0.2 . 2 2a b m2 2 2.2- 2m a b b a b2722a b m又 a解得0丁或a<h（舍去），即 °丁+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0 对 m R 恒成立, 即 a2b2m2> a2 -a2b2+b2 对 m R 恒成立.当m R时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0.a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4,因为 a>0,

15、b>0,所以 a<b2,即 a2-a-1>0,综合（i） （ii） , a的取值范围为（J5一 , +2解法二：（I）同解法一，l垂直于x轴时,x=1代入丄a21,2yA（n）解：（i）当直线752a(i) (ii), a的取值范围为(,+).1因为恒有 |OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1 + yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1,a解得a5或a<（舍去），即a52 2 2（ii）当直线I不垂直于x轴时，设A(xi,yi) , B (X2,y2).x2 设直线AB的方程为y=k（x-1）代入一2a得(b2+a2k2)x2-2a2k2

16、x+ a2 k2-a2 b2=0.2| 22. 2a ka b.22 2b a kc 2| 2击斤2a k故 X1+X2= ,X2X2b a k因为恒有 |OA|2+|OB|2<|AB|2,所以 X2什y2什 x22+ y22<( x2-X1)2+(y2-y1)2 得x1x2+ y1y2<0恒成立.X1X2+ y1y2= x1X2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+ k2) X1x2-k2(x1+x2)+ k22. 22. 2c 2. 22 a k a b 9 2a k =(1 + k) 一k k 门b a kba2k2 k2 (a2 a2b22.2 2. 2b )k a

17、 b2. 2a k由题意得(a2- a2 b2+ b2) k2- a2 b2<0 对a2- a2 b2+b2>0时，不合题意；k R恒成立.当当1 75a2- a2 b2+b2=0 时，a=2当a2- a2 b2+b2<0 时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0, a4- 3a2 +1>0,解得a2>弓5或a2>宁（舍去），a>r5，因此a综合4.（广东卷18）.（本小题满分14分）2 20，椭圆方程为命未1，抛物线方程为x28（y b）.如图4所示，过点F(0, b2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点 G的

18、切线经过椭圆的右焦点F,.（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2 ）设A, B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得 ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这 些点的坐标）.1【解析】(1)由 x28(y b)得 y -x2 b,G点的坐标为（4,b2).1y 4x,y'|x 41,过点G的切线方程为y （b 2）b 2，令 y0得x 2 b ,F1点的坐标（2b,0），由椭圆方程得Fi点的坐标为（b,0）,即椭圆和抛物线的方程分别为LF/4(aVc乙B/为图y21 和 x28(y 1)；-x2 142关于x的二次方程

19、有一大于零的解,X有两解,PAB为直角的Rt ABP只有（2） Q过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,一个，同理 以 PBA为直角的Rt ABP只有一个。若以 APB为直角，设P点坐标为（X'lx2 1），A、B两点的坐标分别为（75,0）和8h/2,0),um uur c 1c c 1 , 莎B x 2(8x 1)-x即以 APB为直角的Rt ABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。5.（湖北卷19）.（本小题满分13 分） 如图，在以点0为圆心，|AB| 4为直径的半圆 ADB 中,OD AB , P是半圆弧上一点，POB 30 ,曲线C是满足|MA| |

20、 MB |为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P .(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程;(n)设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点 E、F .若 OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力 .(满分13分)(I)解法1:以0为原点，AB、0D所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,则 A (-2, 0), B (2, 0), D(0,2), P ( J3,1 ),依题意得I MA I - I MB I = I PA I - I PB I = (2 v3)212(2 T

21、a)212 =2/2 <I AB I = 4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b,半焦距为C,则 c= 2, 2a= 2 , a2=2,b2=c2-a2=2.2 2曲线C的方程为L 12 2解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得IMA I - I MB I = I PA I - I PB |<I AB I = 4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为2 x 2 a2y七 1(a >0, b>0). b(V3)2则由a22 . 2a b1b241解得 a2=b2=2,曲线C的方程为2y-1.2x2x2

22、-4kx-6=0.y= kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）直线I与双曲线C相交于不同的两点 E、F ,2J3731-k 0(4k)24 6(1 k2)0 k( - J3,-1)u( -1, 1)u( 1,J3)设 E (x,4ky), F(x2,y2)，则由式得 X1 + X2= ,X1X21 k1 k汙是I EF 1 =J(X1 X2)2(yi X2)J(1 k2)(X1X2)2V1 k2x2)4x1x2k2而原点O到直线I的距离f1-Sadef= 1 d |EF22 V1 k2k2272J3 k2若 OEF面积不小于2 寸2，即 Sa OEF2 ，则有2屈'3 k21

