微积分课件：2-2函数极限

1、.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限2.2 函数极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过观察通过观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在着正数总存在

2、着正数X, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式Xx 的一切的一切x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim xAxfAxfx当当或或定定义义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: Axfx)

3、(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、几何解释、几何解释: X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函

4、函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多么小么小),),总存在正数总存在正数 , ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都都满足不等式满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(

5、xf当当0 xx 时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 .,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 例例2)

6、.( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例3. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例4.lim00 xxxx 证证

7、0)(xxAxf , 0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取负负值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记作记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使

8、当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记作记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例5证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn

9、;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时