(浙江专用)2020版高考数学复数、计数原理与概率、随机变量及其分布(含解析)

1、12板块命题点专练（十四）复数、计数原理与概率、随机变量及其分布命题点一复数1. （2018 浙江高考）复数（i为虚数单位）的共轲复数是（）1 iA. 1 + iC. 1 + i解析：选B8. 1- iD . 1 一 i2 1+i2-22 1 + i=1-i 1- i 1 + i，其共轲复数是1i.2. (2017 全国卷I )下列各式的运算结果为纯虚数的是()A. i(1 +i) 2B . i2(1 i)C. (1 + i) 2D . i(1 + i)解析：选C A项，i(1 +i) 2=i 2i =- 2,不是纯虚数；B项，i 2(1 i) = (1 i) = 1 + i ,不是纯虚数；C

2、项，(1+i)2=2i,2i是纯虚数；D项，i(1 +i) =i+i2=1+i ,不是纯虚数.故选 C.入 I ,、i1 i- r3. (2018 全国卷 I )设 z=1q +2i,则 |z|=()1A. 0B.2C. 1D. ：2解析：选 C - z=1+ 2i = : + 2i = t- 2i = i ,| z| = 1.故选1+i1+i 1-i21 1C.4. (2018 全国卷出)(1 +i)(2 -i)=()B . -3+iC. 3-i解析：选 D (1 + i)(2 i) =2i+ 2i i 2=3+i. _1 5. （2018 北乐局考）在复平面内，复数 匚的共轲复数对应的点位

3、于（）A.第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限解析：选 D =-+ -=+!，其共轲复数为 ；-：,对应点位于第四象 1 - i 1 -i 1+i 2 22 2限.故选D.6. （2017 北京高考）若复数（1 i）（ a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是()A. ( 8, 1)B . (8, 1)C. (1 , +)D . ( 1, +0)解析：选 B 因为 z= (1 i)( a+i) =a+1 + (1 a)i ,所以它在复平面内对应的点为(a+ 1,1 a),a+ 1 v 0,又此点在第二象限，所以解得a0,7. (2017 浙江高考)已知 a, bCR

4、, (a+bi) 2=3+4i(i是虚数单位)，则 a2+b2 =, ab=.解析：:( a+bi) 2= a2b2+2abi = 3+4i ,a b=3,a=2,a = - 2,或2ab= 4,b= 1b= - 1,，a2+b2 = 5, ab= 2.答案：5 28. （2018 天津高考）i是虚数单位，复数6+ 7i1+2i 6+7i6+7i1 -2i205i解析 = 4- i1 + 2i1 + 2i1 -2i 54答案：4-i9. (2018 江苏高考)若复数z满足i z=1 + 2i ,其中i是虚数单位，则z的实部为解析：由 i 2=1+21,得2 = -2 i , iz的实部为2.答

5、案：2命题点二排列、组合1. （2017 全国卷H ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A. 12 种B . 18 种C. 24 种D . 36 种解析：选D因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1人C2C2C1完成，所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组，即2,1,1 ,有一C2= 6种，再分配给3个人，有A3 = 6种，所以不同的安排方式共有6X6= 36（种）.2. （2018 浙江高考）从1,3,5,7,9 中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字, 共可以组成 个没有重复数字的四位数.（用

6、数字作答）解析：不含有。的四位数有c5CA4= 720（个）.含有0的四位数有C2Cc3&= 540（个）.综上，组成没有重复数字的四位数的个数为720+ 540= 1 260.答案：1 2603. （2018 全国卷I ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有 1位女 生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）解析：法一：（直接法）按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有 C1c4种，有2位女生参加有 C2d种.故共有C1C2+C2d=2X6+4=16l）.法二：（间接法）从2位女生，4位男生中选3人，共有C6种情况，没有女生参加的情况 有 C3种，故共有 C6C4=2

7、04=16（种）.答案：164. （2017 浙江高考）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员 2人组成4人服务队，要求服务队中至少有 1名女生，共有 种不同的选法.（用数 字作答）解析：法一：分两步，第一步，选出 4人，由于至少1名女生，故有C8C4=55种不同 的选法；第二步，从 4人中选出队长、副队长各1人，有A4= 12种不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有 55X12= 660种不同的选法.法二：不考虑限制条件，共有A2C6种不同的选法，而没有女生的选法有 A6C4种，故至少有1名女生的选法有 A2C6- A2C4= 840 180 = 660（种）.答案：660

8、5. （2014 浙江高考）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）.解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C2CA2= 36;另一种将3张有奖的奖券分给 4个人中的3个人，种数为A4= 24,则获奖情况总 共有 36+24= 60（种）.答案：60命题点三二项式定理1. （2018 全国卷出）x2+2 5的展开式中x4的系数为（）xA. 10B . 20C. 40解析：选CX?+x 5的展开式的通项公式为Tr + 1 =C5-( X2) 5r , x r =c5 2 r X1,

9、令10-3r = 4,彳导r = 2.故展开式中x4的系数为C5 2 2 = 4.2. (2017 全国卷出)(x+y)(2 x y)5的展开式中x3y3的系数为()A. 80B . 40C. 40D . 80解析：选C当第一个括号内取 x时，第二个括号内要取含 x2y3的项，即C3(2x)2( y)3, 当第一个括号内取 y时，第二个括号内要取含 x3y2的项，即d(2x)3(-y)2,所以x3y3的系数 为 C5X2 3C5X22=10X(8 4) =40.3. (2014 浙江高考)在(1+x)6(1 +y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为f(m n),则 f(3,0) +f(2,1

