2018高考备考极坐标和参数方程专题

1、专题1极坐标与参数方程【基本方法】1两大坐标系：直角坐标系(普通方程、参数方程)；极坐标系(极坐标方程)；2基本转化公式：，；3参数方程：，消去参数得关于的普通方程，引入参数得参数方程；4直线的参数方程(为参数)，注意参数的几何意义；5用转化法解决第(1)问，用图形法解决第(2)问.【三年真题】1(2017全国I)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为.(1)若，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.2(2016全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4c

2、os.(I)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(II)直线C3的极坐标方程为=0，其中0满足tan0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.3(2015全国I)在直角坐标系中，直线:=2，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求，的极坐标方程；(II)若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求的面积.【自主研究】4(2016届佛山二模)已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系(I)求曲线的直角坐标方程；(II)若点在曲线上，点的直角坐标是 (其中，求的最大值5(2016届河南八市质检)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参

3、数)，以原点O为起点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为(2，)，直线l的极坐标方程为cos()6 ()求点P到直线l的距离； ()设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值6(2016年全国卷II)在直角坐标系中，圆的方程为()以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；()直线的参数方程是(为参数)，与交于两点，求的斜率7(2015年全国卷II)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：.(I)求C2与C3交点的直角坐标；(II)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，

4、求的最大值.8在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线(为参数)与曲线交于两点(I)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(II)求的值9在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为为参数)，曲线C2的参数方程为 (为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(I)求C1和C2的极坐标方程；(II)已知射线：，将逆时针旋转得到，且与C1交于O，P两点，与C2交于O，Q两点，求取最大值时点的极坐标10(2017届衡水中学第二次调研考试)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆

5、，已知曲线上的点对应的参数，与曲线交于点.(I)求曲线的极坐标方程及的普通方程；(II)是曲线上的两点，求的值.11(2012年全国新课标)已知曲线的参数方程是为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为.(1)求点的直角坐标；(2)设为上任意一点，求的取值范围.12(2014年全国新课标I)已知曲线：，直线：(为参数).()写出曲线的参数方程，直线的普通方程；()过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.13在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为(

6、为参数)，曲线 的极坐标方程为(1)求曲线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；(2)设为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值14在直角坐标系中，圆C的方程是，圆心为C，在以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：与圆C相交于两点(I)求直线的极坐标方程；(II)若过点的直线，(是参数)交直线于点，交轴于点，求的值15在平面直角坐标系中，的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，的极坐标方程.()说明是哪种曲线，并将的方程化为普通方程；()与有两个公共点，定点的极坐标为，求线段的长及定点到两点的距离之积.16(2017届江西省第三次联考)在直角

7、坐标系中，曲线，曲线的参数方程为：，(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系.(1)求的极坐标方程；(2)射线与的异于原点的交点为，与的交点为，求.17(2017届安徽省合肥市一模)已知直线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为.()求曲线的直角坐标方程；()写出直线与曲线交点的一个极坐标.18(2017届广东省汕头市一模)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.(1)求的参数方程；(2)设点在上，在处的切线与直线垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定的坐标.19(2017届广东省肇庆市二模)在

8、直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.()直接写出的普通方程和极坐标方程，直接写出的普通方程；()点在上，点在上，求的最小值.20(2017届安庆市期末监测)已知在极坐标系中，曲线的方程为以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(为参数，) ()求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；()设直线交曲线于、两点，过点且与直线垂直的直线交曲线于、两点 求四边形面积的最大值21在直角坐标系中O中，已知曲线E经过点P(1，)，其参数方程为(为参数)，以原点O为

9、极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线E的极坐标方程；(2)若直线交E于点A、B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值22 (2017届山西省适应性测试)已知曲线的参数方程为(，为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为()()求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程，并讨论两曲线公共点的个数；()若，求由两曲线与交点围成的四边形面积的最大值.23(2017届四川省绵阳市二模)已知曲线C的参数方程是为参数).(1)将C的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为为C上的动点，求

10、线段PQ的中点M到直线的距离的最小值.24(2017届江西省高三下学期调研考试)在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为(为参数，)，直线的极坐标方程为.(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.25(2017届泉州市考前适应性模拟)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，圆的方程为.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求的普通方程与的极坐标方程；(II)已知与交于，求.26(2017届广东省高三第三次六校联考)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为(为参数)()以坐标原点为极点

