【2020年】四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)及答案

1、四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.( 5 分)已知集合A=x|3x2-4X+1W0 ,A.2.(5 分)若复数 z 满足 z (1 - i) =| 1- i|+i (其中 i 为虚数单位)，则 z 的虚部 为( )A.卞 B. C. 一*-i D. 一-i2 2 2 23.(5 分)已知函数 f (x) =si n (升丄)(30)满足：？为，R，当|f (xj6-f (X2)1=2 时，|X1- X2|min=-，那么 f (X)的最小正周期是()A. 一 B.-C.nD.2n4.(5 分)已知函数 f (x)在 R 上存在

2、导数 f( X)，下列关于 f (x), f( x)的描述正确的是()A.若 f (x)为奇函数，贝Uf (x)必为奇函数B若 f (x)为周期函数，贝Uf (x)必为周期函数C若 f (x)不为周期函数，则 f (x)必不为周期函数D.若 f (x)为偶函数，贝Uf (x)必为偶函数5.(5 分)如图的平面图形由 16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 60的菱形组成，那么图形中的向量.，满足.?-()A. 1 B. 2 C. 4 D. 66.(5 分)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分 叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、 天

3、坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为()2A. 192 B. 186 C. 180 D. 1987.（5 分）执行如图所示的程序框图，若 m=4,则输出的结果为（ ）8.(5 分)已知函数 f (x)满足：f (x+y) =f (x) f (y)且 f (1) fl)+f(2)+f2)+f(4)+严(3)+f(6)+ +f2(1009)+f(2018)二(f(l)f(3)f(5)f(2017)=(A. 1009 B. 2018C. 3027D. 40369.（5 分）在如图所示平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 1,曲线 m 是 函数 y=a （x- 1）2

4、+b 图象位于正方形内的部分，直线 AC 恰好是函数 y=a （x- 1）2+b在 x=0 处的切线，现从正方形内任取一点 P,那么点 P 取自阴影部分的概率D.=1,那么)3疋结束等于（）210 . （5 分）设点 P 为椭圆C:亠+匚=1 上一点，F1、F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，且厶 PFF2的重心为点 G,若| PF| : | PEI =3:4,那么 GPF 的面积为（）A . 24 B. 12 C. 8D . 6 11.（ 5 分）用 min a, b表示实数 a, b 中的较小者,已知向量 s ,满足| J =1, | b| =2, w?b=O, c=治+吸（糸+=1）,则当

5、 minc?占，匚？b取得最大值时，| c| =( )A . - B .TC . 1D .1717212 . (5 分)已知函数 f (x)=，若关于 x 的方程X1-3=0 有三个不同的实数解，则 m 的取值范围是（剖 C.（埠- 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 . （5 分）已知（1+x） （1+ay）5（a 为常数）的展开式中不含字母 x 的项的系数和为 243,那么（1+x） （1+ay）5展开式中 xy2项的系数为_.14 . （5 分）某学校分别从甲、乙两班各抽取 7 名同学在某次物理测试中的成绩f2(x) m| f (x) | - 2mA. (

6、- , 0) B(-,4123如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85,乙班成绩的中位数是 83,现从成绩 82 分以上的同学中选取 3 名组成学习经验交流小组，那么选取的小组中 甲班同学多于乙班同学的方法数是_种.（用数字作答）甲乙8 9125 I 0E11 y6 291 1 6(x+y-3015. (5 分)若平面区域* 2x-y-3W0 夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线x-2y+30间的最短距离是壬，那么这两条平行直线的斜率是516. (5 分)若函数 f (x)- sin (x+)是偶函数， f (x)- cos (x+)是奇函数，已知？Xi(0,n,使得函数 f(x)在点

