(完整版)洛伦兹力经典例题

1、洛仑兹力典型例题例1一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场.粒子的一段径迹如图所示，径迹上的每一小段都可近似看成圆弧.由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐减小（带电量不变）.从图中情况可以确定A.粒子从a到b,带正电B.粒子从b到a,带正电C.粒子从a到b,带负电D.粒子从b到a,带负电分析粒子的能量逐渐减小，即瓦减小，速率逐渐减小.据R=mv/qB,由于q不变，粒子的轨道半径逐渐减小，由此断定粒子从b到a运动.再 利用左手定则确定粒子带正电.答B.例2在图中虚线所围的区域内，存在电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场.已知从左方水平射入的电子，穿过这区域时未发生偏转

2、，设重力可忽略不计，则在这区域中的 E和B的方向可能是A. E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相同B. E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相反C. E竖直向上，B垂直纸面向外D. E竖直向上，B垂直纸面向里分析不计重力时，电子进入该区域后仅受电场力 Fe和洛仑兹力Fb作用.要 求电子穿过该区域时不发生偏转电场力和洛仑兹力的合力应等于零或合力方向 与电子速度方向在同一条直线上.当E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相同时，洛仑兹力Fb等于零，电子仅受与其运动方向相反的电场力 Fe作用，将作匀减速直线运动通过该区域.当E和B都沿水平方向，并与电子运动的方向相反时，Fb=0,电子仅受与其运

3、动方向相同的电场力作用，将作匀加速直线运动通过该区域.当E竖直向上，B垂直纸面向外时，电场力 Fe竖直向下，洛仑兹力Fb 竖直向上.若满足条件Fe = Fb，SPqE = qvE *或V二盘时.电子作匀递宜线运上动通过该区域.当E竖直向上，B垂直纸面向里时，Fe和Fb都竖直向下，电子不可能在该区域 中作直线运动.答A、B、C.例3如图1所示，被U=1000V的电压加速的电子从电子枪中发射出来，沿直线a方向运动，要求击中在 口 二冗/3方向，距枪口 d=5cm的目标M ,已知 磁场垂直于由直线a和M所决定的平面，求磁感强度.图分析电子离开枪口后受洛仑兹力作用做匀速圆周运动，要求击中目标 M, 必

4、须加上垂直纸面向内的磁场，如图2所示.通过几何方法确定圆心后就可迎刃 而解了.解由图得电子圆轨道半径r=d/2sina.电子被加速后速度引=雀, Y m电子作刖运动时7二,. mv 2sn a J2mU re_ 2X 5力兀/3 /2>0 91X10-3y=* I1.6 X W15 T= 3,7X10%,说明带电粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动时，圆心位置的确定十分重要.本 题中通过几何方法找出圆心 PM的垂直平分线与过P点垂直速度方向的直线 的交点O,即为圆心.当带电粒子从有界磁场边缘射入和射出时，通过入射点和 出射点，作速度方向的垂线，其交点就是圆心.例4两块长为L、间距为d的平行金属

5、板水平放置，处于方向垂直纸面向外、磁感强度为B的匀强磁场中，质量为 m、电量为e的质子从左端正中A处 水平射入（如图）.为使质子飞离磁场而不打在金属板上，入射速度为 .分析审清题意可知，质子临界轨迹有两条：沿半径为R的圆弧AB及沿半径 为r的圆弧AC.解根据 R2=L2+ (R-d/2) 2,得41? +d?R =；4dm故当沿逸弧运动时，速度、Ee C4L2 + d?) 71- 4 dm当沿£c础运动时，r= d/4,速度1 Bed”右.说明若不注意两种可能轨迹，就会出现漏解的错误.例5三个速度大小不同的同种带电粒子，沿同一方向从图1长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞

6、出时对入射方向的偏角分别为90。、60°、30° .则它们在磁场中运动时间之比为 A. 1 ： 1 ： 1B. 1 ： 2 ： 3C. 3 ： 2 ： 1D.1二企二的E.点:五：1分析同种粒子以不同速度射入同一匀强磁场中后，做圆运动的周期相同.由出射方向对入射方向的偏角大小可知，速度为 V1的粒子在磁场中的1T1轨迹为圆周，历0tti =彳速度叼.内的粒子在磁中的轨道都小于I圆周，T历时都不到且t30可见时间之比的可靛情况只能是谣E.为了进一步确定带电粒子飞经磁场时的偏转角与时间的关系，可作一般分析.如图2,设带电粒子在磁场中的轨迹为曲线 MN.通过入射点和出射点作速度方