11、，轴非负半轴为极轴建立极坐标系(与平面直角坐标系的单位长度相同)，当时，求直线的极坐标方程；()已知点，直线与椭圆相交于点、，求的取值范围27已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.()求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；()若直线()与曲线交于，两点，求线段的长度.28(2017届河南省豫北名校联考试题)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)(1)求曲线的普通方程；(2)经过点(平面直角坐标系中点)作直线交曲线于，两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的斜率29在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半

12、轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，圆的方程为.(1)求在平面直角坐标系中圆的标准方程；(2)已知为圆上的任意一点，求面积的最大值.30在极坐标系中，曲线，曲线以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为为参数)(1)求的直角坐标方程 ；(2)与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值31(2017届安徽省蚌埠市质检)在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系曲线(I)若直线与曲线相交于点，证明：为定值；(II)将曲线上的任意点作伸缩变换后，得到曲线上的点，求曲线的内接矩形周长的最大值32.

13、 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.()写出的极坐标方程，并求与的交点，的极坐标； ()设是椭圆上的动点，求面积的最大值.33(2017届南昌市调研)将圆每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线.(1)写出的参数方程；(2)设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求：过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.34(2017届江西省重点中学联考)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系()写出曲线的极坐标方程；()设点的极坐标为()，过点的直线与曲

14、线相交于两点，若，求的弦长专题1 极坐标与参数方程参考答案1解：(1)由得，由得，当时，由解得或，故而交点为或；(2)点到直线的距离为，即：，化简可得，根据辅助角公式可得，又，解得或者.2解：(I)由得，是圆心为，半径为的圆，将代入得，C1的坐标方程为；(II)，曲线C1与C2的公共点满足，若时，又，得，或(舍去)，若，极点也为C1与C2的公共点，在上，有，.3解：()因为，的极坐标方程为，的极坐标方程为.()将代入，得，解得=，=，|MN|=，因为的半径为1，则的面积=.4解：(I)，1分，2分曲线的直角坐标方程为5分(II)曲线可化为，曲线是圆心，半径为的圆，点的直角坐标是，点在圆：，8分

15、，即的最大值为10分5解：()点的直角坐标为，即2分由直线l：，得.则l的直角坐标方程为：4分点P到l的距离5分()可以判断，直线l与曲线C无公共点，设6分则点Q到直线的距离为8分所以当时，10分6解：()由得， 4分圆的极坐标方程为；5分()直线的极坐标方程为，设所对应的极径分别为，将直线代入得，6分，7分，8分由得，则，9分直线的斜率为或.10分7解：(I)由得，即曲线C2的普通方程为，2分由得，即曲线C3的普通方程为，3分由解得或，4分C2与C3交点的直角坐标为和；5分(II)曲线的极坐标方程为，其中，6分因此的极坐标为，的极坐标为，8分，9分当，即时，取得最大值.10分8()由得，因为

16、，所以；根据(t为参数)，消去t得，4分故曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是， 5分()将直线的标准参数方程为(t为参数)代入中，7分整理得设t1，t2是该方程的两根，则，8分由参数的几何意义，可知 10分9解：(I)曲线C1的直角坐标方程为，1分所以C1极坐标方程为，2分曲线C2的直角坐标方程为，3分所以C2极坐标方程为；4分(II)设点P极点坐标，即，5分点Q极坐标为，即，6分则，8分因为，所以，9分当，即时，取最大值，此时P极点坐标10分10解：(I)将及时对应的参数，代入得，故的普通方程为，2分其极坐标方程为，即， 3分设圆的方程为，点的直角坐标为，得，4分圆的普通方程为；5

17、分(II)曲线的方程为，将代入得，7分所以.10分11解：(1)点的极坐标为3分点的直角坐标为5分(2)设；则10分12解：()曲线C的参数方程为：(为参数)，2分由直线：得，3分直线的普通方程为：；5分()在曲线C上任意取一点P (2cos，3sin)到的距离为，则，其中为锐角且.8分当时，取得最大值，最大值为；9分当时，取得最小值，最小值为.10分13解：(1)由消去参数得，曲线的普通方程得由得，曲线的直角坐标方程为5分(2)设，则点到曲线的距离为8分当时，有最小值0，所以的最小值为010分14解：(I)在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x

