A17专题十七探索性问题要点

1、专题探索性问题【考点聚焦】考点1:对条件和结论的探索.考点2:猜想、归纳、证明问题.考点3:探索存在型问题.考点4:命题组合探索性问题.【自我检测】探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备.要求 解答者自己去探索， 结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对学生的数学思想、 数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求.它有利于培养学生探索、分析、 归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题 的全过程.(以问题的形式考查学生对必须要具备的知识，对必须具备知识的友情提示)【重点难点热点】问题1 :条件追溯型这类问题的基本特征

2、是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条 件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再 通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错 误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.例1.例1. (02年上海)设函数 f (x) = sin2x,若f (x+t)是偶函数，则t的一个可能值是分析与解答：f(x+t) =sin2(x+t) =sin(2x + 2t).又f (x+t)是偶函数f(x+t) = f (x+t)即sin(2x+2t) =sin(2x + 2t).由此可得2x+2t =

3、 2x+2t +2k尤或2x+t=n (2x+2t)+2kn(k w Z)2k 1. t =2 二(k Z)4点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论 成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推 理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利 于培养学生的逆向思维能力.演变1: (05年浙江)如图，在三棱锥 PABC中，ABXBC, AB = BC = kPA,点O、D分别是AC、PC的中点，OPL底面 ABC.(I )求证：OD /平面PAB;1 一，(11)当卜=一时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；2(m)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰

4、好为 PBC的重心?点拨与提示：（n ）找出O点在平面PBC内的射影F,则/ ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD PA, / ODF即为所求；（出）若5为PBC的重心，得B、F、D共线，进一步得 BD± PG 故 PB=BC ,得 k=1 .问题2 :结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论.例2. （04年上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设an是公比为q的无穷等比数列

5、，下列 An的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组.（写出所有符合要求的组号）.Si与a2与S3；为与an；q与%.（其中n为大于1的整数，Sn为an）的前n项和.）思路分析：研究能否由每一组的两个量求出的首项和公比.a。解：（1）由Si和S2,可知ai和a2.由一2 二4可得公比q,故能确定数列是该数列的 基 ai本量”.（2）由叱与S3,设其公比为q,首项为加，可得a2 = a1q,a1 = a2 ,S3 = a1 + a1q + &q2 qa22 S3=+a2+a2q ,a2q 十（a2 S3）q + a2 = 0q满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列

6、，故不一定是数列an 的基本量.（3）由ai与小，可得an = a1qn : qn" = 一，当n为奇数时，q可能有两个值，故不ai一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量.（4）由q与an,由an =2“",可得ai = -ani,故数列QJ能够确定，是数列右，的 q一个基本量.故应填、评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义.如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解.演变2:某机床厂今年年初用 98万元购进一台数控机床， 并立即投入生产使

7、用， 计划 第一年维修、保养费用 12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为 50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为 y万 元.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；（3 ）使用若干年后，对机床的处理方案有两种：（I）当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；（n）当盈利额达到最大值时，以 12万元价格处理该机床.问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.点拨与提示：从第二年开始，每年所需维修、保养费用构成一个等差数列，x年的维修、保养费用总和为12x+义工二Dm4,求出x与y之间

8、的函数关系.2问题3:存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函 数等）是否存在或某一结论是否成立.解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学 对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推 理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要 的作用.2y21=1,抛物线 C2：(y-m) =2px(p >0),且 Ci、x2例3: （ 06年湖南）已知椭圆Ci： 十4C2的公共弦AB过椭圆Ci的右焦点.（I ）当AEJ± x轴时，求m、P的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在

9、直线 AB上;（）是否存在m、p的值，使抛物线 G的焦点恰在直线 AB上？若存在，求出符合条 件的m、p的值；若不存在，请说明理由.8k 2思路分析：（II）中，分别将直线方程 y=k（x-1）与椭圆、抛物线的方程联立，8ko3 4k2=x1 +x2 = p（k z+2），再 由（2X ）+（2-1 x2） = 4-1 （x1 +x2）= k2222_ 2.p . p .3.12kAB =（x1 + 且）+（x2 + 上）=x1 +x2 + p 得 p = 4 - -（x1 + x2） = 4 - -2可到 k 的2224k2+3值.解 （I）当AB，x轴时，点A、B关于x轴对称，所以 m =