7、P(xi, f (xi), Q (Xi+筈,f (Xi+)乙处的切线斜率互为倒数，那么点 P 的坐标为_.三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分)17. (12 分)已知an是等差数列，且 ai=3,羽=12,数列bn满足 bi=4, b4=20, 且bn- an为等比数列.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2)若数列1：的前 n 项和 Sn,证明： Snv I.卅田8418. (12 分)已知 ABC 中，/ B=60,点 D 在 BC 边上，且 AC=2.(1) 若 CD=, AD=2,求 AB;(2) 求厶 ABC 的周长的取值范围.19. (12 分)某农科所对冬季昼夜温差大

8、小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 棵种子中的发芽数，得到如下资料:日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日温差 x/摄氏度101113128发芽 y/颗2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程， 再用剩下的 2 组数据进行检验.(1)若选取的 3 组数据恰好是连续E天的数据(E=表示数据来自互不相邻的三天)，求E的分布列及期望；(2) 根据 12 月 2 日至 4 日数据，求出发芽数 y 关于

9、温差 x 的线性回归方程=：x+ .由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不 超过 2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？n_52Cri-y)附：参考公式：，二，1=r(Xi-7)2i=i20.(12 分)已知函数 f (x) =-x3+x2- bx (b R).3(1) 若？x0，使得 f (x) b/+x 成立，求实数 b 的最小值；(2) 若 f (x)的三个零点 0，X1，X2满足 1vX10,证明：f (x)2x.请考生在 22、23 题中任选一题作答.22.(10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是p=4cos.B以极点为原点，极

10、轴为 x 的(1)将曲线 C 的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线 I 的参数方程化成普通方程;(2)当 m=0 时，直线 I 与曲线 C 异于原点 O 的交点为 A,直线p=-斗与曲线 C0异于原点 O 的交点为 B,求三角形 AOB 的面积.正半轴建立平面直角坐标系，直线I 的参数方程是:(t 为参数).23. 已知函数 f (x) =m-|x-2| , m R,且 f (x+2) 0 的解集为-1, 1.(1) 求 m 的值；(2) 若 a, b, c(0, +x),且丄 + 丄+丄=口，证明：a+2b+3c9.a 2b 3c2. (5 分)若复数 z 满足 z (1 - i)=| 1

11、- i|+ i (其中 i 为虚数单位)，则 z 的虚部( )血+ B 血-1C血+ i 2 . 2 2【解答】解：复数 z 满足 z (1 - i) =| 1- i|+i (其中 i 为虚数单位)， z=C-J 二_ i -二心一丄+心亠 =一1= = .A.(l-i)(l+i)则z的虚部为.故选：A.3. (5 分)已知函数 f (x)-f (X2)| =2 时，|X1- X2|=sin () (30)满足：？X1，X2 R，当 | f (X1)JTmin=，那么 f (X)的最小正周期是(A. 一 B.C冗 D .2n【解答】解：根据正弦型函数 f (x) =sin (:+)的图象与性质

12、知,对？X1，X2R,当 | f(X1) f(X2)| =2时，|X1-X2|min=，2018 年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1. (5 分)已知集合 A=x| 3x2- 4x+1W0 , B=k -.任，则 AnB=()& 1 B哈 1C寺行D. y【解答】解：集合 A=x|3x2-4x+1 0=x|i、叮:，B=n | 丁 L- ?=x|4_ .1=亍，1.故选：B.A. AnB=x| f (x)的最小正周期是 T=2X=n2故选：C.4. (5 分)已知函数 f (x)在 R 上存在导数

13、f( x),下列关于 f (x), f( x)的描 述正确的是()A. 若 f (x)为奇函数，贝 U f (x)必为奇函数B. 若 f (x)为周期函数，贝 U f (x)必为周期函数C若 f (x)不为周期函数，则 f (x)必不为周期函数D.若 f (x)为偶函数，贝 U f (x)必为偶函数【解答】解：对于 A:例如：f (x) =x3为奇函数，贝 U f(x) =3x2，为偶函数，故 A错误，对于 B: f (x)是可导函数，贝 U f (x+T) =f (x)，两边对 x 求导得(x+T) ( (x+T)=f (x)，f(x+T) =f (x)，周期为 T.故若 f (x)为周期函