7、向 的垂线相交得圆心。.由几何关系知，圆弧MN所对的圆心角等于出射速度方向 对入射速度方向的偏角a .粒子通讨磁场的时间MN RQmy 口 m 口=.-v gqBqB因此，同种粒子以不同速度射入磁场，经历的时间与它们的偏角a成正比，即ti ： t2 ： t3=90° ： 60° ： 30° =3 ： 2 ： 1.答C.例6在xoy平面内有许多电子（质量为 m、电量为e）,从坐标。不断以相 同速率V0沿不同方向射入第一象限，如图1所示.现加一个垂直于xoy平面向 内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于 x轴向x 正方向运动，求符合该条件磁场的最

8、小面积.分析电子在磁场中做半径为及=窄的匀速圆周运动.沿y轴正方向 出从O点射入的电子做1/4圆周运动后（圆心在x轴上A点）沿x正方向运动，轨迹 上任一点均满足坐标方程(R-x) 2+ y2= R2,如图2中图线I;而沿与X轴任意角a （90° >a>0° ）射入的电子转过一段 较短弧，例如OP或OQ等也将沿X正方向运动，于是P点（圆心在A' ）、Q 点（圆心在A）等均满足坐标方程X2+ (Ry) 2= R2.图2更应注意的是此方程也恰是半径为 R、圆心在y轴上C点的圆n上任一点的坐标 方程.数学上的相同规律揭示了物理的相关情景.解显然，所有射向第一象限

9、与x轴成任意角的电子，经过磁场一段圆弧运动， 均在与弧II的交点处开始向x轴正方向运动，如图中P、Q点等.故该磁场分布 的最小范围应是I、R两圆弧的交集，等效为图 3中两弓形面积之和，即(-hr3_=o图3例7如图1所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂 直纸面向里的匀强磁场.现从矩形区域 ad边的中点。处垂直磁场射入一速度方 向跟ad边夹角为30°、大小为V0的带电粒子.已知粒子质量为 m,电量为q, ad边长为L,重力影响忽略不计.（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的V0的 大小范围？ （ 2）问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？）在这种情况下，粒 子从磁场

10、区域的某条边射出，试求射出点在这条边上的范围.,从ab边射出时速度为分析设带电粒子在磁场中正好经过 cd边（相切） vi,轨迹如图2所示.有以下关系：据几何关系分析得ad边射出时速度为V2,则Ri=L.又设带电粒子在磁场中正好经过.ab边（相切），从Bqvi =m-f®J据几何关系分析得电=1.解Q）由、两式求得力 =里. m由、两式求得叼=垩.©3m因此，带电粒子从ab边射出磁场的V0的大小范围为:vi > V0> V2,即处>%>处.m3tn（2）带电粒子在磁场中的周期2兀R 2叮mT®vo Bq带电粒子在磁场中运动轨迹占圆周比值最大的

11、，运动时间最长.据几何关系知，当。办（警时，最长时间j=：T = 誉.3m6 3Bq这种情况下带电粒子从ad边射出，射出点的范围为距O点上方。至，之问.例8如图所示，在一矩形区域内存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场.电场 强度为E、磁感应强度为B,复合场的水平宽度d,竖直方向足够长.现有一束 电量为q、质量为m的a粒子，初速度v0各不相同，沿电场方向进入场区，能 逸出场区的a粒子的动能增量 Ek为A. q （B+E） d B. qEd/B C. Eqd分析a粒子重力可以忽略不计.a 粒子进入电磁场时，除受电场力外还受 到洛仑兹力作用，因此a粒子速度大小变化，速度方向也变化.洛仑兹力对电 荷不做功

12、，电场力对电荷做功.运动电荷从左进从右出.根据动能定理 W=A Ek, 即EK=Eqd,选项C正确.如果运动电荷从左进左出，电场力做功为零，那么 选项D正确.例9如图1所示，在空间存在着水平方向的匀强磁场和竖直方向的匀强电 场.电场强度为E,磁感应强度为B.在某点由静止释放一个带电液滴 a,它运 动到最低点处，恰与一个原来处于静止的液滴 b相撞.撞后两液体合为一体，沿 水平方向做直线运动.已知液滴a的质量是液滴b的质量的2倍，液滴a所带电 量是液滴b所带电量的4倍.求两液滴初始位置的高度差 h.（设a、b之间的 静电力可以不计.）却分析由带电液滴a的运动轨迹可知它受到一个指向曲率中心的洛仑兹力

13、， 由 运动方向、洛仑兹力方向和磁场方向可判断出液滴 a带负电荷.液滴b静止时， 静电力与重力平衡，可知它带正电荷.本题包含三个过程，一个是液滴a由静止释放到运动至b处，其间合外力（静电 力和重力）对液滴a做功，使它动能增加.另一个是碰撞过程，液滴a与b相碰, 动量守恒.第三个过程是水平方向直线运动，竖直方向合外力为零.qE/n4#3qE3IC图2解设a的质量为2m,带电量为-4q, b的质量为m,带电量为q.碰前：a液滴（4Eq +2mg） h（图冽 ©b液滴Eq =鸣（图2b）碰撞：2mvi=3mv2, 碰后：3Eq+3mg=3qv2B.（图 2c） 3E3E3由式解得力=言,代

