中考数学专题训练旋转模型几何变换三种模型手拉手半角对角互补

1、几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补q3f知识关联图宁 真题演练【练1】(2013北京中考)在 ABC中，AB AC, BAC ( 060 ),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1,直接写出 ABD的大小(用含 的式子表示)；(2)如图2, BCE 150 , ABE 60 ,判断4ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连结DE ,若 DEC 45 ,求 的值.【练2】(2012年北京中考)在 ABC中，BA BC, BAC , M是AC的中点，P是 线段上的动点，将线段 PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.(1)若 且点P与点M重合(如图1),线

2、段CQ的延长线交射线BM于点 D,请补全图形，并写出 CDB的度数；(2)在图2中，点P不与点B, M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D, 猜想CDB的大小(用含的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点 B, M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D ,且PQ QD ,请直接写出 的范围.例题精讲考点1:手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于 各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模

3、型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）【例1】(14年海淀期末)已知四边形 ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB CE .(1 )如图1 ,连接BG、DG .求证：BG DE ;(2)如图2,如果正方形ABCD的边长为将正方形CEFG绕着点C旋转 到某一位置时恰好使得 CG/ BD , BG BD .求BDE的度数；请直接写出正方形CEFG的边长的值.【题型总结】 手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有【例2】(2014年西城一模)四边形ABCD是正方形

4、，BEF是等腰直角三角形,BEF 90 , BE EF,连接 DF , G 为 DF 的中点，连接 EG, CG , EC。(1)如图24-1,若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系 及GC的值；(2)将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问(1)若不成立，请说明中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程;理由；【题型总结】 此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？另外涉及到的中点辅助线你 还能说出几种？【例3】(2015年海淀九上期末)如图1,在4ABC中，BC 4 ,以线段AB为边作4ABD, 使得AD BD , 连接DC ,再以DC为

5、边作4CDE ,使得DC DE ,CDE ADB .(1)如图2 ,当ABC 45且 90时，用等式表示线段 AD, DE之间的数 量关系；(2)将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段 EF ,连接BF, AF .若90 ,依题意补全图3,求线段AF的长；请直接写出线段 AF的长(用含,，1的式子表示).备用【例4】(13年房山一模)(1)如图1, 4ABC和4CDE都是等边三角形，且 B、C、D三点共线，联 结AD、BE相交于点 P ,求证：BE AD .(2)如图2,在BCD中，BCD 120o,分别以BC、CD和BD为边在 BCD外 部作等边ABC、等边4CDE和等边4BDF ,联结

6、AD、BE和CF交于点P ,下 列结论中正确的是(只填序号即可)AD BE CF；BEC ADC ; DPE EPC CPA 600 ；(3)如图2,在(2)的条件下，求证：PB PC PD BE .【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120。.旋转与最短路程问题主要是利用 旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比 较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方考点2:角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等【例1】（2012年西城期末）已知：如图，正方形 ABCD的边长为a, BM ,

7、 DN分别平 分正方形的两个外角，且满足 MAN 45 ,连结MC , NC , MN .猜想线段BM , DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.【例2】（2014年平谷一模）（1）如图1,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF 45 ,连接EF ,则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF BE FD .连结BD ,交AE、AF于点M、N,且 MN、BM、DN满足MN 2 BM 2 DN 2,请证明这个等 量关系；（2）在4ABC中， AB AC,点D、E分别为BC边上的两点.如图2,当 BAC 60 , DAE 30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是 ,如图 3,当

8、BAC , （090 ）, DAE -时，BD、DE、EC 应满足2的等量关系是 .【参考：sin2cos21】【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？考点3:对角互补模型常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型一90° ）（全等型120。）（全等型一任意角）【例1】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形 ABD和直角三角形CBD ,其中 A和C都是直角，另一条对角线 AC的长度为2,求四边形ABCD的面积.【例2】已知：点P是MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A ,将射线PA绕点P

9、逆时针旋转交射线ON于点B ,且使APB MON 180o .(1)利用图1,求证：PA PB;(2)如图1,若点C是AB与OP的交点，当Spob 3Spcb时，求PB与PC的比 值；图1图2【题型总结】对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同 时出现？【例3】(初二期末)已知：如图，在ABC中，AB AC, BAC ,且60120 . P为 4ABC 内部一点，且 PC AC, PCA 120.(1)用含 的代数式表示 APC ,得 APC =;(2)求证：BAP PCB ;(3)求PBC的度数.【题型总结】一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关

10、性质解题是一种比较便 捷的方法。全能突破【练1】(2015年昌平九上期末)如图，已知VABC和VADE都是等腰直角三角形，BAC DAE 90 , AB AC , AD AE .连接 BD 交 AE 于 M，连接 CE 交 AB 于 N , BD与CE交点为F ,连接AF .(1)如图1 ,求证：BD CE ;(2)如图1,求证：AF是CFD的平分线；(3)如图2,当AC 2, BCE 15时，求CF的长.【练2】(2014西城九上期末)已知：ABC , 4DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD , BE.(1)如图1,当EF与BC在同一条直线上时，直接写出 AD与BE的数量关系