23、 k22 保L 2血 k4 k2 20,解得 V2 k综合、知，直线I的斜率的取值范围为-J2 , -1 u（1-,1）u（1, J2）.解法2:依题意，可设直线I的方程为y= kx+2,代入双曲线 C的方程并整理, 得(1-K2) x2-4kx-6=0.直线I与双曲线C相交于不同的两点 E、F ,21-k o2 2(4k)24 6(1 k2) k( -73 , -1)U( -1 , 1)U(1, 73).设E(xi,yi),F(x2,y2),则由式得I x1-X2 I = J(Xix2 )2 4x1x2J1 k22423 k2当E、F在同一去上时(如图1所示),1-OD X12 1当E、F在

24、不同支上时(如图 2所示).S OEF = S ODF S ODE1SoEF SoDF 5=20D (XiX2X2 )-|0D22odXiX2；X-,X1综上得 S-0EF= 1|0D IX1X2 ,于是由I 0D I = 2及式，得-oef=¥1 k2若-OEF面积不小于2 72，即S OEF 2",则有2a/2J3k222k4 k2 o,解得42kJ2.综合、知，直线丨的斜率的取值范围为-U2 ,-1 u( -1,u( 1,72).6.(湖南卷20).(本小题满分13分) 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦 X轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条 存在无穷多条&

25、quot;相关弦”.给定Xo>2.AB (不平行于y轴)的垂直平分线与 “相关弦”.已知当X>2时，点P (X,0)(I)(II)解:证明：点P (xo,o)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同; 试问：点P ( xo,O)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值? 若存在，求其最大值(用(I)设 AB 为点 P (Xo,O)(X1,y1)、(X2,y2) (X1 两式相减得(y1+y2) 设直线AB的斜率是xo表示)：若不存在，请说明理由.的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是X2)，贝y y21=4x1, y22=4x2,(y1-y2)=4 (X1-X2).因为 X1 X2,所以

26、 y1+y2 o.k,弦AB的中点是 M (Xm, ym)，则k= y 4 2 .从而AB的垂直平分线I的方程为 y ym-(x Xm).X1 X2y1 y2ym2又点P (Xo,o)在直线I上，所以ym(Xo Xm).而ym o,于是XmXo 2.故点P (xo,o)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是xo-2.(n )由(I )知，弦AB所在直线的方程是 y2ym k(X Xm)，代入 y 4x 中,整理得 k2x22k(ym kXm)2x (ym2kXm)o.则Xi、X2是方程()的两个实根，且 XiX2(ym kXm)2设点P的“相关弦” AB的弦长为I，则I2(X12 2X2)(y1

27、y2)(12 2k )(X1 X2)(14(1 k2)(xm24(1k2)( X1 X2)2 4x1X22(ym Xm)ym4ymym 4ym(xm 1)224(Xo 1)422) Xm ymym)(4 Xm2 _y；)2 -(44(Xm 1)2 ym 2(Xm 1)XiX2)16Xm2 2 ym 2(Xo 3).因为 0< ym <4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是设 t= ym，则 t (O,4xo-8).记 l2=g(t)=-t-2(x o-3)2+4(xo-1)2.若 xo>3，则 2(xo-3)(0, 4xo-8),所以当 t=2(xo-3),即 ym=2(

28、xo-3)时,I有最大值2(xo-1).若2<xo<3,则2(xo-3) o,g(t)在区间(o, 4 xo-8)上是减函数, 所以o<l2<16(xo-2),l不存在最大值.综上所述, 当xo>3时，点P (xo,o)的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为2(xo-1)；当2< xo 3时，点P (xo,o)的“相关弦”的弦长中不存在最大值.7. (江西卷21).(本小题满分12分)2 2设点P(X0,y0)在直线X m(y m,0 m 1)上，过点P作双曲线x y 1的两条切线PA、PB,切点为 A、B,定点M (丄,0). m(1)求证：三点A、

29、M、B共线。(2)过点A作直线x y 0的垂线，垂足为 N，试求 AMN的重心G所在曲线方程.证明：(1)设A(Xi,yi),B(X2,y2)，由已知得到ym0，且 X12设切线PA的方程为：y y1 k(x xj由'2 2(1 k )x2k(y1kxi)x (y1kx1)2从而4k2(y1kx1)24(1k2)(y1kx1)24(11，12X2k(x2yk2)y 1，因此PA的方程为:wyX-iX同理PB的方程为:X2X又 P(m,yo)在 PA、PB上，所以y。y2yomx2 1即点A(x1, yj, B(x2, y2)都在直线yoymx 1上又M (丄,0)也在直线y0y mxm