10、 0,直线AB的方程为x=i,从而点a的坐标为（i, 9）或（i, 9）.22因为点A在抛物线上，所以9=2p,即p=9.41 厂8此时C2的焦点坐标为（旦，0）,该焦点不在直线 AB上.16（n ）：假设存在 m、p的值使C2的焦点恰在直线 AB上.当C2的焦点在AB时，由（I ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y =k（x1）."y =k(x -1)由x2 y 2 消去 y 得(3+4k2 )x2-8k2x+4k2-12 =0 . !+ =143设A、B的坐标分别为(xb yO ,(x2, y2),8k 2则x1, x2是方程的两根，x1+x2=.3 4k2(y m)2

11、= 2pxc由 J"P 消去 y 得(kx _ k _ m) = 2 px ,.y =k(x1) C2的焦点F ( ,m)在直线y =k(x_1)上，所以m = k(p -1),代入得22222 22- k pk x - p(k +2)x +=0 4222由于x1,x2是方程的两根，x1+x2=E(k2，从而广p(k +2)1k23 4k2 k2因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过 C2的焦点的弦, 111.一所以 AB =(2-x1)+(2- x2 ) =4 (x1 +x2 ),且 222AB =(x1 + ) +(x2 +) = x1 +x2 + p .2 21 , 从而 x

12、x2 P = 4(x1 x2).223 12k2所以 p =4 -(x1 + x2) =4 -2，代入得.24k2 3解得k2 =6,即k =±J6 此时p = 4 .32 1因为&的焦点F (, m)在直线y=k(x1)上，所以m = - k .3366即m =或m = 33 ,6当m=时直线AB的方程为y = r6(xT)；3当m =时，直线 AB的方程为y=、16(x1).3点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行.“不存在”就是没有，找不到.这类问题常用反证法加以认证.“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由.这类问题常用“

13、肯定顺推”演变 3： (06年福建)已知函数 f (x) =x2+8x,g(x) =6ln x + m.(I)求f (x)在区间&,t+1上的最大值h(t);(II)是否存在实数 m,使得y = f (x)的图象与y = g(x)的图象有且只有三个不同的 交点？若存在，求出 m的取值范围；若不存在，说明理由.点拨与提示：(I)讨论f(x)对称轴x=4与区间k,t +1的位置关系；(II)转化为 Wx) = g(x) - f (x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点，利用导数分析函数Wx) = g(x) -f (x)的极值情况.问题4:条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但

14、需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题.此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段.一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求.应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力.例4 (99年全国)“、3是两个不同的平面，m n是平面”及3之外的两条不同的直线，给出四个论断：ml nn，3ml a以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题.思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证.解：依题意可得以下四个命题：(1)m ±

15、;n, a ± 3 , n ± 3 m± a ; (2)m ±n, a ± 3 , m± n = n± 3 ；(3)m，a,n，3,m，a= a±3； (4) a±3, n±3, niLa=> ml n.不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题.故填上命题 或(4). 点评：本题的条件和结论都不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有 正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的.演

16、变4: 6. (05福建卷)把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数f (x) =3 + log2 x的图象与g(x)的图象关于 对称，则函数g(x)=(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)五、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般 结论.解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条 件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.例5： (06年上海春)已知数列 a1，a2,，as。，其中a1，a2,，a仅是首项为1,公差为1的 等差数列；冉0

17、,冉1,，a?。是公差为d的等差数列；a?。，a21,，a3。是公差为d 2的等差数 列(d #0).(1)若a20 =40 ,求d ； (2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得 230,231,，a40是公差为d3的等差数列，依次类推，把 已知数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题(2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？思路分析:a30 =a20 +10d2 =10(1 +d + d2 ) , a40 =a30 +10d3 =10(1 + d +d2 + d3 ),a50 =a40 +10d4 =10(1 + d + d2 + d3

18、 +d4 ),由此得到 a10s由)=10(1 + d +dn )解：(1)a10 =10. a20 =10+10d =40,二 d=3."113(2) a30 =a20 +10d =101+d+d ) (d=0), a30 =10 d +,3020， 7 oucl a 7I 2J 4一当 d w (-吗 0) U(0,十叼时，a30 w .7.5, +°0 ).(3)所给数列可推广为无穷数列an,其中a1，a2,，a10是首项为1,公差为1的等差数列，当n之1时，数列 胡口且如书，awn却是公差为dn的等差数列. 研究的问题可以是：试写出a10(n书)关于d的关系式，并求