11、 和位置关系；4ABC固定不动，将图1中的VDEF绕点M顺时针旋转 (0oW < 90o)角，如图2所示，判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请加以 证明；若不成立，说明理由；(3)4ABC固定不动，将图1中的VDEF绕点M旋转 (0。W &90。)角， 作DH BC于点H.设 BH=x,线段AB , BE, ED, DA所围成的图形 面积为S.当AB=6, DE = 2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围.图1图2备用图【练3】（2014年朝阳一模24题）在 ABC中，AC BC,在4AED中，AD ED ,点D、E分另I在CA、AB上，（1）图，若ACB

12、ADE 90 ,则CD与BE的数量关系是 ;（2）若ACB ADE 120 ,将4AED绕点A旋转至如图所示的位置， 则CD 与BE的数量关系是 ；（3）若ACB ADE 2 （090 ）,将4AED绕点A旋转至如图所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）【练4】（2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图 1,在RtAABC中，BAC=90 , AB= AC,点，E 在边 BC 上，DAE=45 .若 BD=3 , CE=1 ,求 DE的长.小辉发现，将绕点A按逆时针方向旋转900,得到VACF ,连接EF （如图2）, 由图形旋转的性质和等腰直角三角形

13、的性质以及 DAE= 45 ,可证 VFAEWDAE ,得 FE=DE .解 VFCE ,可求得 EF （即 DE ）的长.请回答：在图2中，FCE的度数是, DE的长为 RtVABC参考小辉思考问题的方法，解决问题：如图3,在四边形 ABCD中，AB= AD, B+ D= 180 . E, F分别是边BC, CD上1的点，且 EAF=- BAD .猜想线段BE, EF, FD之间的数量关系并说明理由.【练5】（11年石景山一模）已知：如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将BAC绕顶点A逆时 针旋转（0o45o ）,旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q ,交BC ,CD于点E、点F ,

14、联结EF、EQ .（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果， 不必证明）；（2）探究APQ与AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.【练6】（2015年延庆九上期末） 已知：4ABC是eO的内接三角形，AB AC ,在BAC 所对弧 AC 上任取一点 D 连接AD， BD， CD ，（ 1） 如图 1 ， BAC ， 直接写出 ADB 的大小 （用含 的式子表示） ；（ 2）如图2如果BAC 60 求证： BD CD AD ；（3）如图3,如果 BAC 120 ,那么BD CD与AD之间的数量关系是 什么？写出猜

15、测并加以证明；（ 4）如果BAC 直接写出 BD CD 与 AD 之间的数量关系 .图2图3【练7】(1)如图，在四边形 ABCD中，AB AD, B D 90 , E、F分别是边BC、CD上 的点，-1且 EAF= 2 BAD.求证：EF BE FD ；(2)如图在四边形ABCD中，AB AD, B+ D 180 , E、F分别是边BC、CD上 一 ,一1的点，且 EAF 2 BAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图，在四边形ABCD中，AB AD, B ADC 180 , E , F分别是边BC, CD 延长线上的点，且EAF g BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成

16、立， 请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.【练8】 小华遇到这样一个问题， 如图1, VABC中，ACB 300, BC 6, AC 5 ,在VABC内部有一点P ,连接PA、PB、PC ,求PA PB PC的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一 点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点， 这样依据两点之间，线段最短二就可以求出这三条线段和的最小值了.他 先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题.他 的做法是，如图2,将VAPC绕点C顺时针旋转600,得到VEDC ,连接PD、BE , 则BE

17、的长即为所求.(1)请你写出图2中，PA PB PC的最小值为 ;(2)参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：如图3,菱形ABCD中，ABC 600,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3 中画出并指明长度等于 PA PB PC最小值的线段(保留画图痕迹，画出一条 即可)；若中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA PB PC值最小时PB的长.【练9】(2014年西城二模)在VABC , BAC为锐角，AB AC, AD平分 BAC交BC于 点D .(1)如图1,若VABC是等腰直角三角形，直接写出线段 AC, CD, AB之间的 数量关系；(2) BC的垂直平分线交AD延长线于点E ,交BC于点F .如图2,若ABE 60 ,判断AC , CE , AB之间有怎样的数量关系并加 以证明；如图3,若AC AB弗AE,求 BAC的度数.【练10(2014年1月西城八年级期末试题 一附加题)已知：如图，MAN为锐角，AD 平分 MAN，点B,点C分别在射线 AM和AN上，AB AC .(1)若点E在线段CA上，线段EC的垂直平分线交直线 AD于点F ,直线BE交 直线AD于点G ,求证： EBF CAG ;1)中的其它条件不变,(2)若(1