30、1上，所以三点A、B共线(2)垂线AN的方程为：y y1XX,，X1得垂足N(Xy1 X1y1)，设重心G(x, y)x 3(x1所以 31/y 3(y1解得X1y1)2丿3m419y 3x - m9x3y422I由 X1 y11 可得(3x 3y )(3xm3y 丄）2即（X ）故曲线C的方程为x y22为重心G所在m3m9曲线方程8. （辽宁卷20）.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，点P到两点（0,J3）,（0,3）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y kx 1与C交于A，B两点.（I）写出C的方程；uur uuu（n）若OA OB，求k的值;uLUuuru（川）若点A在第

31、一象限，证明：当 k>0时，恒有|OA|>|OB|.20.本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力. 解：标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 满分 12分.（I）设P （X, y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0,J3）,（o, J3）为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴b J22 (73)21 ,分(n)设 A(xi, yi),B(X2,y2),其坐标满足2f 1,kx 1.消去y并整理得（k24）x2故X12k22k,皿24uuu 若OAuuuOB，即X1X2y1 y2而ym.2k x1x2k(x1 X2)于是x3X2y1 y2k2

32、4化简得4k2 10，所以k1,2kx3k2 43k2k2 42k2厂1分分（出）OAUUUD2 UUUU2OB2Xi2 （ 2力（X2y；)2 2(XiX2)4(12Xi1 xl)X2)6k(X_Xdk2 4因为A在第一象限，故X10 .由 X1X2UUUU2 UUUU2 故OAOB即在题设条件下，恒有UULUOAUULUOB . 12分12 分)9. （全国一 21）.（本小题满分（注意：在试题卷上作答无效）知 X20 ,从而 X,X20 又 k 0 ,k 4双曲线的中心为原点 O,焦点在X轴上,两条渐近线分别为|1, |2，经过右焦点F垂直于11的直线分别交li, 12于A B两点已知U

33、UU OA、UULTAB、OB成等差数列，且 BF与FA同向.uuuUUUULU解：（I）设OAmd ,ABm,OB md由勾股定理可得：(md)22 m(md)21得：d - m, tanAOFbtanAOBtan 2AOF4ba2- a4m b1求双曲线的方程.e232a（I）求双曲线的离心率；（n）设AB被双曲线所截得的线段的长为 4,ABOA2（n）过F直线方程为a(xbC），与双曲线方程2 22 .2a b1联立将a 2b , c 75b代入，化简有1528/5X X4b2b21 0XiX22a2-(Xi X2)4X1X2b将数值代入，有 4 丿5 32乐4_8L，解得b 3152故

34、所求的双曲线方程为 362y910.(全国二21).(本小题满分12 分)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0), B(0,)是它的两个顶点，直线y kx(k 0)与AB相交于点D，与椭圆相交于uumUULT(I)若 ED 6DF ,E、F两点.求k的值;(n)求四边形 AEBF面积的最大值.2(I)解：依题设得椭圆的方程为 y21,4直线AB, EF的方程分别为x 2y 2 , y kx(k 0).X2 ,如图，设 D(xo, kxo),E(xi, kxi), F(X2, kx2)，其中 xi且X1, X2满足方程(14k2)x2故X2Xiuuu 由EDuLur6DF 知 x0 x16(x21X

35、0)，得 X07(6x2 X1)57X2107J1 4k2由D在AB上知xo 2kxo 2 ,所以-212k化简得24k2107J1 4k2，25k 60,_3或 k 38(n)解法一：根据点到直线的距离公式和 h|x1 2kx1 _ 2(1 2k J1 4k2)解得k分式知，点E, F到AB的距离分别为5(1 4k2)x2 2kx22h22(1 2k 71 4k2)由(1 4k2)分175 ，所以四边形AEBF的面积为h2) 2k)2(1 2k)J1 4k2当2k 1，即当-时，上式取等号.所以212分解法二：由题设,B0|1 , |A0设 yikxi , y2kx2，由得X20, y2y1

36、0,故四边形AEBF的面积为分S BEFaeFX2 2y2J(X2 2y2)2<72(x1 4y|)当X2 2y2时，上式取等号.所以S的最大值为242 .-12分11.(山东卷22)(本小题满分14分)如图，设抛物线方程为 x2=2py(p> 0),M为 直线y=-2p上任意一点，过 M引抛物线的切线, 切点分别为A, B.(I)求证：A, M , B三点的横坐标成等差数列；(n)已知当 M点的坐标为(2, -2p)时，I AB 4/15，求此时抛物线的方程；(川)是否存在点 M，使得点X2 2py(p> o)上，其中，点C关于直线AB的对称点D在抛物线Luur uuuC满

