(浙江专用)2020版高考数学离散型随机变量的均值与方差练习(含解析)

1、第8讲离散型随机变量的均值与方差15刷好题病理演埴什届克破基础达标1.若随机变量X的分布列为，其中 C为常数，则下列结论正确的是 （）A. E(X) =D(X) = 0B. E(X)=C, D(X) =0C. E(X) =0, D(X)=CD. E(X) =D(X) = C解析：选B.0为=CX 1 = C,D(X)= (E(X) Q2x 1 = 0,故选 B.2. （2019 稽阳市联谊学校高三联考）随机变量 七的分布列如下，且满足E（ E ） = 2,则E（aE+b）的值为（）123PabcA.0C. 2B. 1D.无法确定，与a, b有关解析：选B.因为E（）=2,则a+2b+3c= 2

2、,又a+ b+c=1,联立两式可得a=c,2a+b=1, E(aE +b) = aE( E) +b=2a+b=1.E012P1-p 212p23. （2018 高考浙江卷）设0Vp<1,随机变量 七的分布列是则当p在（0 , 1）内增大时，（）A. D（乙）减小B. D( H增大C. D（ E ）先减小后增大D. D（ E ）先增大后减小解析：选D.由题可得 旦己）=2+ p,所以DH）=p2+p+4 =p-1 +-2,所以当p 在(0,1)内增大时，昼E)先增大后减小.故选 D.8, 10),则 D(K 等于()14.设随机变量 X的分布列为 P(X= k)=5(k= 2, 4, 6A

3、.B. 8C.10D. 161解析：选 B.因为 E(X) =5(2 + 4+6+8+10) = 6 .1OO O O O所以 D(X) = 5( 4) 2+( 2)2+ 02+ 22+ 42 =8.5.设掷1枚骰子的点数为 E ,则()A.E( E ) = 3.5D(,_2E )=3.5B.E( E ) = 3.5D(、35C.E( E ) = 3.5D(E )=3.5D.E( E ) = 3.5D(、35E )=g 1 16解析：选B.随机变量E的分布列为123456P1111116666661111112X1, C、21, C、216" + (43.5) X-+(5 -3.5)

4、 X- +从而 EU)=1X6+2X6+ 3X6+4X6+5X6+ 6x-=3.5,2121DH ) = (13.5) X 6+(23.5) X 6+(3-3.5)2 135(6 3.5) *打也.6.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后,从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X,则X的均值日X) = (A.126125C.1681256B- 57 D.-5解析：选B.依题意得X的取值可能为0, 1, 2, 3,且 R X= 0)=3327125 125'RX= 1)=修=盆，RX= 2)=312 = 336, RX= 3)=义.故 E(X

5、)=0X；27+1X；54： + 2X：36+ 1251251251251251251251253X81257. （2019 嘉兴市一中高考适应性考试）随机变量X的分布列如下表，且 E（X）=2,则口2X 3)=()X02aP16P13A.28. 3C. 4D.解析：选C.由题意可得:+ p + -= 1,解得 p= ,因为 E(X) = 2,所以 6320X1+2X-+ax-623=2,解得 a=3. D(X) =(0 2)2X1+(2 2)2X1+(3 2)2X：= 1. R2X 3) =4D(X) =4.故选623C.8. （2019 嘉兴质检）签盒中有编号为1, 2, 3, 4, 5,

6、6的六支签，从中任意取3支,)B. 5.25设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为（A. 5C. 5.8D. 4.6解析：选B.由题意可知，X可以取3, 4, 5, 6,11C3 3RX= 3)=cr2? P(X= 4)=cr2o，C4 3c5 1RX= 5) = C6=10 P(X= 6)=C6=2. 1331由数学期望的定义可求得E(X) =3X 20 + 4X 20+5X +6X-= 5.25.4次,9 .罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取设X为取得红球的次数，则 X的方差D（X）的值为（A.125B.2425C.D.2.65解析：选B.因为

