高等数学课件：2-1导数

1、入门需引路，功夫法自修-王元院士第二章第二章微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 Ferma 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton 上一章我们重点学习了高等数学中上一章我们重点学习了高等数学中重要的极限思想，我们继续用这种思想重要的极限思想，我们继续用这种思想应用于实际问题，从而建立研究函

2、数性应用于实际问题，从而建立研究函数性质的另一工具质的另一工具导数导数 这一部分属于微积分中微分学的内这一部分属于微积分中微分学的内容容微分学是微积分的重要组成部分，导数微分学是微积分的重要组成部分，导数与微分是微分学的两个基本概念与微分是微分学的两个基本概念 在本章中，我们就由实际问题引入在本章中，我们就由实际问题引入导数和微分的概念并建立他们的基本公导数和微分的概念并建立他们的基本公式、运算法则及计算方法式、运算法则及计算方法导数的概念一、问题的提出一、问题的提出1.求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度 设位移与时间的关系为设位移与时间的关系为 ，求动点在时刻，求动点在时刻t0

3、的速度的速度)(tss 分析：（1）我们已知如果动点作匀速直线运动，它的速）我们已知如果动点作匀速直线运动，它的速度可由公式度可由公式 求出，这时速度是个常数求出，这时速度是个常数 间所花的时经过的路程（2）若运动不是匀速是变速的，则从时刻）若运动不是匀速是变速的，则从时刻t0到到t这样一个这样一个时间间隔，动点从位置时间间隔，动点从位置s0=s(t0)移动到移动到s=s(t) 这时由（这时由（1）中速度公式算得的比值中速度公式算得的比值是动点在上述时间间隔内的平均速度是动点在上述时间间隔内的平均速度0000)()(tttststtss 平均变化率平均变化率（3）如果时间间隔）如果时间间隔t

4、- t0越小越能反映物体越小越能反映物体在时刻在时刻t0运动的快慢运动的快慢 利用极限的思想利用极限的思想：令：令tt0，取上式的，取上式的极限，如果这个极限存在，设为极限，如果这个极限存在，设为v，即，即 ，则极限值则极限值v反映了动点在时刻反映了动点在时刻t0的速度，称为动点在的速度，称为动点在时刻时刻t t0 0的（瞬时）速度的（瞬时）速度 00)()(lim0tttftfvtt 总结：物理上讨论的这个问题，归结为当自变物理上讨论的这个问题，归结为当自变量的改变量趋于量的改变量趋于0时，函数的改变量与自时，函数的改变量与自变量的改变量之比的极限变量的改变量之比的极限 00)()(lim0

5、tttftfvtt 瞬时变化率瞬时变化率2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线. 0 xxoxy)(xfy CNM如图如图,).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx T总结：总结： 几何上这个问题，归结为当自变量的改几何上这个问题，归结为当自变量的改变量趋

6、于变量趋于0时，函数的改变量与自变量的改时，函数的改变量与自变量的改变量之比的极限变量之比的极限 .)()(limtan000 xxxfxfkxx 结论：结论： 除了速度、切线的斜率外，类似的问题，如除了速度、切线的斜率外，类似的问题，如比比热、密度、交流电的电流强度、角速度、线密热、密度、交流电的电流强度、角速度、线密度度等也都是这种类型的极限，我们撇开这些量等也都是这种类型的极限，我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量上的共性，的具体意义，抓住它们在数量上的共性，抽象抽象化、一般化为数学上导数的概念。化、一般化为数学上导数的概念。二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)

7、(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 x

8、xxxdxxdfdxdy 或或即即在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化在实际中，需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题题导数概念就是函数在一点变化率这一概念的精确导数概念就是函数在一点变化率这一概念的精确描述描述导数则是因变量在导数则是因变量在x0处的变化率，它反映了处的变化率，它反映了因变量随自因变量随自变量变化的快慢程度变量变化的快慢程度 (2) 如果函数如果函数y = f (x)在开区间在开区间I内的每点处都可导，就内的每点处都可导，就称函数称函数y = f (x)在开区间在开区间I 内可导这时

9、，内可导这时， xI，都对，都对应着应着 f (x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数函数，这个函数叫做原来函数y = f (x)的的导函数导函数,即即 ;)()(lim0 xxfxxfyx hxfhxfxfh)()(lim)(0 .)(),(,dxxdfdxdyxfy或记作 注意注意 在以上两式中，虽然在以上两式中，虽然x可取可取I内的任何数值，但在极内的任何数值，但在极限过程中，限过程中，x是常量，是常量，x或或h是变量是变量(3)函数函数y = f (x)在点在点x0处的导数处的导数f (x0)就是导函数就是导函数 f

10、(x)在点在点x = x0 处的函数值，即处的函数值，即 f ( x0)= f (x)|x=x0 导函数导函数f (x)简称导数，而简称导数，而f (x0)是是f (x)在在x0处的处的导数或导数导数或导数f (x)在在x0处的值，处的值，但此时要求导函但此时要求导函数数f (x)在在x0的某邻域内存在的某邻域内存在 (4) 如果上述极限不存在，就说函数如果上述极限不存在，就说函数y = f (x)在点在点x0处不处不可导如果不可导的原因是由于可导如果不可导的原因是由于x0时，时， ，这，这时也称函数时也称函数y = f (x)在点在点x0处的导数为无穷大处的导数为无穷大 xy 三、由定义求导

11、数三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的的导导数数为为常常数数求求函函数数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例 求求 在在x=0处的导数。处的导数。解解3xy xxxfxfyxxx3000lim0)0()(lim|例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos

12、 x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的的导导数数求

13、求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa .cos)(sinxx .ln)(aaaxx .)(xxee .ln1)(logaxxa .1)(lnxx .sin)(cosxx 求得求得其它例.)()(lim0hafhafh baf )(设 ，求hafhafh )()(lim0b hafhafh)()3(lim0 hafhafh3)()3(lim30 b3 axxafaxfax )()(limaxafxfaaafaxfax )

14、()()()(limabaf )(例例2.右导数右导数:二、单侧导数二、单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.例例1 ppt例例6 6.0)(处处的的可可导导

15、性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy其它例其它例,教案教案则令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:例6. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )(

16、2 )(0hhxf)(0 xf四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为

17、21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即例7. 问曲线问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有垂直切线2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的

18、瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数为物体的导数为物体的线的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .综合例综合例PPT证证: 设设)(xfy 在点在点 x 处可导处可导,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有

19、,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函数所以函数)(xfy 在点在点 x 连续连续 .注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xyoxy 即即思考与练习1. 函数 在某点 处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别:)(xf 是函数 ,)(0 xf 是数值;联系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数2. 设设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x时,

20、 恒有,)(2xxf问)(xf是否在0 x可导?解解:由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可导, 且0)0( f5. 设设0,0,sin)(xxaxxxf, 问问 a 取何值时取何值时,)(xf 在在),(都存在都存在 , 并求出并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故故1a时时,1)0( f此时此时)(xf 在在),(都存在都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在显然该函数在 x = 0 连续连续 .)(xf在在 0 x处连续处连续, 且且xxfx)(lim0

21、存在，存在， 证明证明:)(xf在在0 x处可导处可导.证：因为证：因为xxfx)(lim0存在，存在， 则有则有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x处连续处连续,0)0(f所以所以xxfx)(lim0即即)(xf在在0 x处可导处可导.2. 设设xfxfx)0()(lim0)0(f 故故练习题练习题 1. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f(1) 2; (2) ; (3)

22、 -2; (4)不会。连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x.,)()(. 30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0,