37、足OC OA OB (O为坐标uuu原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标;明理由.若不存在，请说V1/722(I)证明：由题意设 A(x1, ), B(x2X), x1< x2, M (xo, 2p).2p2p2由X 2 py得y2X2p所以 kMA , kMBPX2因此直线MA的方程为2p7(XXo),所以因此直线MB的方程为2X2p2X22pXo2pXo).2p2pXiXo),Xo).XiX2Xo,2X2，即 2Xo2XiX2.A、M、B三点的横坐标成等差数列(n)解：由(I)知，当Xo=2时，将其代入、并整理得：所以2Xi4x1 4p2 o,2X2所以22X1、X2是方程X

38、 4x 4 p o的两根,4x2 4p2 o,因止匕Xi X24,XiX24p2,(2)2x04pX02X2 又kAB空22pX2XiX0P所以kAB由弦长公式得ABX2)2 4x1x2J1 孑16p.又 AB 4/10,所以p=1或p=2 ,因此所求抛物线方程为2 、 2X 2y 或 X 4y.X2y1y2y3)2),设直线AB的方程为y y10(XPXi),由点Q在直线AB上，并注意到点XiX2 yiy22)也在直线AB上,Xo代入得y -X3.P若D ( X3,y3)在抛物线上，则 X22py3 2x0X3,(川)解：设 D(X3,y3),由题意得 C(x什 X2, y1+ y2), 则

39、CD的中点坐标为q(TP因此 X3=0 或 X3=2xo.2x2D(0, 0)或 D(2X0,)P(1)当 X0=0 时，则 Xi X2 2Xo0 ,此时，点M(0,-2P)适合题意.2 2X1 X22p22X1X22 2当 X0 0,对于 D(0, 0),此时 C(2X0, ),kcD 2p又kAB学AB丄CD ,P所以 kAB SKcD2 2X0 X, X2P 4px0x21,42 2 即 X-Ix2对于 D(2x0,),因为 C(2X0,P22p2X2),此时直线CD平行于y轴,又kAB所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾,所以X00时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(

40、0, -2 P)适合题意.12.(陕西卷20).(本小题满分12分)2已知抛物线C : y 2x ,直线y kx 2交C于A, B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N .(I)证明：抛物线 C在点N处的切线与 AB平行； uuu uuu若不存在，说明理由.(n)是否存在实数 k使NAgNB 0，若存在，求k的值;20.解法一：(I)如图，设2 2A(X1,2X1 ) , B(X2,2x2 )，把 y入 y 2x2 得 2x2kx由韦达定理得XiX1X21 ,kxxxNxMXiX2设抛物线在点N点的坐标为k k28N处的切线I的方程为yk2将y 2x2代入上式得2xmxmkk2Q

41、直线l与抛物线C相切,2mkk2(mk)20,即 I / AB .(n)假设存在实数uurk，使 NAgNB 0，则uuuNANB，又QM是AB的中点,12kx22)2k(X1 X2) 4|MN | 1| AB|.由（D知Ym尹1 y2)12(kX1Q MN X 轴,|MN | | yMyN lk2k22 一8k216又 | AB | /k2cjx1 x21 &k2卽(为 x2)2 4x1x271 k24 ( 1) fjk2 1 亦k21681矿，解得k 2 .即存在kuuu uuu2 , 使 NAgNB 0 .2解法二：（I）如图，设 A（X1,2x,）,B(X2,2x；)，把 y2

42、kx 2代入y 2x得22x kx 20 .由韦达定理得x1kX2-,为 X2XNXMk, N点的坐标为4k k242.Q y 2x , y 4x,抛物线在点N处的切线I的斜率为/ AB .（n）假设存在实数uuu uiur k , 使 NAgNB由（I）知uuuNAX k ,2x；4uuu,NBX24 ,X227，则uuu uuuNAgNBXiX22xi2k282x|XiX24 Xi2£16£16XiX2X2g1 444X4X2k(xi X2)X1X2k4 X1X2 612 16 9k216g1 41)k21616?k24解得k即存在uuu使 NAgNBuur13.（四川

43、卷21）.（本小题满分12 分）2X设椭圆笃ab 0的左右焦点分别为M , N是I上的两个动点,ujLir FMluluF2N0UUULT(I)若 F1MuuuiuF2N求a,b的值;（n）证明：当【解】：由a2F1MN取最小值时,uuuur FMuuu JUJUF2N与F1F2共线。b2c2与e旦c孚得22a 2bF1,F2，£0,2F2 a,02,I的方程为X 72a设 M 72a,N 72a, y2uuiur则F1M3逅a,2y1uuuuENuiuu由FMuuuF2N 0 得ym（I）由3a2<02UUULTF1MuuuiuF2N25 ,得挣2苗y22 275由、三式，消去2y1, y2，并求得a 4故 a 2,b(n) MN当且仅当yiuuuu此时，F1Muuuu 故FMyiy2ULUUF2Ny2a22yi或y2萼 a, y1uuuuULU