19、a10(n书)的取值范围研究的结论可以是：由a40 =a30+10d3 =10(1+d +d2+d3 ), n 乂 n 书1 - d依次类推可得a10(n书)=10(1+d + +dn )=?°1_d , d T10(n 1), d =1.当d>0时，a10(n书的取值范围为(10, +9)等.演变5:在等差数列 an中，若a10=0,则有等式a+ a2+ a n = a+ a2+ an-19(n<19 , n N) 成立.类比上述性质，相应地在等比数列 b n 中，若b9=1,则有等式 成立.点拨与提示：分析所给等式的性质：项数之和为n+(19-n)=19(定值)，19

20、与a的序号关系为：2M 101=19;由此得相应等式.专题小结1、条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.2、结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论.3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式

21、但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.【临阵磨枪】一.选择题1. （05年江西）（JX+3G）12的展开式中，含x的正整数次哥的项共有（）A 4项B 3项C2. （05天津）设二、B、7为平面，m、n、A 二 -：=l ,m _ lC : _ , ： _ , m - :2项D 1项l为直线，则m _L P的一个充分条件是（）B ： '= m, ： _ ，:一Dn_:,n_ :

22、,m_:23. （05年山东）设直线l :2x + y +2 =0关于原点对称的直线为1',若1,与椭圆x2 +工=14的交点为A、B、，点P为椭圆上的动点，则使 APAB的面积为1的点P的个数为（）2A 1B 2C 3D 44. （05湖北）如图，在三棱柱 ABCA' B' C'中，点 E、F、H、 K分 另I为AC'、CB'、A' B、B' C'的中点，G为4ABC的重心. 从K、H、G、B'中取一点作为 巳 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（）A KB HC G DB'5. （06年湖北卷

23、）已知平面区域 D由以A（1,3'B（5,2 ）、C（3,1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点（x,y ”使目标函数z = x+my取得最小值，则 m =（C）A -2B -1C 1D 41 a6. （06年陕西）已知不等式（x + y）（十 ）之9对任意正实数x, y恒成立，则正实数 a的 x y最小值为 （）A 2B 4C 6D 82 27. （06年安徽卷）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 上+工=1的右焦点重合，则p的值62为（）A -2B2 C-4D4c d8. （04年北东）已知二个不等式：ab > 0,bc - ad > 0,_ _ &g

24、t; 0 （其中a, b, c, d均a b为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组 成的正确命题的个数是（二.填充题x y - 5,9. （05年山东）设x、y满足约束条件3x 2y <120 MxM3,0< y<4.y'则使得目标函数z=6x+5y的最大的点（x, y）是 10. （05湖南文）已知平面u, P和直线，给出条件： m/a ；m _La ；m« ;ot _L P ； a / P .（i）当满足条件 时，有m P ； （ii）当满足条件 时，有m_L P .(填所选条件的序号) 2 x 一 11. (02

25、年全国理)已知函数 f(x)=2，那么1 x111f (1) + f (2) + f q + f (3) + f (3) + f (4) + f (-)=.nJT12.设函数f (x) =sin(6x十邛)(6 A0, 一二< 平 <二)，给出以下四个结论:22它的图象关于直线 x ="对称；它的图象关于点 (±0)对称；它的周期是 n ； 123在区间0 上是增函数.一 6以其中两个论断作为条件， 余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 三.计算题13. (05江西卷)已知向量- x x 二 一 _ x 二 X 二 -一 -a = (2cos-,

26、tan(一 +), b = (v2sin( 十一), tan(),令f (x) = a b .224242 4是否存在实数xw0,n,使f (x) + f (x) =0(其中f'(x)是f(x)的导函数)？若存在，则求 出x的值；若不存在，则证明之.14. (05湖北理)如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为 矩形，侧棱 PA，底面 ABCD , AB= J3, BC=1 , PA=2, E 为 PD 的中点.(I )求直线 AC与PB所成角的余弦值；(n)在侧面PAB内找一点N,使NEL面PAC,并求出N点 到AB和AP的距离.15. (06年湖北卷)已知二次函数y= f(x