14、入式解得h = 占.例10如图所示，在x轴上方是垂直纸面向里的磁感应强度为 B的匀强磁场， 在x轴下方是方向与y轴正方向相反的场强为E的匀强电场，已知沿x轴方向 跟坐标原点相距为l处有一垂直于x轴的屏MN.现有一质量m、带电量为负q 的粒子从坐标原点沿y轴正方向射入磁场.如果想使粒子垂直打在光屏 MN上，那么：（1）电荷从坐标原点射入时速度应 为多大？ （ 2）电荷从射入磁场到垂直打在屏上要多少时间？分析粒子在匀强磁场中沿半圆做匀速圆周运动， 进入电场后做匀减速直线运 动，直到速度为零，然后又做反方向匀加速直线运动.仍以初速率垂直进入磁场， 再沿新的半圆做匀速圆周运动，如此周而复始地运动，直至

15、最后在磁场中沿1/4圆周做匀速率运动垂直打在光屏 MN上为止.解（1）如图所示，要使粒子垂直打在光屏 MN上，必须n2R+R=1,又 qvB = m 2, (2)解得k潦扁'Ll L 2J.（2）粒子运动总时间由在磁场中运动时间tl和在电场中运动时间t2两部分构成.2 = 2t0 = n 2 = 2口2aE1(2n + 1)E '+ 1)兀 m2nBi十12qB (2n + 1)E例11如图所示，以正方形abco为边界的区域内有平行于x轴指向负方向的 匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，正方形边长为L,带电粒子（不计重力）从oc边的中点D以某一初速度平行于y轴的正方向射入场区，恰

16、好沿直线从ab 边射出场区.如果撤去磁场，保留电场，粒子仍以上述初速度从D点射入场区，则从bc边上的P点射出场区.假设P点的纵坐标y=h;如果撤去电场，保留磁场，粒子仍以上述的初速度从 D点射入场区，在l有不同取值的情况下，求粒子 射出场区时，出射点在场区边界上的分布范围.分析设电场强度为E,磁感应强度为B,粒子的电量为q,质量为m,初速 度为v.当电场和磁场同时存在时，带电粒子所受电场力和磁场力平衡，做直线 运动.若撤去磁场，则粒子向右做抛物线运动，从 bc边上的p点射出场区.若 撤去电场，保留磁场，则粒子做反时针方向圆周运动，从 y轴上的某点射出场 区.也可能从x轴上某点射出.解当电场和磁

17、场同时存在时，据题意有qBv=qE 撤去磁场，电偏转距离为L qEha撤去电场，磁偏转距离为y =依-(R-L/2)二qBv = © KR = haZL 若要从。点射出，则y=0, R=L/4,由式得h=L/2.若要从能点射出，由式得41 =1匚 故不能从a点射出;由式可知：当h之时，出射点在纵轴上；当h = L时，由(5)式得 y二,L为纵坐标的最大值；当寺亡hL时，然0,出射点在纵轴上的分 布范因为U-1 石空加为y - y -1/4 由式可知当打1/2时,纵坐标y = Cb出射点在横轴上0-L/2之、1 1) ,一,.L? - 4kmI可，其坐标为咨=FT-例12两块板长l=1

18、.4m、间距d=0.3m水平放置的平行板，板间加有垂直纸廿片1口、0 1 2 34 号 &t/xio (b)面向里，B=1.25T的匀强磁场和如图1 (b)所示的电压.当t=0时，有一质量 m=2X10i5kg、电量q=1 x 10toC带正电荷的粒子，以速度 v0=4X 103m/s从两 板正中央沿与板面平行的方向射入.不计重力的影响，画出粒子在板间的运动轨 迹.+ ? u .藉 算立7。BXXX'-A1 ：分析板间加上电压时，同时存在的匀强电场场强15X1"03N/C = 5X wsN/C.粒子射入后受到的电场力Fe和磁场力Fb分别为Fe = qE = 1X ICT1° X5X 103bT = 5X 1尸瓦Fs =qBv0 =1X10-mX1,25X4X103Ni= 5X1Q-7N.它们的方向正好相反，互相平衡，所以在两板间加有电压的各段时间内（ 0 1X10-4S； 2-3X10-4S； 4-5X 10-4S；），带电粒子依入射方向做匀速直线 运动.板间不加电压时，粒子仅受洛仑兹力作用，将做匀