14、数，则 f(x)必为周期函数.故 B 正确，对于C:例如：f (x) =sinx+x 不是周期函数，当 f(x) =cosxH 为周期函数，故 C 错误，对于 D:例如：f (x) =为偶函数，贝 U f(x) =2x 为奇函数，故 D 错误， 故选：B.5.(5 分)如图的平面图形由 16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 60的菱形组 成，那么图形中的向量 I，满足 I? =()A. 1 B. 2 C. 4 D. 6【解答】解：如图，故选：A.0由题意可知汇-1,且示与；啲夹角为 602 2则己辽三;，】厂二-三?= L =ll I. l. 3k+4, p=4, k=1不满足条件 k2

15、3k+4, p=8, k=2不满足条件 k2 3k+4, p=32, k=3不满足条件 k2 3k+4, p=256, k=4满足条件 k23k+4，退出循环，可得 z=：3故选：D.8.(5 分)已知函数 f (x)满足：f (x+y) =f (x) f (y)且 f (1) =1,那么 : : :+： : -+.+厂；_4 二 7 二心 | =()-U1-1d：(是I 输出ZI结朿A. 1009 B. 2018C. 3027D. 4036【解答】解：由意题 f (x+y) =f (x) f (y),且 f (1) =1，可得令 x=n, y=1,可得 f (n+1) =f (n)，可得 f

16、 (1) =f (2) =f (3) =(n) =1,那么严 2)+严(2)+f(4)+/(3Hf(&)+.f2C1009)+f(2018)那么：+=F (1) +f2(2) +-+f2(1009) +f (2) +f (4) +f (6) +-+f (2018)=1009+1009=2018,故选：B.9.(5 分)在如图所示平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 1,曲线 m 是 函数y=a (x- 1)2+b 图象位于正方形内的部分，直线 AC 恰好是函数 y=a (x- 1)2+b 在x=0 处的切线，现从正方形内任取一点 P,那么点 P 取自阴影部分的概率等于()IX

17、IA. B.C.D.12346【解答】 解： 正方形 OABC 的边长为 1,二 S 正方形OABG=1,由函数 y=a (x 1)2+b,得 y =2gx- 1),贝Uyx=o= 2a= 1，得 a 十2又当 x=0 时，y=a+b=1,可得b=2曲线 m 的解析式为 yJ (x 1)2+ ,2 2阴影部分面积 s=匚一 .-厂点P取自阴影部分的概率等于i.N10. (5 分)设点 P 为椭圆C:：+=1 上一点，FPF2分别是椭圆 C 的左、右4勺24焦点，且厶 PFF2的重心为点 G,若| PF| : | PE| =3:4,那么 GPF 的面积为()A. 24 B. 12 C. 8 D.

18、 62 2【解答】 解：点 P 为椭圆 C:十+=1 上一点，|PF| ： |PFd=3: 4,| PF|+| PF =2a=14 I PF| =6, | PF2|=8,又TFIF2=2C=10,PFF2 是直角三角形，SUFF詁 XFF1 叩卩戶 4,PFF2 的重心为点 G.S3=3 壮，1A.1 XGPF 的面积为 8,11. （5 分）用 min a, b表示实数 a, b 中的较小者，已知向量 i, ,满足|讪=1,|习=2,；?匸=0,；=需+庄（f+=i）,则当 min；?；, c?E取得最大值时，|；| =( )AB厂 C 1 D.17172【解答】解:T? 1= (x i+&

19、amp;J?1=入+卩1 =fTT= (X+ 旷)？：= & +X； 1=4 卩,不妨令 0W入产1解得 0二 min c?扫,c?b =0则f(山在0 丄 1 上递增，在击,1上递减,(叮)-I |=匸17故选：A12. (5 分)已知函数 f (x)=，若关于 x 的方程 f2(x)- m|f (x) | - 2m-3=0 有三个不同的实数解，则 m 的取值范围是()A. (-：；, 0) B. (：,-C. (- ，- Y)D. (- ,0)223233【解答】解：:,.,eE可得 x( x,1)时，f(x)0,x(1,+x)时，f(x)V0,f(x)在(-x,1)递增，在(1,