27、 )的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x )=6x-2.数列 也的前n项和为Sn ,点(n,Sn n w N )均在函数y=f(x)的图 像上.(I)求数列an 的通项公式；3m*(n)设bn =, Tn是数列(bn )的前n项和，求使得Tn一对所有n N都an an 120成立的最小正整数 m .16. (06年湖北)如图，在棱长为 1的正方体ABCD ABiCQi中，P是侧棱CCi上的一点，CP =m .(I)试确定m,使得直线AP与平面BDDiBi所成角的正切值为3<2 ;（n）在线段 ACi上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m, D1Q在平面APDi上的射影垂直于

28、AP .并证明你的结论.217. （05年广东卷）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y = x上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO _LBO （如图4所示）.（I ）求AAOB得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（n ） AAOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小 值；若不存在，请说明理由.一 m X x -1 | x -m 10 ,18. （02年上海）.规定C：=1口其中xw r, m是正整数，且C0 = 1,m!这是组合数C:（n, m是正整数，且m£n）的一种推广.（I）求C5的值；O（n）组合数的两个性质：Cm =C;C:+ C：/=Cn）是否都能推

29、广到（xw R, m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证 明；若不能，则说明理由；（出）我们知道，组合数 Cnn是正整数.那么，对于 C；, xw R, m是正整数，是 否也有同样的结论？你能举出一些Cm亡R成立的例子吗？参考答案：t匹4 11. B 提示：（4x+Vx）12 的展开式为 Ci2（Vx）t（Vx）12-t =Ci2x2 B 提示：直线l : 2x + y+2 =0关于原点对称的直线为 ： 2x+y2=0,该直线与椭 =C；2x 6,因此含x的正整数次哥的项共有3项.选B2. D提示：A选项：缺少条件 m = a ； b选项：当a 氏P _L 时，m/ P ； C

30、选项:当% P, 丫两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m=P|丁时，muP;D选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题.本题答案选D圆相交于A(1, 0)和B(0, 2), P为椭圆上的点，且 APAB的面积为-,则点P到直线1'2的距离为51 ,在直线的下方，原点到直线的距离为2二勺，所以在它们之间一定有两个55Q(，2点满足条件，而在直线的上方，与2x+y2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为J2),该点到直线的距离小于,所以在直线上方不存在满足条件的P点54. C 提示：用排除法.AB /平面 KEF, A'B'/平面 KEF , B,

31、B /平面 KEF, AA II 平面 KEF,否定(A) , AB /平面 HEF, AB'/平面 HEF , AC /平面 HEF, A'C'/平 面HEF,否定(B),对于平面GEF,有且只有两条棱 AB , AB'平面GEF,符合要求，故 (C)为本题选择支.当 P点选B'时有且只有一条棱 AB /平面PEF.综上选(C)5. C.提示：由A(1,3)、B(5,2卜C(3,1)的坐标位置知， ABC所在的区域在第一象1z 1限，故x >0, y A0 .由z = x + my得y = x+，它表不斜率为 一. mmmz 一 ，一 11-3(

32、1)右m>0,则要使z=x+my取得最小值，必须使 之最小，此时需- =kAC =,mm 37即 m =1 ；z 一， 11 -2(2)右m <0 ,则要使z = x + my取得取小值，必须使一取小，此时需一一=kBC =,mm3-5即m =2,与m <0矛盾.综上可知，m = 1 .6. B 提示:(x +y)(1 +a) =1+a+Y + axi1+a +2va , 1 + a + 2后 >9, a >4. x yx y227. D 提示：椭圆 二+匕=1的右焦点为(2, 0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,620),则p =4 ,故选D.c d bc

33、 - ad -8. D 提小：右 ab > 0,bcad a 0,则一一一 => 0 ,a b abc dc d bc - ad -ab >0,bc -ad >0= 一 一>0,右 ab>。,一> 0,则> 0a ba babc d 二 bc ad >0,即ab >0,>0=> bc-ad > 0a bc d bc - ad -右 bc - ad a 0, 一 一 > 0,则> 0a babc d ，ab >0,即bc ad aQ-一 a0= ab a 0a b故三个命题均为真命题，选 D.9(2,