7、是有放回地摸球，所以每次摸球（试验）摸得红球（成功）的概率均为3,533连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则XB4,-,所以D(X)=4X-1-52425.10 .已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有 m个红球和n个蓝球(mB3, n>3),从乙盒中随机抽取i(i = 1, 2)个球放入甲盒中.(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为E i(i = 1, 2)；(2)放入i个球后，从甲盒中取 1个球是红球的概率记为pi(i = 1, 2),则()A.Pi>P2,EH1)<ER 2)B.Pi<P2,E J)>E(E2)C.p>p2,E

8、R1)>ER 2)D.p1<p2,曰± 1)<E(己2)解析：选A.随机变量 E 2的分布列为所以日上1) =n2m+ = n n2m+ n n12Pnmi+ nmnE 2123PCnCri+ ncmcnCm+ ncmCmi+ nC2 2CmCn 3Cm 3m nE E2)=SZ + %n + 箕=n，所以 E »<E( ”).因为快=优+4 . 1=2 2mtn)， n n 2 2 (m n)_ Cm CCn 2 Cn 13rm n6=577 + C77 . 3+C2mL . 3 = 3 (m n)，p1-P=6 (mnn) >°，

9、所以 P>p2.11 .某射击运动员在一次射击比赛中所得环数E的分布列如下:E3456Px0.10.3y已知 七 的均值E(己)=4.3 ,则y的值为解析：由题意知，x+0.1 +0.3 +y=1,又 E( E ) =3x+4X0.1 +5X0.3+ 6y = 4.3 ,两式联立解得y=02答案：0.212 .已知X的分布列为X-101P121316且丫= aX+ 3, RY) =7,则 a 的值为.3111117解析：E(X)=-1x 2 + 0X3+1X 6=-3, E(Y) = E(aX+ 3) =aE(X) + 3= $a+3=1所以a=2.23'答案：213 .设口袋中

10、有黑球、白球共 9个.从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为则口袋中白球的个数为解析：设白球有 m个，则取得白球的数学期望是CLmCndCm2豆X 0+b -，m (m- 1)口丘(9m) m 22即二+X 2=-,36363解得m= 3.答案：314 .随机变量 七的分布列如下表:E101Pabc1其中a, b, c成等差数列.若 E(E)=w，则DR)的值是3-1 a+ 0 b+ 1 c = 1,解析：由题意可得3a+ b+ c= 1,2b= a+ c,1 a=6.1解得 b = , 31 c=2.1 2 11 2 112 15所以 DHX -1-3 *6+ 0-3 x-+ 1-3 x

11、- = -.答案：§15 .已知随机变量 E的分布列为-101P111263那么 七的数学期望 曰E)=，设 刀=2己+1,则Y的数学期望 区刀)=解析：由离散型随机变量的期望公式及性质可得,日 H = -1x2+0*6+1*3=16,126 +1=3.E(t1)=E(2 己 +1)=2E(E) + 1 = 2X1 2答案：-6 26名男同学，4名女同学，其16 . (2019 浙江新高考冲刺卷)某中学的十佳校园歌手有 中3名来自1班，其余7名来自其他互不相同的 7个班，现从10名同学中随机选择 3名参 加文艺晚会，则选出的3名同学来自不同班级的概率为 ，设X为选出3名同学中女 同学

12、的人数，则该变量 X的数学期望为 .“一， 一、，C3xC7+C7 49解析：设“选出的3名同学是来自互不相同班级”为事件A,则RA)=一 = 49.C1060c4c3 k随机变量X的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, RX= k)=C(k=0, 1, 2, 3).所以随机变量X的分布列为X0123p11316210301316XWM日均.十七十”而+3*而=5.答案:496017 .从4双不同鞋子中任取 4只，则其中恰好有一双的不同取法有 种，记取出的4只鞋子中成双的鞋子对数为 X,则随机变量 X的数学期望E(X)=.解析：从4双不同鞋子中任取 4只，则其中恰好有一双的不同取法有C4C3