18、=cos，y=sin，曲线C1：=sin，2=4sin，x2+y2=4y，曲线C1：x2+y2+y=0，直线AB的普通方程为：(x2+y24x)(x2+y2+4y)=0，y=x，sin=cos，tan=，4分直线AB极坐标方程为：5分(II)根据(I)知，直线AB的直角坐标方程为y=x，6分根据题意可以令D(x1，y1)，则，又点D在直线AB上，所以t1=(2+t1)，解得 t1=，根据参数方程的定义，得|CD|=|t1|=，8分同理，令交点E(x2，y2)，则有，又点E在直线x=0上，令2+t2=0，t2=，|CE|=|t2|=，9分|CD|：|CE|=1：210分15解：()是圆，的极坐标

19、方程，化为普通方程：即：.5分()定点P的直角坐标在直线上，将的参数方程为(为参数)代入中得：6分化简得：.设两根分别为，由韦达定理知：8分所以的长，9分定点到两点的距离之积.10分16解：(1)将代入曲线的方程：，可得曲线的极坐标方程为，2分曲线的普通方程为，将代入，得到的极坐标方程为.5分(2)射线的极坐标方程为，与曲线的交点的极径为.7分射线与曲线的交点的极径满足，解得.9分所以.10分17解：()，即；5分()将，代入得，即，从而，交点坐标为，9分所以，交点的一个极坐标为. 10分18解：(1)由题意知：，所以，即，可化为，可得的参数方程为(为参数，).5分(2)设，由(1)知是以为圆

20、心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同，解得，即，故的直角坐标为，即.10分19解：()的普通方程是， 2分的极坐标方程， 4分，的普通方程. 6分()方法一：是以点为圆心，半径为2的圆；是直线. 7分圆心到直线的距离为，直线和圆相离. 8分所以的最小值为. 10分方法二：设，因为是直线，7分所以的最小值即点到直线的距离的最小值，9分所以最小值为. 10分20解：()将方程的两边同乘以，得，所以，即为所求的曲线的直角坐标方程 直线 (为参数，)2分当，时，直线的普通方程是；3分当，时，消去参数，得直线的普通方程是.4分()将 代入，整理得设两点、对应的参数分别为、，

21、则5分所以6分设直线的参数方程为 (为参数，为直线的倾斜角)同理可得因为，所以，那么所以7分所以四边形面积为8分因为 故9分四边形面积的最大值为 10分21解：(1)将点P(1，)，代入曲线E的方程：，解得，3分所以曲线E的普通方程为，4分其极坐标方程为；5分(2)由OAOB，不妨设点A，B的极坐标分别为A(1，)，B(2，)，6分则代入曲线E的极坐标方程，可得，9分即为定值10分22解：()：，：()2分当或时，两曲线有两个公共点；3分当时，两曲线有四个公共点；4分当或时，两曲线无公共点5分()由于曲线与曲线关于轴、轴以及原点对称，所以四边形也关于轴、轴以及原点对称，6分设四边形位于第一象限

22、的点为，7分则四边形的面积为9分当且仅当，即时，等号成立10分23解：(1)消去参数得 5分(2)将直线l的方程化为普通方程为设Q()，则M()， ， 最小值是10分24解：(1)曲线的参数方程为，(为参数，)，消去参数，可得，1分由于，2分故曲线的轨迹方程是上半圆.3分直线，即，即，故直线的直角坐标方程为.6分(2)由题意可得点在直线上，点在半圆上，半圆的圆心到直线的距离等于，即的最小值为.10分25解：(I)曲线的普通方程为，2分把代入，化简得：曲线的极坐标方程为；4分(II)将代入曲线的极坐标方程，得，点极坐标，设为直线上除点外的任意一点，则在中，由正弦定理得，8分即，即为直线的极坐标方程.10分26解：()由直线的参数方程，消去，得将代入，得直线的极坐标方程为；4分()将参数方程，代入椭圆方程，得，(其判别式恒成立)8分，所以10分27解：()因为故，故，故曲线的极坐标方程为.因为，故，故的直角坐标方程为(或写成).()设，两点所对应的极径分别为，将()代入中，整理得，故