34、3)提示:由图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围.可知,在(2, 3)点目标函数z=6x+5y取得最大值.10.，提示：解析:由线面平行关系知m / P ;由线面垂直关系得：m _L«,«/ P,可得m_L P11 . 7 提示：考察函数可发现左式构成规律：f(x)2直接代入费力又费时.12 .答： 二 或 二 1、 ,.f (一) =1 ,于是立得结论为2x . X 二、13 .解：f(x)=a b =2v2cos-sin(- + )224,x 二、 ，x 二、tan(_ _) tan( )2424inx, 2 . x 2 x、-2x2 cos-(sin co

35、s )2 2222x , x .1 tan tan -122x x 2 x /22 =2sin cos 2cos - -1x x1 - tan 1 tan 一=sin x cosx.令f (x) + f (x) =0,即：f (x) + f (x) =sinx +cosx + cosx - sin x = 2cosx = 0.可得x = 土,所以存在实数x =- w 0,冗,使f (x) + f '(x) = 0. 2214.解：(I)设 AC n BD=O ,连 OE,贝 u OE/PB, / EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角 AOE 中1 -r '7OE= P

36、B =, AE15二一 PD 二 一, 7 51 -cosEOA - -4 4.、72123 7一 -，a ,人、3. 7.即AC与PB所成角的余弦值为 二二1414(n )在面 ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则/ ADF =.6AD2.3:连 PF,则在 RtAADF 中 DF = ,AF = AD tanADF =cosADF 33设N为PF的中点，连 NE,则NE/DF , DFXAC, DFXPA,，DF，面 PAC,从而 NE±W PAC.N点到AB的距离=1 AP =1,2，一13N点到AP的距离=AF =.2615. 解：(I)设这二次函数f(x)=ax2+bx

37、 (aW0),则 f(x)=2ax+b ,由于 f(x)=6x2,a=3 , b=2, 所以 f(x) = 3x22x.又因为点(n,Sn)(nW N。均在函数y = f (x)的图像上，所以Sn=3n22n.当 n>2 时，an=Sn-Sn 1= (3n22n) 3(n 1)2 2(n 1)】=6n 5.当 n = 1 时，a1 = S1 = 3Xl2-2 = 6Xl-5,所以，an = 6n-5 (nN*)-33111、(n)由(I)得知 bn=ni=-(-),anan 1(6n -5) 6(n -1) -5 J 2 6n-5 6n 1n故 Tn= bii 1111111一(1 一)

38、.(一 一).( 一 )2 _77 13 6n -5 6n 1(1 6n 1因此，要使1 (1) < m (nWN*)成立的m,必须且仅须满足 2 6n 120>10,所以满足要求的最小正整数m为10.1 m 口口< ，即m22016.解法1: ( I )连AC,设AC与BD相交于点O, AP与平面BDDB相交于点，连结OG,因为PC/平面BDDiBi，平面BDD1B1 n平面APC= OG,故 OG / PC,所以,OG = - PC= 又 AOBD, AO ± BB1 ,所以 AO，平面 BDD1B1 ,故/AGO是AP与平面BDDiB所成的角.OA在 RtAA

39、OG 中，tan/ AGO = GO,22i , . _.一所以，当m=时，直线AP与平面BDDiBi所成的角的正切值为 3尬.3（n）可以推测，点Q应当是AiCi的中点Oi,因为DiOiXAiCi,且DiOiXAiA ,所以 DiOi,平面 ACC iA 1,又 APU 平面 ACCiAi,故 DiOiAP.那么根据三垂线定理知， DiOi在平面APDi的射影与AP垂直.解法二：（本题也可用空间向量来求解 ）i7.解：(I)设AOB 的重心为 G(x, y), A(xi, yi), B(X2, Ni),则XiX2x 二3yiy2尸丁(i)OAOBkOA k°B =一1,即 XiX2

40、+ yi y2 = i,(2)2又点A, B在抛物线上，有 yi =xi , y2=-1O2.,1二X2，代入（2）化简得XiX2y1y2i22i2i 2 2. y =122i2 X2) =(XX2)2 -2x2 =- (3x)2 -333332所以重心为G的轨迹方程为y = 3x2十一3(II)S AOBII 2222-I -222222222 2=12 | OA | OB |=2"(xi +yi )(x2 +y?) =54x1X2 + x1 y +x?yi + yi y2由(D 得 saob = Jx； +x； +2 之 ”2Mx； x； +2 22 2V(-1)6 +2当且仅当