13、C1C1 = 48.(Cb 4 848 24C2 3X= 0, 1, 2, RX= 0)= C=35, RX= 1)=廷=而，P(X= 2)=d=0.X的分布列为X012P8352435335243 6日 X) =0+1X +2X =口八)3535 7-6答案：48 7能力提升1 .袋中有20个大小相同的球， 其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1, 2,3, 4),现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若丫= aX+ b, E(Y)=1, RY) =11,试求 a, b 的值.解：(1)X的取值为0, 1, 2, 3, 4,其分布列为X0123

14、4P1113122010205所以 E(X)=0x +1x；1+2x；1 + 3x；3 + 4x1= 1.5 , 220102051 X) =(0 1.5) 2X1+(1 -1.5) 2X A + (2-1.5)亲 + (3 - 1.5) 2X京+(4 1.5) 2X： 22010205= 2.75.(2)由 D(Y» =a2D(X> 得 2.75 a2=11,得 a=±2,又 E(Y) = aE(X) + b,所以当 a=2 时，由 1 = 2X1.5+ b,得 b= 2；a= 2, b= 4.当 a= 2 时，由 1 = 2X1.5 + b,得 b=4,所以a=

15、2, 或b= - 22 .设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得 3分.(1)当a=3, b=2, c=1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球, 记随机变量E为取出此2球所得分数之和，求 士的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量Y为取出此球所得分数.若Er=解：(1)由题意得 E =2, 3, 4, 5, 6.3X36X614,PH =3)=2X3X26X613'PH =4)=2X3X1+2X263<62X2X1 1P( 卫=5) = 6X6 =91X1 1R 己

16、=6)=63T6 =36.所以己的分布列为E23456P11511431893653'所以Er=(2)由题意知P的分布列为123Pabca+ b+ ca+ b+ ca+ b + ca 2b3ca+b+c a+b+c a + b+c_5 2 a5 2 b52c 5“=(13) a+b+c+ (2-3) a + b+c"3 3) a+b+c=9.化简得2a b 4c= 0, a+4b 11c= 0.解得 a= 3c, b= 2c,故 a： b： c=3：2： 1.3 . O： y=ax+b, a, bC1 , 2, 3, 4, 5, G： x2+y2=2.（1）求C, G有交点的

17、概率P（A）;（2）求交点个数的数学期望 E（乙）.、一、一,、，一，4，、，b解：（1）设圆心（0 , 0）到直线axy+b=0的距离为d,右C, C2有父点，则d = =a + 1v® b2<2（a2+ 1）.当 b=1 时，a=1, 2, 3, 4, 5；当 b=2 时，a=1, 2, 3, 4, 5；当 b=3 时，a = 2, 3,4, 5;当 b=4 时，a=3, 4, 5;当 b = 5 时，a=4, 5.共 5+5+4+ 3+2=19 种情况，一1919所以RA） =5X5 25（2）当交点个数为0时，直线与圆相离，有 6种情况；当交点个数为1时，直线与圆相切，

18、b2=2（a2+1）,只有a=1, b=2这1种情况；当交点个数为2时，由（1）知直线与圆相交，有 18种情况.所以E ”。装+办亲+ 2x18=37. 252525 254. （2019 温州八校联考）某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择.若投资甲项目一年后可获得的利润入（万元）的概率分布列如下表所示：E 1110120170Pm0.4n且七1的期望E（七1） =120;若投资乙项目一年后可获得的利润七2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0 v pv 1）和1 p .若乙项目产品价格一年内调整次数 X（次）与E 2的关系如下表所示：X012E 241.2117.6204求mj n的值；(2)求己2的分布列；(3)若日己i) v E(己2),则选择投资乙项目，求此时 p的取值范围.解：(1)由题意得mw 0.4 + n= 1,110rr 120X 0.4 + 170n= 120,解得 m= 0.5 , n= 0.1.(2) E 2 的可能取值为 41.2, 117.6, 204,R ”=41.2) = (1 - p)1 -