20、+x)递减.可知 y=|f (x) |大致图象如图所示，设 I f (x) I =t,则 I f (x) I2- m| f (x) I - 2m- 3=0 有三个不同的实数解, 即为 t2- mt-2m - 3=0 有两个根 t1, t2,1 若 t1=1, t2=0,时，t1+t2=m=1, t1?t2= - 2m - 3=0,不存在实数 m,2 若 t1=1, t2 1 时，当有一个根为 1 时，12m - 2m- 3=0, m=-春，则 f( U)在0,当卩此时=+,V17V17代入 t2- mt -2m - 3=0 另一根为-兰，不符合题意.33 ti(0,1),t2(-x,0)时，设

21、 h (t) =t2- mt - 2m - 3h(1)=12-m-2m-30,h(0)=-2m-3v0-Vmv-二23m 的取值范围为(-:;,-J.23故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.（5 分）已知（1+x） （1+ay）5（a 为常数）的展开式中不含字母 x 的项的系数和为 243,那么（1+x） （1+ay）5展开式中 xy2项的系数为 40 .【解答】解：（1+x） （1+ay）5展开式中不含字母 x 的项的系数和为（1+a）5=243,解得 a=2； （ 1+x） （1+2y）5展开式中 xy2项的系数为;?22=40,故答案为：40.14

22、.（5 分）某学校分别从甲、乙两班各抽取 7 名同学在某次物理测试中的成绩 如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85,乙班成绩的中位数是 83,现从成绩 82 分以上的同学中选取 3 名组成学习经验交流小组，那么选取的小组中 甲班同学多于乙班同学的方法数是28 种.（用数字作答）甲乙8 912510E11 y6 291 1 6【解答】解：甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则：1I80+y=33解得 x=5, y=3,甲班 82 分以上有 4 人，乙班 82 分以上有 4 人，从这 8 位同学中选 3 名，共有-，=56 种不同的取法,选取的小组中甲班同学多于乙班同学

23、的方法数与乙班同学多于甲班同学的方法数相等，所求的结果是X 56=28.2故答案为：28.x+y-3015. （5 分）若平面区域*0 夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离是 H，那么这两条平行直线的斜率是k=2 或】.5-2_l+y-30【解答】解：作出平面区域 2x-30可行域是等腰三角形，平面区域 2x-30 x-2y+30夹在两条平行直线之间的距离为：-，5可得可行域的 A （1，2），B （2，1），C （3，3），1 AB =詁（1-2 尹+（2-1）7=厂，平行线间的距离的最小值为 d=二，A 到 BC 的距离：I =-，才 55B 到直线 AC 的距离：=竺V5

24、5所求直线与 AC 或 BC 重合，可得：k=2 或 1 .故答案为：k=2或；.16. (5 分)若函数 f (x)- sin (x+)是偶函数，f (x)- cos (x+) 已知？xi(0n使得函数 f(x)在点 P(宀曲)。/ , 处的切线斜率互为倒数，那么点 P 的坐标为 (，土 1).-_2_-【解答】解：函数 f (x)- sin (x+)是偶函数， 可得 f (- x)- sin ( x+ ) =f(x)- sin(x+ ),即有 f (- x) =f (x)- sinxcos cosxsin 方 sinxcos +cosxsin =fx)-f (x)- cos (x+ 是奇函

25、数，可得 f (- x)- cos (- x+ ) +f (x)- cos (x+ ) =0, f (- x) +f (x)- cosxcos sinxsin-cosxcos +sinxsin ,=0 即为 f (- x) +f (x)- 2cosxcos =0 由可得 f (x) = (sinx+cosx) cos,导数为 f(x) = (cosx- sinx) cos,即为(cosxi - sinxi) (- sinxi- cos%) cos2 =i 即为(sin2xi- coVxi) cos2 =i? X1( 0,在点 P (xi,n)，使得函数 f (x)f (xi), Q (xi+,