10、) +f(1,2) + f (0,3)=()A. 45B . 60C. 120D . 210解析：选 c 由题意知 f(3,0) =dC!, f(2,1) =dd, f(1, 2) = c1c4, f(0,3) =Ck4,因此 f (3,0) +f(2,1) +f(1 , 2) +f (0,3) =120,选 C.4. (2017 浙江高考)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3 + a3x2+a4x+a5,则 a4 =, a5 =.解析：由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得 a4 = C3xi2xc2X22+C3xi3xc2 X2=16, a5是常数项，所以

11、a5=C3xi3xc2x22=4.答案：16 45. （2018 浙江高考）二项式3/x+ 8的展开式的常数项是2x解析：由题意，得Tr + 1 = C8-（版）8-1 r2x1r28 一 4r8 4r=0,得r = 2.因此 T3= c8 - 2 2=7.答案：76. （2014 全国卷I ）（ xy）（ x+y）8的展开式中x2y7的系数为 .（用数字填写 答案）解析：（x+y）8中，Tr+1= C8x8 yr,令r =7,再令r = 6,得 x2y7 的系数为 C7-C6 = 8- 28=- 20.答案：20命题点四古典概型1.（2018 全国卷n ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究

12、中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（1 A. 121B.五1 D. 18解析：选C 不超过30的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C20= 45种情况，而和为30的有7+23,11 +19,13+17这3种情况, 31所以所求概率是4r词故选C.2. （2017 全国卷n ）从分别写有1,2,3,4,5 的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率

13、为1 A. 101B. 53C.一102 D.-5解析：选D记两次取得卡片上的数字依次为a, b,则一共有25个不同的数组（a, b）,其中满足 ab 的数组共有 10个，分别为(2,1) , (3,1) , (3,2) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (5,1),10 2(5,2) , (5,3) , (5,4),因此所求的概率2 25 = 53. （2018 江苏高考）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选 2名学生去参加活动，则恰好选中 2名女生的概率为解析：设2名男生为a, b,3名女生为A, B, C,从中选出2人的情况有（a, b）, （a,A), (a,

14、B), (a, C), (bA), (b, B) , (b,C), (A, B), (A, C),（B, C）,共10种，而都是女生的情况有（A, B）(A, Q, (B, Q,共3种，故所求概率为310.答案：104. （2017 山东高考）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A, A2A和3个欧洲国家Bi,B, R中选择2个国家去旅游.（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率;（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括Ai但不包括B的概率.解：（1）由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：A, A2,A,A,A2,A, A,B

15、,A, B2 , A,国，A2, B , A,B ,A,国,A, B,A3,E2,A3,固，B,B2 ,B,国，E2,B3,共 15 个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A, A, A, A, A, A,共3个. 31则所求事件的概率为 P=七=.15 5（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：A, B, A,国，A,国，A, B, A, E2, A, E3, 他 B, A,国，他 E3,共9个.包才A但不包括B的事件所包含的基本事件有：A, E2 , A, E3,共2个，2则所求事件的概率为P=9命题点五离散型随机变量及其分布列、均值与方差

16、1. （2017 浙江高考）已知随机变量J 满足 P( J = 1) = p, P(臼=0) = 1 p, i = 1,2._1 DR 1) v DU 2)口 )口”)DU 1) v DU 2)-1)加2)右 0 V P1 P2 ER 2)D. E(。) E(E 2)1斛析：选 A根据题思得，E(i) =pi,D(i) =pi (1 pi) , i = 1,2 , . 0 v p1 vp2-,1令f(x)=x(1x),则f(x)在0, 2上单调递增,f（p1）f（p2）,即 口。）口2）.2. （2018 浙江高考）设0v pv 1,随机变量 己的分布列是0121- p1pP222则当p在（0

17、,1）内增大时，（）A. D( )减小C. D（乙）先减小后增大1 - p 1 p 1斛析：选 D 由题息知 E( E ) = 0X 2b 1 X 2 + 2X 2 = p + ,1DR )= 0- p + 22 1-PX-4211- P + 21P+2p-22X2+32P2xP=-p2+p+4=- p-2 2+1,11 D( E )在0,2上递增，在2, 1上递减,即当p在(0,1)内增大时，D(乙)先增大后减小.3. (2018 全国卷出)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设 X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D升2.4 , P(X= 4)0.

18、5 ,所以p=0.6.4. (2017 天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为: 1, 1.2 3 4(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这 2辆车共遇到1个红灯的概率.解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.1111RX= 0)= 1-2 X 1-3 x 1-4 =4，P(X= 1) =1x 1 1 x 11 + 1 1 X1X 11 + 1 1 x 11 *：=襄()234234234 2411-311-41111P(X= 2)= 1-2 X3X4 + 2X124.11 1RX= 3) = -x X 一=()23 4所以随机变量X的分布列为X0123P11111424424随机变量 X的数学期望 日X) =0X1+ 1X11+ 2xl + 3x;1 = 13.424424 12(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则