41、x； =x：即x1 =x2 = -1时，等号成立.所以 AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 ;-15 -16 HI -1918.解：（I） C =-'=11628.5!（n） 一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义.从这个角度很快可以看出：性质不能推广.例如当x = J2时，C1有定义，但C、：,无意义.性 2 2质如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：cm+CxuC2,其中X三R, m是正整数.类比于性质的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论.事实上，当 m=1 时，C：+C： =x+1=C：4.当

42、m2 时，Cm Cmi x x -1 in x -m 1 x x -1 HI x-m 2x xm!m -1 !x x -1 IH x -m 2 x -m 1二1m-1 !. mx x -1 IH x -m 2 x 1m!由此，可以知道，性质能够推广.（出）从C；的定义不难知道，当x思Z且m#0时，C；WZ不成立，下面，我们将 着眼点放在xWZ的情形.先从熟悉的问题入手.当 x之m时，C;就是组合数，故C；WZ .当xeZ且x<m时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（C； , x2 Z且x <m）与已知的结论C;亡Z相联系？x x -1 HI x -m 1一万面再一次考察定义

43、：C；=;另一方面，可以从具体的问m!题入手.由(I)的计算过程不难知道：C：5 = -C舄.另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论.因此，将 c5转化为c：9可能是问题解决的途径.事实上，当x <0时，x x1 |l| x -m 1m!=(-1)" "*11"+1)%22m!若x+m1 >m,即xM1,则C三对为组合数，故C；wZ .若-x+m-1 <m,即0Wx<m时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：C； = 0，可以猜想，此时 C； = 0WZ .这个结论不难验证.事实上，当 0MxMm时，在x,x-1,用，x

44、-m+1这m个连续的整数中，必存在某个数为 0.所以，C； =0三Z .综上，对于xwz且m为正整数，均有 CwZ.【挑战自我】直角梯形 ABCD 中/ DAB = 90°, AD / BC , AB = 2, AD= - , BC= 1 ,椭圆 C 以 A、224B为焦点且经过点 D.(1)建立适当坐标系，求椭圆C的方程；(2)若点E满足EC = 1 AB ,问是否存在不平行 AB的直线l与椭圆C交于M、N2两点且| ME H NE |,若存在，求出直线l与AB夹角的范围，若不存在，说明理由.讲解：(1)如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，=A (-1, 0

45、) , B (1, 0)22设椭圆方程为：冬石=1a bC =11) Jb2 3 二1T=5'a = 2b = V322椭圆c的方程是：人+ L=143-1 -2) ) EC = AB= E(0 , 2设 l: y= kx+ m (kwQjy = kx m由 x2 v2=(3+4k2)x2+8kmx + 4m2-12 =0二十二二1"3222222M、N 存在=>0= 64k m 4(3 +4k ) (4m 12) >0= 4k +3 之 mX , y1)，N ( x2 , y2 ) , MN 的中点 F%, y°)x1 x24km,x0 = _2， y

46、0 = kx0 ' m23 4k3m3 4k21 y0 -2 | ME |=| NE 卜 MN _ EF-2 x。3m 1 1= 3 4k2 - 2 k- 4 km一3 4k23 4k222_，4k 3 -(23 4k)2_2 . _._ 2 . 一4k +3 <40<k <11MkM1 且 k#0, 一,一.，一一 1l与AB的夹角的范围是（0 , 1.4【答案及点拨】演变1: (1):0、D分别为 AC、PC的中点：，OD / PA,又AC U平面PAB, .OD/平面 PAB.(II )/AB±BC, OA=OC , OA=OC=OB , 面 ABC , PA=PB=PC .取BC中点E,连结PE,则BC,平面POE,于F,连结DF,则OF,平面PBC / ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD / PA, PA与平面PBC所成角的大小等于/ ODF .在 Rt ODF 中，sin / ODF= OF = Y210 ,，PA 与平面 PBC 所成角为OD 30210arcsin30(出)由(n