26、 f (xi)处的切线斜率互为倒数,可得 f ( xi)?f( Xi+*) =i,可得(cosxi - sinxi) cos?(cos (xi-sin(xi-)cos=1是奇函数，(x)2sinxcos -4-5即有cos2x?coV =1可得 cos2 =1 cos2xi= - 1,xi( o,n,可得 xi=,2即有 f (xi) = (1 +0) ?cos 1 , 即 p (二，土 1).2故答案为：(一，土 1).2三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分)17. ( 12 分)已知an是等差数列，且 a1=3，朮=12,数列bn满足 3=4, b4=20, 且bn- an为等比数

27、列.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2)若数列的前 n 项和 Sn,证明：IWsnvI .bnbrd-l84【解答】解：(1) an是公差为 d 的等差数列，且 a1=3，a4=12,可得 3+3d=12,解得 d=3,则 an=3+3 (n - 1) =3n；数列bn满足 b1=4, b4=20,且bn-an为等比数列，可得 b1- a1=1, b4- a4=8，且 q3=8，解得 q=2,则bn- an的首项为 1,公比 q 为 2,则 bn-an=2n-1,可得 bn=3n+2n-1;(2)证明：2+3=3+2n_1-|：.：；.， /Hl=_1:;宀Hl、，二丄1=：，则前 n

28、项和 Sn= (-) + (-) +(-)blb2b2b3bnbn+l所以 ABC 的周长的范围是：-芒沁二=2 匚+ 十-,=.、一.丄-,由于：0A 120,则：30A+30S|= - 1 =丄48 S则：1 Sn1.8418. (12 分)已知 ABC 中，/ B=60,点 D 在 BC 边上，且 AC=2.(1) 若 CD=, AD=2,求 AB;AD=2,则：丄_=,cosv2ACD 4 所以：二一=亍.在厶 ABC 中，利用正弦定理：sinC sinB解得： -=2ACD(2)AABC 中，利用正弦定理得:所以： 一一由于：0A0，使得 f (x) bx2+x 成立，求实数 b 的

29、最小值；(2) 若 f(x)的三个零点 0,X1, X2满足 1VX2,h,I2分别是 y=f (x)在捲,x2处的切线，设 P (xo, yo)是 h, 12的交点，求 yo的取值集合.【解答】解：(1) ?x 0，使得 f (x)bx2+x 成立，f (x) bx2+x?-(x0).P+x2-bxbx2+x, ?b(x+1) x2+x-11令 t=x+1 1 . b1).=2 匸，当且仅当 t=匸时取等号./ t 1, b:八.3 3 w 3 b 的最大值为：3(2)由 f (x) = - x (X - 3x+3b) =0,可得 x1, x2是方程 x2- 3x+3b=0 的两个3实数根，

30、且 10+七二 3，且 3b- 2 0，解得 b (Z,.34x3bf (x) = - x2+2x- b.Ii： y=(_#+2x-b)(x-xi), 12： y=-( - *+2x2- b) (x-X2).(xn-x i) (xf 2xt+b) (Kn-2x2+b)宀、联立解得 yo=-(+b).近-述十 2 七1122=-(3xi 3b 2xi+b) (3xz 3b 2x2+b)=-(xi- 2b) (X2- 2b)=-xix2- 2b (Xi+X2)+4b =-(3b- 6b+4b2) =-4b2+3b= - 4 ：+, b 匚， .8716 X 4 丿-yo.,y yo的取值集合是.92i.(i2 分)已知 f (x) =ex- i+ln (兰+i). a(1) 若函数 f (x)在(-i, 0) 上单调递增，求实数 a 的取值范围;(2) 若 a(0, i且 x0,证明：f (x)2x.【解答】解：(i)由+i0 在(-i, 0)上恒成立.a当 a0 时，x- a, - a i.当 a0 时，x0，可得 ai 时，可得 f (x)在(-i,